【文章內(nèi)容簡介】 由拋物線與圓的圖像特點有以下結(jié)論： a. 當 rd? 時，拋物線與圓在坐標平面的右半平面 沒有 交點 ，方程 （ ）沒有 實數(shù)解。 b. 當 rd? 時，拋物線與圓在坐標平面的右半平面有一個交點 ，方程 （ ）有一個實數(shù)解。 c. 當 rd? 時，拋物線與圓在坐標平面的右半平面有 兩個 交點 ，方程 （ ）有 兩個 實數(shù)解。 ② 當 0?x 時，討論的方法一樣，在這里就不論述了。 兩個種群相互競爭的數(shù)學模型 模型的建立以及穩(wěn)定 性分析 為了方便研究，我們考慮特殊情況下的平衡點的穩(wěn)定性，即考慮種群 1 和種群 2 受食物、環(huán)境等因素影響的密度制約強度相同即 baa ?? 2211 ，兩個種群的增長率相同即 arr ?? 21 ，兩個種群間有效的競爭系數(shù)是相同的即 caa ?? 2112 ，并假定 0,0 2313 ??? ada 。系統(tǒng)（ ）可變?yōu)? 11 1 222 1 2()()dx x a b x cx ddtdx x a cx b xdt? ? ? ? ????? ? ? ??? （ ） 模型（ ） 相對應的自治系統(tǒng)為 16 1 1 22 1 2( ) 0( ) 0x a bx cx dx a cx bx? ? ? ??? ? ? ?? （ ） 解方程組（ ）所得的平衡點為 )0,2 4( 21 b bdaaP ?? 和 )0,2 4( 22 b bdaaP ?? 而對于平衡點 )0,2 4( 22 b bdaaP ??，顯然 02 42 ??? b bdaa ，不符合實際，不考慮它的穩(wěn)定性，只考慮平衡點 )0,2 4( 21 b bdaaP ??的穩(wěn)定性。 對 )0,2 4( 21 b bdaaP ??，做平移變換 2112242a a bdXxbXx? ??? ?????? 代入（ ）得 2 2 22211 2 1 2 122221 2 1 2 2( 4 ) ( 4 ) ( 4 )( 4 )24( 4 )()2dX c a a bd a a bd a bda bd X X c X X bX ddt b bdX k c a a bdk a X c X X bXdt b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ??? 對上式取線性近似系統(tǒng) 2 2 22112222( 4 ) ( 4 ) ( 4 )( 4 )24( 4 )()2dX c a a bd a a bd a bda bd X X ddt b bdX c a a bdaXdt b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ??? ???? （ ） 系統(tǒng)（ ）的特征方程為 17 222( 4 )42( 4 )02c a a bda bdbc a a bdab?????????? 顯然特征方程的兩個解分別為 21 ( 4 )2c a a bda b? ???? 22 4a bd? ? ? ? 所以當 2( 4 )2c a a bda b??? 時，平衡點 )0,2 4( 21 b bdaaP ??不穩(wěn)定 所以當 2( 4 )2c a a bda b??? 時，平衡點 )0,2 4( 21 b bdaaP ??穩(wěn)定 由以上分析可知，當 2( 4 )2c a a bda b??? 時，種群 1將最終穩(wěn)定于其環(huán)境容納量 b bdaa 2 42 ?? ，種群 2最終會滅絕。 模型的仿真 令 100,1, ???? dcba ， 100)0()0( 21 ?? xx 此時系統(tǒng)（ ）為 11 1 222 1 2( 0 .5 0 .5 ) 1 0 0( 0 .5 0 .5 )dx x x xdtdx x x xdt? ? ? ? ????? ? ? ??? 代 入 數(shù) 據(jù) ， 有 平 衡 點 )0,(1P ， 2( 4 ) 5 .12c a a bdb?? ? 那么 有 2( 4 )2c a a bda b??? ， 故 平衡點 )0,(1P 是 穩(wěn)定的。 利用 SIMULINK 建立以上微分方程的仿真模型如圖五，從模塊 scope 得到仿真結(jié)果如圖六。 18 圖五 圖六 19 由圖六知，隨著時間的增加，種群 1 的數(shù)量無限的接近 10，而種群 2 會趨于滅絕，從中 也 可以知道平衡點 )0,(1P 是穩(wěn)定的， 可知我們 SIMULINK 仿真的結(jié)果與結(jié)論是十分吻合的 。 兩個種群相互競爭的數(shù)學模型 模型的建立以及穩(wěn)定性分析 系統(tǒng)（ ）考慮的是特殊情況，而在自然界中兩個種群相互競爭的關(guān)系是多種多樣的，下面我們來討論更一般的情況。常見的是種群 1 和種群 2 受食物、環(huán)境等因素影響的密度制約強度近似相同即 baa ?? 2211 ，在競爭中占優(yōu)勢的種群增長率會偏大，并且有效的競爭系數(shù)也會偏大，設(shè)種群 1 的增長率為 ar?1 和有效競爭系數(shù)是 ca ?12 ，若種群 1 在競爭中占優(yōu)勢，那么種群 2 的增長率和有效競爭系數(shù)會比種群 1的偏低，故設(shè)種群 2 的增長率為 akr 12 ? 和有效競爭系數(shù)是 cka 222? ，其中 1,1 21 ?? kk .種群 1 在競爭中占優(yōu)勢，在環(huán)境相對穩(wěn)定的條件下，不會滅絕，所以 在種群 1總體增長率加上一個修正因子 d ，系統(tǒng)（ ）可變?yōu)? 11 1 222 1 2 1 2()()dx x a b x cx ddtdx x k a k cx b xdt? ? ? ? ????? ? ? ??? （ ） 模型（ ）相對應的自治系統(tǒng)為 1 1 22 1 2 1 2( ) 0( ) 0x a b x cx dx k a k cx b x? ? ? ??? ? ? ?? （ ） 解方程組（ ）所得的平衡點為 )0,2 4( 21 b bdaaP ?? 和 )0,2 4( 22 b bdaaP ?? 而對于平衡點 )0,2 4( 22 b bdaaP ??，顯然 02 42 ??? b bdaa ，不符合實際， 20 不考慮它的穩(wěn)定性，只考慮平衡點 )0,2 4(21 b bdaaP ??的穩(wěn)定性， 對 )0,2 4( 21 b bdaaP ??