【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （ 2） 0,T ibi? ?? 則 ? 必然滿足： （ 3） 0Ta? ? 由線性代數(shù)可知，存在實(shí)數(shù) 01, k? ? ? 滿足： 0 11kiiiab?????? 帶入表達(dá)式可知： ? ?0 11ki i iiR b F???? ? ?? 如果市場(chǎng)上還存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，必有 0fr ?? ，（因?yàn)槿绻找媛蕿槌?shù)，則隨機(jī)項(xiàng) iF 的系數(shù)一定為零。） 對(duì)任一資產(chǎn) j ，它的期望收益率 jr 為： ? ?1 ,kj f ij i i i iir r b f f E F ??? ? ? ??。其中 if 為第 i 個(gè)因 子的風(fēng)險(xiǎn)貼水。 第三講 離散時(shí)間證券市場(chǎng) 模型與線形定價(jià)法則 一、 確定環(huán)境下的無(wú)套利假設(shè) 我們以下假定模型是單期的。 確定環(huán)境意味著資產(chǎn)未來(lái)的價(jià)格（現(xiàn)金流）沒(méi)有不確定性，因而是一個(gè)常數(shù)。 此時(shí)的定價(jià)問(wèn)題是一個(gè)簡(jiǎn)單的貼現(xiàn)問(wèn)題。 假定市場(chǎng)上存在 n 種證券，用 12( , , , )nx x x x ?? 表示它們的未來(lái)價(jià)格，這里的 0ix? 。 13 用 12( , , , )n? ? ? ? ?? 表示 資產(chǎn)的持有量。因允許賣空，所以 i? 可能為負(fù)。 1niiixx?????? 為該策略的未來(lái)的市值。 證券市場(chǎng)可以用： ? ?, nMx? 表示， n 表示策略空間。 無(wú)套利定價(jià)的五種方式為 ： （ 1） 可定價(jià)法則 ：存在定價(jià)函數(shù) :p ? 。這意味著未來(lái)價(jià)值 相等的組合其當(dāng)前價(jià)值也相等。 （ 2） 正齊次定價(jià)法則 ：指 :p ? 是一個(gè)正齊次函數(shù)， ? ? ? ?,0p x p x? ? ???。表明組合倍數(shù)的當(dāng)前值是當(dāng)前值的相應(yīng)倍數(shù)。 （ 3） 齊次定價(jià)法則： 指 :p ? 是一個(gè)齊次函數(shù)， ? ? ? ?p x p x??? 。表明 資產(chǎn)的買賣價(jià)格相等。 （ 4） 線性定價(jià)法則 ： 指 :p ? 是一個(gè)線性函數(shù)；表明組合的當(dāng)前價(jià)值等于其成分的當(dāng)前價(jià)值之 和。 （ 5） 正線性定價(jià)法則： 指 :p ? 是一個(gè)正線性函數(shù)；即滿足條件 ? ?00x p x? ? ?的函數(shù)。表明未來(lái)值錢的資產(chǎn)當(dāng)前也值錢。 以上五種方式是由弱到強(qiáng)的，通常我們僅 關(guān)心線性和正線性定價(jià)法則 。 我們用： ? ?iixpx 表示 i 證券的收益率，注意該定義與一般的收益率的區(qū)別。 定理： 線性定價(jià)法則成立時(shí)，所有證券的收益率都相等 。（證明見 P26） 定理的含義 是：如果市場(chǎng)不存在任何不確定性，則所有的資產(chǎn)都是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，因而收益率都相等 。 二、 不確定環(huán)境下的 市場(chǎng) 對(duì)隨機(jī)環(huán)境下的資產(chǎn)而言，未來(lái)價(jià)格是隨機(jī)的，因而用隨機(jī)變量描述。 用隨機(jī)向量 12( , , , )nx x x x ?? 