【文章內容簡介】 分成若干的組，組與組之間是相互獨立的，但組內的選擇之間卻是相互關聯(lián)的。這時，則需要采用嵌套模型來估計各種選擇的概率。例如，一個高中畢業(yè)生首先面臨兩種選擇：不上大學和上大學。在上大學的選擇中又存在著上公立學校和私立學樣的選擇。也就是說，他面臨的是三種選擇：不上大學、上公立大學或上私立大學。后兩種選擇與第一種選擇之間是相互獨立的，但是后兩者之間卻是相關聯(lián)的。以下我們就分析這種 M=2，即 j=0， 1， 2三種選擇時的情形。 ?隨機效用模型 設 j=0， 1， 2。假設 可分為兩組， 一組， 和 一組。兩組之間相互獨立，但 和 的相關系數(shù)為 。假設 和 的聯(lián)合分布為以下 II型極端值分布： *** ,ij ij iji ij ilYUY j Y Y l j???? ? ?當且僅當　0 1 2,i i i? ? ? 0i?1i? 2i?1i?1i?21 ??2i? 2i?? ?111 2 1 2( , ) e x p e x p ( ) e x p ( )i i i iF ?? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ???? 仍為 I型極端值分布： 此時的嵌套 Logit模型為： 0i?? ?00( ) e x p e x p ( )iiF ??? ? ?? ?0110 1 2* * * *0 1 0 2P r ( 0 | ) P r ( , | )ii i ii i i i i i iUU U Uo b Y o b Y Y Y Yee e e?????? ? ? ????XX ? ?? ?111 1211111120 1 2* * * *1 0 1 2P r ( 1 | ) P r ( , | )P r ( 1 | 0 , ) P r ( 0 | )iiiiii i ii i i i i i iUUUUUU U Ui i i i iob Y ob Y Y Y Yeeeee e e eob Y Y ob Y????????????????? ? ? ????? ??? ? ? ? ?XXXX? ?? ?111 1221111120 1 2* * * *2 0 2 1P r ( 2 | ) P r ( , | )P r ( 2 | 0 , ) P r ( 0 | )iiiiii i ii i i i i i iUUUUUU U Ui i i i iob Y ob Y Y Y Yeeeee e e eob Y Y ob Y????????????????? ? ? ????? ??? ? ? ? ?XXXX第三節(jié) 計數(shù)數(shù)據(jù)模型 計數(shù)數(shù)據(jù)模型的設定 計數(shù)數(shù)據(jù)模型的估計 ?當因變量為計數(shù)數(shù)據(jù)時，一般是以泊松分布而非正態(tài)分布來描述它的概率，此時，因變量 Y的概率分布函數(shù)為 （ ） 其中， ui一般設定為 或 （ ） 其中 Xi是包括常數(shù)項在內的 k個解釋變量?？梢宰C明， （ ） 對 ()式的設定可以保證 Yi的預測值是非負的。 P r ( )!iiuYiiieuo b Y YY???iiue ?? X β lo g iiu ?? X β( | ) ( | ) ii i i i iE Y V a r Y u e ?? ? ? X βXX?由（ ）式可得： （ ） 根據(jù)（ ）式，可以認為 β是解釋變量的變動對Y的變動率的平均影響。例如，假設第 j個解釋變量的系數(shù)是 βj，則它表明在其他變量不變的情況下， Xj每增加一個單位，則 Y發(fā)生的次數(shù)將平均增加 βj。如果第 j個解釋變量是虛擬變量的話，則它從 0到 1發(fā)生變化時， Y發(fā)生的次數(shù)將平均增加 。 ?在（ ）式中加入隨機擾動項，得到計數(shù)數(shù)據(jù)模型 （ ） l o g ( | )iiiEYX? ??X β1 0 0 [ e x p ( ) 1 ] %j???iiiYe ????X β ?對（ ）式參數(shù)的估計，雖然可以對對數(shù)方程直接進行 OLS估計，但是會丟失那些因變量取值為 0的數(shù)據(jù)，因為 0是無法取對數(shù)的。另一種選擇是直接采用非線性的迭代方法，但往往無法克服模型中的異方差特性，因此更多的是采用最大似然法進行估計。其對數(shù)似然函數(shù)為 （ ） 1l n e x p ( ) l n !Ni i i iiL Y Y?????? ? ? ? ???? X β X β?將參數(shù)的估計結果代入（ ）式，可以得到在給定解釋變量 X的值的情況下 Y的各種取值的概率的估計： ? ?