【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 值，從而求得各觀測(cè)值的平差值。[1]一般地，間接平差的函數(shù)模型為： （）平差時(shí)，為了計(jì)算方便和計(jì)算的數(shù)值穩(wěn)定性，一般對(duì)參數(shù)都取近似值，令： （）代入（414）式，并令： （）由此可得誤差方程： （）式中為誤差方程的自由項(xiàng)，對(duì)于經(jīng)典間接平差，將未知參數(shù)視為非隨機(jī)參數(shù)，不考慮其先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，根據(jù)（）式，可得平差后，由（）式可得。間接平差的隨機(jī)模型為： （）平差準(zhǔn)則為： （）間接平差就是在最小二乘準(zhǔn)則要求下求出誤差方程中的待定參數(shù)，在數(shù)學(xué)中是求多元函數(shù)的自由極值問(wèn)題。設(shè)平差問(wèn)題中有n個(gè)觀測(cè)值L，已知其協(xié)因數(shù)陣，必要觀測(cè)數(shù)為t，選定t個(gè)獨(dú)立參數(shù)，其近似值為，觀測(cè)值L與改正數(shù)V之和，稱為觀測(cè)量的平差值。按具體平差問(wèn)題，可列出n個(gè)平差值方程為：（i=1，2，3，…，n） （）令 ： 則平差值方程的矩陣形式為： （）令：式中為參數(shù)的充分近似值，于是可得誤差方程式為 （）按最小二乘原理，上式的必須滿足的要求，因?yàn)閠個(gè)參數(shù)為獨(dú)立量，故可按數(shù)學(xué)上求函數(shù)自由極值的方法，得：轉(zhuǎn)置后得： （） 以上所得的（）和（）式中的待求量是n個(gè)V和t個(gè)，而方程個(gè)數(shù)也是n+t個(gè)，有唯一解，稱此兩式為間接平差的基礎(chǔ)方程。 解此基礎(chǔ)方程，一般是將（）式代入（）式，以便先消去V，得： （）令上式可簡(jiǎn)寫(xiě)成 （）式中系數(shù)陣為滿秩矩陣，即 , 有唯一解，上式稱為間接平差法方程。解之，得： 或 （）將求出的 代入誤差方程（），即可求得改正數(shù)V，從而平差結(jié)果為： （）特別地，當(dāng)P為對(duì)角陣時(shí)，即觀測(cè)值之間相互獨(dú)立，則法方程（）的純量形式為：（1）根據(jù)平差問(wèn)題的性質(zhì)，選擇t個(gè)獨(dú)立量作為參數(shù)；（2）將每一個(gè)觀測(cè)量的平差值分別表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，若函數(shù)非線性要將其線性化，列出誤差方程（）；（3）由誤差方程系數(shù)B和自由項(xiàng)組成法方程（），法方程個(gè)數(shù)等于參數(shù)的個(gè)數(shù)t ；（4）解算法方程，求出參數(shù)，計(jì)算參數(shù)的平差值 （5）由誤差方程計(jì)算V，求出觀測(cè)量平差值；（6）評(píng)定精度。間接平差與條件平差雖采用了不同的函數(shù)模型，但它們是在相同的最小二乘原理下進(jìn)行的，所以兩法的平差結(jié)果總是相等的，這是因?yàn)樵跐M足條件下的V是唯一確定的，故平差值不因方法不同而異。單位權(quán)方差 的估值 ，計(jì)算式仍然是 除以其自由度，即 （）中誤差為 （）計(jì)算可以將誤差方程代入后計(jì)算，顧及得 即，考慮到得 （）在間接平差中，基本向量為，,V和。已知,根據(jù)前面的定義和有關(guān)說(shuō)明知，故 。下面推求各基本向量的自協(xié)因數(shù)陣和兩兩向量間的互協(xié)因數(shù)陣。設(shè) ，則Z的協(xié)因數(shù)陣為：式中對(duì)角線上子矩陣，就是各基本向量的自協(xié)因數(shù)陣，非對(duì)角線上子矩陣為兩兩向量間的互協(xié)因數(shù)陣。 