表示資產(chǎn)未來(lái)的價(jià)格，這里每個(gè)資產(chǎn)的價(jià)格是非負(fù)的。仍用 12( , , , )n? ? ? ? ?? 表示證券的持有量， 由于是單期情形， ? 是一個(gè)實(shí)向量 。 策略的未來(lái)價(jià)值仍是：1niiixx??????。市場(chǎng)記為： ? ?, nMx? ；用空間： 1n niii x?????? ? ?????? 14 表示 未定權(quán)益空間 。 對(duì)隨機(jī)環(huán)境的情形，無(wú)套利的幾種定義仍成立。 三、 單期證券市場(chǎng)模型 與隨機(jī)折現(xiàn)因子 仍假定線性定價(jià)法則成立。 我們假定基本證券是可定價(jià)的，因此它們的線性組合（ 可交易資產(chǎn) ）也是可定價(jià)的，如果市場(chǎng)上所有的證券都是基本證券的線性組合，則市場(chǎng)中的證券都是可定價(jià)的，此時(shí)市場(chǎng)是 完全 的，否則是 不完全 的。 如果我們先給出未定權(quán)益 空間 ? ，則基本證券包含其中，且所有的可交易資產(chǎn)構(gòu)成 ?的子空間；對(duì)不完全市場(chǎng)而言，是真子 空間。不完全市場(chǎng)的定價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 ? 的子空間上的線性函數(shù)是否可以擴(kuò)張到 ? 上去。 我們對(duì) ? 的假定歸結(jié)為： （ 1） ? 中的隨 機(jī)變量的方差都是有限的。 （ 2）在內(nèi)積 ? ? ? ?,x y E xy 下， ? 成為一個(gè) Hilbert 空間。 （ 3）定價(jià)函數(shù) :p ?? 是 ? 上的連續(xù)線性函數(shù)。 定理： 存在唯一的非零 m?? ，使得對(duì)任意的 x?? ， ? ? ? ?p x E mx? 定理中的 m 成為隨機(jī)折現(xiàn)因子，從表達(dá)式中可以看出其意義。 四、有限狀態(tài)下的隨機(jī)折現(xiàn)因子 假定期末有 N 個(gè)狀態(tài)，狀態(tài)出現(xiàn)的概率為 ,(1 )i iN? ?? ； 用 iv 表示 i 狀態(tài)的價(jià)格，可得狀態(tài)價(jià)格向量 ? ?12, , , Nv v v ?，任意證券 都可以視為基本證券的線性組合；因此： ? ? ? ?1Njjp x v x j??? 上式變形為： ? ? ? ?1N jjj jvp x x j???? ? 定義證券 m 為： ? ? jjvmj?? 則： ? ? ? ? ? ? ? ?1N Pjjp x m j x j E m x????? 特例 ：當(dāng) 1x? 時(shí)， ? ? ? ?1 Prp E m e???。 五、風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度與隨機(jī)折線因子的關(guān)系 設(shè) 1 rfre??，則對(duì)任意未定權(quán)益 x ， ? ? ? ?rQp x e E x?? 成立。由上面的特例可知： 15 1Nrjjev? ??? 對(duì)任意的 x ，下面的等式成立： ? ? ? ?? ?? ?? ?11111NjjNNjj NjjjjNrjjrQp x v x jvv x jve x je E x??????????????????? 其中：1jj Njjvv????? 為狀態(tài) j 的 風(fēng)險(xiǎn)中性概率 。 二者間的關(guān)系是： ? ?? ?jjmjEm??? ? 注意 ：在二叉樹模型中，我們沒(méi)有得出風(fēng)險(xiǎn)中性概率與客觀概率間的 具體表達(dá)式。 六、 風(fēng)險(xiǎn)與回報(bào) 由： ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?c ov ,c ov ,PP P P P PPPrPp x E m xE m x E m E x E m E xE m E x m xe E x m x??? ? ????? 