，做平移變換 2112242a a bdXxbXx? ??? ?????? （ ） 代入（ ）得 2 2 22211 2 1 2 122221 2 1 2 2( 4 ) ( 4 ) ( 4 )( 4 )24( 4 )()2dX c a a bd a a bd a bda bd X X c X X bX ddt b bdX k c a a bdk a X c X X bXdt b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ??? （ ） 對上式取線性近似系統(tǒng) 2 2 22112222( 4 ) ( 4 ) ( 4 )( 4 )24( 4 )()2dX c a a bd a a bd a bda bd X X ddt b bdX c a a bdaXdt b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??????? ???? （ ） 系統(tǒng)（ ）的特征方程為 22221( 4 )42( 4 )02c a a bda bdbk c a a bdkab??? ? ??????? （ ） 顯然特征方程的兩個解分別為 2211 ( 4 )2k c a a b dka b? ???? 22 4a d? ? ? ? 所以當 221 ( 4 )2k c a a bdka b???時，平衡點 )0,2 4( 21 b bdaaP ??不穩(wěn)定； 所以當 221 ( 4 )2k c a a bdka b???時，平衡點 )0,2 4( 21 b bdaaP ??穩(wěn)定。 21 由以上分析可知，當 221 ( 4 )2k c a a bdka b???時，種群 1 將最終穩(wěn)定于其環(huán)境容納量 b bdaa 2 42 ?? ，種群 2最終會滅絕。 令 50, ???? dcba ， , 21 ?kk 50)0()0( 21 ?? xx 此時系統(tǒng)（ ）為 11 1 222 1 2( 0 .5 0 .5 0 .5 ) 5 0( 0 .3 0 .4 0 .5 )dx x x xdtdx x x xdt? ? ? ? ????? ? ? ??? 代入數(shù)據(jù)有，平衡點 )0,(1P ， 22 ( 4 ) 4 .82k c a a bdb?? ?， 1 ? ， 那么221 ( 4 )2k c a a b dka b???， 故 平衡點 )0,(1P 是穩(wěn)定的 。 模型的仿真 利用 SIMULINK 建立以上微分方程的仿真模型如圖七，從模塊 scope 得到仿真結(jié)果如圖八 22 圖七 圖八 23 由圖八知，隨著時間的推移，種群 1 群體數(shù)無限的接近 10，而種群 2 會趨于滅絕，從圖中可以知道平衡點 )0,(1P 是穩(wěn)定的。 綜上所述，可知我們 SIMULINK 仿真的結(jié)果與結(jié)論是十分吻合的，從仿真的結(jié)果可以看出改進的兩種群競爭模型更加符合實際，更具有現(xiàn)實意義。 24 參考文獻 [1]肖燕妮，唐三一 .單種群生物動力系統(tǒng) [M].北京 ：科學出版社的 .2021， 3740 [2]姜啟源等 .數(shù)學模型 .北京：高等教育出版社 [M].2021， 1215 [3]毛凱，李日華 .種群競爭模型的穩(wěn)定性分析 [J].生物數(shù)學報。 1999， 14（ 3） .288291 [4]孫多如 .山東大學 .生物種群的數(shù)學模型 [D].2021， 25 [5]王高雄等 .常微分方程 [M].北京：高等教育出版 社 .1978， 256263 [6]張偉年等 .常微分方程 [M]. 北京：高等教育出版社 .2021， 165174 [7]馬利兵 ， 林都 .基于 MATLAB 的常微分方程仿真 探索 [J].機械管理開發(fā) 期刊 .2021，第 1 期 .110112 [8]顏爾達 .用圖像法求一元三次、四次方程的實數(shù)根 [J].自然科學報 .1996，第 1期 .5657 [9]蔣長安 ， 孫廣才 .生物種群增長模型的研究 [J].陜西工學院報 .2021， 19（ 4） .4243 [10]棟祚蕃 .關(guān)于一元系數(shù)四次方程根的分布特征 [J]. 自然科學報 .1996， 3（ 1） .1113 內(nèi)部資料 請勿外傳 9JWKf wvGt YM*Jgamp。 6a*CZ7H$dq8Kqqf HVZFedswSyXTyamp。 QA9wkxFyeQ^! djsXuyUP2kNXpRWXm Aamp。 UE9aQ@Gn8xp$Ramp。849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE%amp。 qYp@Eh5pDx2zVkumamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。ksv*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK!zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE% amp。 qYp@Eh5pDx2zVkum amp。gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。MuWFA5ux^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE% amp。 qYp@Eh5pDx2zVkum amp。gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE%amp。 qYp@Eh5pDx2zVkumamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3tnGK8! z89Am UE9aQ@Gn8xp$Ramp。 849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@ UE%amp。 qYp@Eh5pDx2zVkumamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3tnGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE%amp。 qYp@Eh5pDx2zVkumamp。 gT