其基本思想是把各量表達(dá)成協(xié)因數(shù)已知量的函數(shù)，上述各量的關(guān)系式已知為： （） （） （） （）由前三個(gè)式子，按協(xié)因數(shù)傳播定律容易得出再計(jì)算與（）式有關(guān)的協(xié)因數(shù)陣,得平差值、與改正數(shù)V的互協(xié)因數(shù)陣為零，說(shuō)明與V，與V統(tǒng)計(jì)不相關(guān)，這是一個(gè)很重要的結(jié)果。在間接平差中，解算法方程后首先求得的是t個(gè)參數(shù)。有了這些參數(shù)，便可根據(jù)它們來(lái)計(jì)算該平差問(wèn)題中任一量的平差值（最或然值）[1] 張書(shū)畢. 測(cè)量平差. 徐州：中國(guó)礦大學(xué)出版社，2008，617.[2] 高井祥. 數(shù)字測(cè)圖原理與方法. 徐州：中國(guó)礦大學(xué)出版社，2008，2223.[3] 張華海. 應(yīng)用大地測(cè)量學(xué). 徐州：中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社，2008，53.[4] 譚浩強(qiáng). C++程序設(shè)計(jì). 北京：清華大學(xué)出版社，2008.[5] 殷人昆. 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（用面向?qū)ο蠓椒ㄅcC++語(yǔ)言描述）. 北京：清華大學(xué)出版社，2007.[6] 劉玉英. 程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)—C++. 北京：人民郵電出版社，2006.[7] 求是科技. Visual C++. 北京：人民郵電出版社，2006.在間接平差中，任何一個(gè)量的平差值都可以由平差所選參數(shù)求得，或者說(shuō)都可以表達(dá)為參數(shù)的函數(shù)。下面從一般情況來(lái)討論如何求參數(shù)函數(shù)的中誤差的問(wèn)題。假定間接平差問(wèn)題中有t個(gè)參數(shù)，設(shè)參數(shù)的函數(shù)為： （）將代入上式后，按泰勒公式展開(kāi)，取至一次項(xiàng)，得： 或 （）對(duì)于評(píng)定函數(shù)的精度而言，給出或是一樣的。通常把（）式稱為參數(shù)函數(shù)的權(quán)函數(shù)式，簡(jiǎn)稱權(quán)函數(shù)式。令 ，則： 因，故函數(shù) 的協(xié)因數(shù)為: （）一般，設(shè)有函數(shù)向量的權(quán)函數(shù)式為: （）即用來(lái)計(jì)算m個(gè)函數(shù)的精度，其協(xié)因數(shù)陣為: （）是參數(shù)向量的協(xié)因數(shù)陣，即:其中，對(duì)角線元素是參數(shù)的協(xié)因數(shù)，故的中誤差為: （）（）式的函數(shù)的協(xié)方差陣為: （）3 Excel在導(dǎo)線平差中的應(yīng)用 Excel在平差中的應(yīng)用基礎(chǔ) 引言在現(xiàn)代測(cè)量中，對(duì)通過(guò)各種測(cè)量方法所采集得到的原始數(shù)據(jù)，往往需要根據(jù)誤差理論的方法對(duì)存在的各類誤差進(jìn)行平差處理從而取得最或然結(jié)果。而對(duì)于偶然誤差的處理，利用最小二乘法準(zhǔn)則進(jìn)行平差計(jì)算的過(guò)程，通常都要對(duì)誤差方程式或條件方程式進(jìn)行整合處理求得法方程組，然后解算法方程、計(jì)算改正數(shù)、精度評(píng)定等等，一系列計(jì)算步驟的進(jìn)行，如果沒(méi)有現(xiàn)成的專業(yè)軟件，而用手工的辦法去完成平差計(jì)算工作，將是一件很繁瑣的事情?！　∑鋵?shí)，測(cè)量平差的過(guò)程簡(jiǎn)單的來(lái)說(shuō)就是解算線性方程組的過(guò)程，而最令人煩惱的部分是線性方程的求解。在處理一些小的工程項(xiàng)目平差計(jì)算的時(shí)候，如果手頭沒(méi)有像MATLAB等具有矩陣運(yùn)算功能的應(yīng)用軟件，利用Microsoft Office Excel的內(nèi)置函數(shù)，同樣的可以幫助計(jì)算者比較輕松的完成計(jì)算任務(wù)。 