()Pr ( ) , 0 , 1 , 2 ,!ii Yiiiieo b Y Y YY??? ?? ? ?X β X β第四節(jié) 限制因變量模型 截斷模型 審查模型 最大似然估計（ MLE） Heckman二階段估計 截斷模型 ?設以下隱變量模型： 其中， Yi*是隱變量，對于截斷數(shù)據(jù) Yi ， 當且僅 因此，對 Yi來說， （ ） * 1 , 2 , ,i i iY i T??? ? ?X β*iiYY? * 0iY ?**( | , 0 )( | , 0 )ii i i i ii i iY E Y YE Y Y??? ? ?? ? ?XX?其中， （ ） **ii( | , 0 )( | , )( | , )( | )iiiii i i i ii i i i ii i i iE Y YEEfd????? ? ? ???????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??X βXX β X X βX β X X βX β X β?在（ ）中， 是 的條件概率密度函數(shù)。因為 所以（ ）式可以寫成： （ ） 將（ ）式代入（ ）式得： （ ） 其中， 。 i( | )iifX? ? ???? i?i i i i i( | ) = ( ) ( ) ( ) 0i i i i i if d f d E? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ???X β X β X β**( | , 0 ) ( )i i i i iE Y Y ???? ? ?XX β X β()i i i iiiYV????? ? ????X β X βX β()i i iV ?????X β?對于（ ）式，如果直接將 Y對 X進行 OLS回歸，由于 ，所以 OLS估計量 不是一致估計量。 ?當 時， 的條件概率密度函數(shù) （ ） 因此（ ）中， （ ） ( ) ( ) 0iiE V E ??? ?????X βOLS?ii? ??? X β i?iii( ) ( )( | ) =P r ( ) ()iiiii iifffob fd????? ??????? ? ???? ?X βX βX βiiii( ) ( | )()()iiii i i iiiifdfdfd? ? ? ? ?? ? ????????????????? ? ?????X βX βX βX β X β?當假設 服從均值為零，方差為 的正態(tài)分布時，（ ）式可以進一步寫成： （ ） 其中 和 分別表示標準正態(tài)分布的累積函數(shù)和概率密度函數(shù)。 i? 2?()iii????????????????????? ??????X βX βX β???? ?????定義（ ）式中的比值 （ ） 稱為逆 Mills比率 (Inverse Mills Ratio)。將()式代入（ ）式，得到截斷數(shù)據(jù) Y的實際的方程 （ ） iii?????????????????? ??????X βX βi?i i i iY ? ? ??? ? ? ?X β 審查模型 ?對隱變量模型： 其中， Yi *是隱變量，如果實際獲取的是審查數(shù)據(jù) 即只能獲得 Yi *大于 0時的數(shù)據(jù)，當 Yi *小于 0時，只能得到觀測值 0。 * 1 , 2 , ,i i iY i T??? ? ?X β***,00 , 0iiiiYYYY? ??? ????當當　　?因此，對 Yi來說， () **( | , 0)P r ( 0) 0 P r ( 0) ( | , 0)P r ( 0) ( | , 0)P r ( 0) ( | , )i i i i ii i i i i ii i i i ii i i i i i iY E Y Yob Y ob Y E Y Yob Y E Y Yob Y E???? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ???XXXX β XX β?從（ ）式至（ ）式可知，（ ）式的 = 因此（ ）式可進一步簡化為 （ ） （ ）即為審查數(shù)據(jù)的實際模型。 ( | , )i i i iE ?? ???XX β()iii????????????????????? ??????X βX βX βiii i iY ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?X β X βX β 最大似然估計（ MLE） ?對于（ ）式和（ ）式的截斷模型和審查模型來說，都是非線性的， Y對 X的 OLS估計也不再是一致估計。當假設模型中的擾動項 時，可以用最大似然估計法估計模型中的參數(shù) 和 。 2~ ( 0 , )i N????一、截斷模型的似然函數(shù) ?對于截斷數(shù)據(jù)來說 ,當 Yi 0時 ,由 可以推出 。根據(jù)（ ）式和（ ）式， * 0i i