可知： ? ? ? ?1 c o v ,rP xxe E R m R???，因此： ? ? ? ?c o v ,P r rE R e e m R?? 上式說(shuō)明： x 的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià) ? ?cov ,r xe m R? 僅與 m 有關(guān)，后者代表系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。 第四 講 期望效用與隨機(jī)占優(yōu) 效用理論理論是經(jīng) 濟(jì)學(xué)的基本概念，它可以被用來(lái)解釋商品的定價(jià)問(wèn)題。消費(fèi)者的效用函數(shù)決定了他怎樣在不同的商品之間做出選擇。消費(fèi)者對(duì)某種商品的選擇的全體構(gòu)成了社會(huì) 16 對(duì)商品的總需求；廠商也根據(jù)自己的效用函數(shù)制定該商品的產(chǎn)量，所有廠商的總產(chǎn)量構(gòu)成了社會(huì)對(duì)該商品的總共給，當(dāng)總供給與總需求相等時(shí)，該商品的價(jià)格就確定下來(lái)。如果將經(jīng)濟(jì)學(xué)的效用理論應(yīng)用于金融領(lǐng)域，不難發(fā)現(xiàn)，效用理論同樣也是金融資產(chǎn)定價(jià)的重要工具。以下我們分別給出序數(shù)效用和基數(shù)效用的基本理論。 一、 序數(shù)效用 效用被定義為快樂(lè)或滿足程度的數(shù)字度量。顯然，效用最大化是投資者和 消費(fèi)者的目的。根據(jù)決策的性質(zhì)，我們將個(gè)體理解為消費(fèi)者或投資者，這里的個(gè)體并不一定是單個(gè)的人，他是一個(gè)決策的主體。我們將個(gè)體面臨的所有選擇構(gòu)成的集合稱為選擇集，以下記 選擇集 為S 。我們要求 S 是一個(gè)凸集，即若 ixS? （ 1 in?? ），則組合 1 ,niiix x S?????其中：10, 1niii?????? 一般的，我們假定 nS? 。 對(duì)任意的 ,xy S? ， xy意味著 x 至少不比 y 差。如果 xy且 yx，則稱 ,xy無(wú)差異，記為： xy。如果 xy，且 xy不成立，則稱 x 嚴(yán)格優(yōu)于 y ，記為： xy。 我們假定偏好滿足如下的三個(gè)公理： 公理 1： 對(duì)任意的 xS? ， xx。 公理 2： 對(duì)任意的 ,xy S? ， xy與 yx至少有一個(gè)成立。 公理 3：對(duì)任意的 ,x y z S? ， xy且 yz? xz 注：（ 1）上面的三個(gè)公理說(shuō)明“ ”滿足：自反性、對(duì)稱性、傳遞性；稱這樣的偏好關(guān)系“ ”為理性偏好關(guān)系，此時(shí) S 關(guān)于“ ”成為一個(gè)全序集。 （ 2）偏好關(guān)系“ ”是個(gè)體決定的，相同的選擇集 S 上有多個(gè)偏好關(guān)系；類似的，下面的效用函數(shù)也有多個(gè)。 定義： 效用函數(shù) :US? 是滿足下列條件的函數(shù)： ? ? ? ?x y U x U y?? Debreu 給出反例說(shuō)明：僅滿足以上面三個(gè)公理的選擇集 S 上可能不存在效用函數(shù)。為此，我們需要增加公理以保證 S 總存在效用函數(shù)。 公理 4： 對(duì)任意的 ,xy S? 且 xy； ? ?, 0,1??? ，則 ： ? ? ? ?11x y x y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 注：公理 4 稱為“保序性公理”，它保證了 ,xy的序關(guān)系可以擴(kuò)大到 ,xy的凸組合上去。 