Excel在平差中的基本應(yīng)用操作函數(shù)以下要闡述的就是利用Excel轉(zhuǎn)置粘貼功能以及矩陣計(jì)算的函數(shù)TRANSPOSE（矩陣轉(zhuǎn)置）、MMULT（矩陣乘）、MINVERSE（矩陣求逆），實(shí)現(xiàn)測(cè)量平差之線性方程組解算的過(guò)程?！　榱思涌炱讲罱馑愕淖鳂I(yè)效率，應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。實(shí)際工作中，有兩種數(shù)學(xué)模型得到了較為廣泛的應(yīng)用，即間接平差模型和條件平差模型；本章中主要介紹Excel在條件平差的應(yīng)用?！　l件方程式：AVW= 0 ； 　　法方程：AP1ATKW= 0 ；　　改正數(shù)計(jì)算：V= P1ATK；　　V TPV計(jì)算： V TPV=WTK；　　平差值的函數(shù)：　　平差值的協(xié)因數(shù)計(jì)算：　 公式中各種符號(hào)的含義：觀測(cè)向量 L；相應(yīng)的權(quán)陣 P；條件方程的系數(shù)矩陣A；條件改正數(shù) V；條件閉合差 W；法方程聯(lián)系數(shù)矩陣 K；平差值的函數(shù)系數(shù)陣。平差計(jì)算的數(shù)學(xué)模型，全都是以矩陣的形式給定的。如果掌握了矩陣計(jì)算的方法，所有的計(jì)算將迎刃而解。由于測(cè)量計(jì)算作業(yè)過(guò)程中采用不同的數(shù)學(xué)模型，以及圖形條件的多樣化，對(duì)于條件方程的產(chǎn)生，在本文所述的解算方案當(dāng)中，還不能自動(dòng)完成；當(dāng)然，可以完成部分類型的條件方程（如附和導(dǎo)線），還可以利用Excel中的VBA功能編程處理，但將可能給計(jì)算者增加了難度。以下是對(duì)如何使用Excel內(nèi)置函數(shù)進(jìn)行矩陣計(jì)算的方案進(jìn)行闡述。　?。?）數(shù)據(jù)的輸入　　將系數(shù)矩陣的數(shù)據(jù)填入電子表格的相應(yīng)區(qū)域中。　?。?）矩陣的轉(zhuǎn)置　　，點(diǎn)擊右鍵，選擊‘復(fù)制’菜單選項(xiàng)?！　?，點(diǎn)擊右鍵，選擊“選擇性粘帖”菜單項(xiàng)。　　“選擇性粘帖”菜單項(xiàng)，出現(xiàn)“選擇性粘帖”對(duì)話框；該對(duì)話框有三部分選項(xiàng)，第一部分“粘帖”，選中“全部”選項(xiàng)，第二部分“運(yùn)算”，選中“無(wú)”選項(xiàng)，第三部分選中“轉(zhuǎn)置”選項(xiàng)，單擊確定，即可完成系數(shù)矩陣數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)置操作?！　。?）矩陣乘運(yùn)算　　，該區(qū)域的行數(shù)、列數(shù)等于矩陣相乘所得矩陣的行數(shù)、列數(shù)，點(diǎn)擊工具欄中的fx（函數(shù)）工具按鈕。　　，在該對(duì)話框的左邊的函數(shù)分類中選擇“數(shù)學(xué)與三角函數(shù)”，在右邊的函數(shù)名中選中“MMULT”，單擊確定。　　，該對(duì)話框提示輸入兩組參數(shù)，第一個(gè)參數(shù)Array1欄中輸入第4步驟中轉(zhuǎn)置矩陣區(qū)域的行列號(hào)，在Array2欄中輸入系數(shù)矩陣區(qū)域的行列號(hào)，可以不用鍵盤(pán)輸入，而用Array*內(nèi)右端的按鈕，回到表格視圖中用鼠標(biāo)涂選表格區(qū)域，按一下回車(chē)鍵即可；在表格視圖的公式欄應(yīng)該有“=MMULT（‘轉(zhuǎn)置矩陣區(qū)域’，‘系數(shù)矩陣區(qū)域’）”的描述。　　，按下回車(chē)鍵，這時(shí)，第1步驟選定的區(qū)域內(nèi)的單元格所顯示的結(jié)果即為聯(lián)系方程的系數(shù)陣。（4）矩陣求逆運(yùn)算，其行列數(shù)與系數(shù)矩陣相同，點(diǎn)擊工具欄中的fx工具按鈕?！皵?shù)學(xué)與三角函數(shù)”，右邊選擇函數(shù)名“MINVERSE”，單擊確定。，在表格視圖的公式欄中也應(yīng)該有“=MINVERSE （系數(shù)矩陣區(qū)域）”的描述。，按下回車(chē)鍵，第1步驟選定區(qū)域內(nèi)的單元格所顯示的結(jié)果即為系數(shù)矩陣的逆矩陣。 熟練掌握上述矩陣計(jì)算的步驟、方法，解決測(cè)量平差的線性方程組解算的問(wèn)題就會(huì)變得簡(jiǎn)單、容易。3. 注意事項(xiàng)在計(jì)算過(guò)程中，受Excel軟件本身的約束和限制，可能會(huì)帶來(lái)不可預(yù)想的結(jié)果，因此需要注意一下幾個(gè)事項(xiàng)：（1）受電子表格列數(shù)的限制，Excel最多可以計(jì)算有256列的矩陣。若要求解有更多列的矩陣，可以利用分塊矩陣的辦法，或者VBA 語(yǔ)言編程進(jìn)行解決。（2）改變計(jì)算結(jié)果的精度，可作以下操作：‘格式’菜單→單元格→數(shù)字→數(shù)值→小數(shù)位數(shù)，選定相應(yīng)的數(shù)值即可。若需用雙精度計(jì)算，設(shè)定小數(shù)位為15位，即可得到雙精度的求解結(jié)果。（3）有關(guān)矩陣的計(jì)算，還有其他的運(yùn)算功能，如相加、相減等，均可以在Excel編輯功能的‘復(fù)制’與‘選擇性粘貼’中實(shí)現(xiàn)。 核心問(wèn)題的解決及技巧（1）測(cè)量平差計(jì)算傳統(tǒng)上是以表格為基本框架進(jìn)行的，Excel也沿用了這一模式，所不同是它每一個(gè)單元格都有函數(shù)、公式的編輯、計(jì)算功能，這樣整個(gè)表格就有了生命力，這正是Excel成功的地方，是其精髓所在。在程序的編輯中，我們應(yīng)始終明確這一概念。（2）觀測(cè)數(shù)據(jù)應(yīng)固定于某一列，自上而下依次輸入，從而使整個(gè)輸入過(guò)程變得連貫、順暢。即使輸入有誤也便于修改。（3）同一類格式、文字、數(shù)據(jù)、計(jì)算，例如，提示文字、水平角、距離、坐標(biāo)增量計(jì)算等應(yīng)分列放置，只有這樣，才能有條理，便于后續(xù)計(jì)算的有效利用。同時(shí)可用“拖放”功能，將其格式、公式等合理地復(fù)制到下面的單元格，瞬間完成程序的編寫(xiě)。（4）在本程序的編寫(xiě)過(guò)程中，需大量使用判斷語(yǔ)句，特別是鑲嵌式的判斷語(yǔ)句，如果能靈活運(yùn)用好該語(yǔ)句，程序的編寫(xiě)也就成功了一大半。例如，在后面的圖5中的G6單元格為：=IF(D4+E5+180360,D4+E5+180,IF(D4+E5+180720,D4+E5+180360,D4+E5+180720))這是一個(gè)方位角推算語(yǔ)句，其中D4為起始方位角，E5為下一條邊前進(jìn)方向左角，該語(yǔ)句功能為：若D4+E5+180360,則G6=D4+E5+180；若360D4+E5+180720，則G6= D4+E5+180360；否則G6= D4+E5+180720。（5）因Excel中三角函數(shù)是以弧度為單位計(jì)算的，所以必須將以度分秒輸入的角度轉(zhuǎn)換成弧度。這就需要將度分秒分開(kāi)，然后才能化成弧度。例如C6單元格為：=IF(B6=””，180，INT(B6))其中B6為度分秒為單位的角度。該語(yǔ)句意為：若B6是空格，即未觀測(cè)，C6值為180度，否則為觀測(cè)角的整度值。其中180度是為在本站未觀測(cè)的情況下預(yù)設(shè)的角度，其目的是為在后續(xù)的計(jì)算中把方位角傳遞下去，從而保證整個(gè)程序在邏輯上的完整性。（6）程序編輯完成后，應(yīng)對(duì)輸入?yún)^(qū)外的所有單元格進(jìn)行再設(shè)置，在“設(shè)置單元格格式”菜單下，選定“保