公理 5： 對(duì)任意的 ,x y z S? ，如果 x y z ，則存在唯一的 ? ?0,1?? ，使得： ? ?1x y z???????? 17 注：在 2 上定義序關(guān)系： 1 1 1 1 2 2,x y x y x y x y? ? ? ?或；稱這個(gè)序關(guān)系為 2 上的字典序；顯然，字典序可以推廣到 n 上。可以證明：字典序滿足公理 14，但不滿足公理 5。 公理 6： 存在 ,x y S??? 滿足： 對(duì)任意的 zS? ， x z y??成立。 注：公理 6 稱為“有界性公理”。 序數(shù)效用函數(shù)的存在性定理： 如果選擇集 S 上的偏好關(guān)系 滿足公理 16，則 S 上存在效用函數(shù) :US? ，滿足： （ 1） ? ? ? ?x y U x U y?? （ 2） ? ? ? ?x y U x U y?? 證明：我們具體的構(gòu)造一個(gè)滿足條件（ 1）、（ 2）的效用函數(shù)。對(duì)任意的 zS? ，由公理 6，存在 ,x y S??? ，使得 x z y??。如果 xy??，則 xz? 對(duì)任意的 zS? 成立，此時(shí)可定義 :US? 為常數(shù)，顯然條件（ 1）、（ 2）成立。如果 xy??，定義 ? ? 1Ux? ? ， ? ? 0Uy? ? ；如果 ,z x z y??有一個(gè)成立，容易定義 ? ? 1Uz? 或 0；如果 x z y??，由公理 5，存在唯一的 ? ?0,1?? ，使得： ? ?1x y z??????????，定義 ? ?Uz?? 。由公理 13 可知， U是 S 上確定的函數(shù)。下面證明（ 1）、（ 2）成立。 （１） 如果 21zz，存在 12,??? ，使得： ? ?1 , 1 , 2i i ix y z i??????? ? ??? 由公理 4， 21??? ，即 ? ? ? ?21U z U z? 。反之，直接由 U 的定義及公理 4 可知： ? ? ? ?2 1 2 1U z U z z z?? （２） 直接驗(yàn)證即可。 定理中的效用函數(shù) U 起到了區(qū)分選擇優(yōu)劣的作用。由定義可知：如果 :H ? 是嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)，則 HU也是 S 上的效用函數(shù)；所以效用函數(shù)不能比較一個(gè)選擇比另一個(gè)選擇優(yōu)多少，它僅僅給出了 S 上的序關(guān)系，因此稱上面的效用函數(shù)為序數(shù)效用函數(shù)。 大多數(shù)用效用函數(shù)討論的問(wèn)題都涉及到效應(yīng)函數(shù)的最大化，因此涉及到效用函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性。存在性定理不能保證效用函數(shù)更多的分析性質(zhì)，下面給出與此相關(guān)的公理和結(jié)論。 公理 7：對(duì)任意的 ,xy S? ， x y x y?? 注：注意到 nS? ，因此 xy? 是 在 n 的自然序關(guān)系下的不等式，即 ,1iix y i n? ? ? 。公理 7 稱為單調(diào)性公理，其意義是：增加選擇 x 中任意一個(gè)分量 ix 都將增加效用。如果條 18 件變?yōu)?x y x y?? ，則稱 S 滿足嚴(yán)格單調(diào)性公理。如果 S 上存在效用函數(shù)，公理 7 保證了效用函數(shù)的單調(diào)或嚴(yán)格單調(diào)性。 公理 8： 對(duì)任意的 xS? 及任意的 0?? ，存在 yS? ，使得 yx???，且 yx。 注：公理 8 稱為局部非飽和公理，可以證明：公理 8 弱于公理 7。該公理保證了 S 上的無(wú)差異集不能形成“區(qū)域” 3，直觀上看，無(wú)差異集是很薄的。 公理 9： 對(duì)任意的 S 中的列 ? ? ? ?11,nnxy??，如果對(duì)任意的 n ， nnxy成立，且： lim , limnnnnx x y y?? ????