【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 9。ICNSV=12 2 3 = 3 （ 2） 圖 在直角梯形 ABCD 中 幾何畫(huà)板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 32 因?yàn)?CD=6，∠ DCB=60176。 所以 AB=3 3 cm 當(dāng)直角梯形在第三次翻折后，剛好跟等邊三角形的 PM 邊有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)能滿足重疊部分的面積等于直角梯形 ABCD 的面積，設(shè)這個(gè)交點(diǎn)為 K，如圖 。 在 Rt△ KMB 中， tan30176。 = MBKB MB =3 3 33 =3 所以 MN= MB + 39。BC+ 39。CN=3+5+2=10 cm （ 3）ABCDS梯 形=12 （ 2+5） 3 3 =2132 當(dāng) M 與 B 重合 時(shí)，交 39。 39。DC于 V .如圖 。 圖 則 MVC39。SV = 1 5 3 25 35=2 2 4?? ＞ 12 S 梯形 ABCD． 幾何畫(huà)板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 33 圖 所以 MC’ ＜ 5，設(shè) MC’ =x，則有 h39。= 32 x，如圖 。 所以 令 S公 共 部 分 =12 xg 32 x=2134 解得 x= 21 因?yàn)?39。CN=2 所以等邊三角形 MNP 的邊長(zhǎng) a 為（ 21 +2） cm 一平面圖形經(jīng)過(guò)翻折后成為空間圖形 ,由于位置關(guān)系變了 ,有些元素在位置關(guān)系的變化中發(fā)生了變化 ,有些 元素的數(shù)量關(guān)系并不改變 。翻折類題型的解法的關(guān)鍵是要抓住 這些變動(dòng)著的量和保持不變的量之間的關(guān)系 ，搞清楚變化的量在翻折過(guò)程中的空間關(guān)系的位置 變化 。利用幾何畫(huà)板進(jìn)行翻折類題型的動(dòng)態(tài)展示，更清晰地看清平面圖形翻折過(guò)程中的動(dòng)態(tài)變化。變化的量在變化的過(guò)程中 通過(guò)幾何畫(huà)板 有一個(gè)很直觀的 動(dòng)態(tài) 展示 ，能更好地理解題目 。 3 旋轉(zhuǎn)類問(wèn)題 旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度成為與原來(lái)相等的圖形，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角 。 幾何畫(huà)板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 34 旋轉(zhuǎn)特征：圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形中的每一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角都相等，都等于圖形的旋轉(zhuǎn)角 。 這是圖形變換最基本的一種，我選取了比較有代表性的 2021 年 山東德州中考第 23 題為例子，詳解如下： 例 3（ 2021年山東德州） 已知正方形 ABCD 中， E 為 對(duì)角線 BD 上一點(diǎn)，過(guò) E 點(diǎn)作 EF⊥ BD 交 BC 于 F，連接 DF， G 為 DF 中點(diǎn)，連接 EG， CG． （ 1） 求證： EG=CG； （ 2）將圖①中 △ BEF 繞 B 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45186。，如圖 ②所示 ，取 DF 中點(diǎn) G，連接 EG， CG．問(wèn)（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立 ？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 ． （ 3）將圖①中 △ BEF 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還 能得出什么結(jié)論？（均不要求證明） F B A D C E G 第 23 題圖 ① F B A D C E G 第 23 題圖 ② F B A C E 第 23 題圖 ③ 幾何畫(huà)板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 35 動(dòng)態(tài)體現(xiàn) 請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“旋轉(zhuǎn) 1”。 探究過(guò)程展現(xiàn) 該題的 主要 變量是：△ BEF 的大小， 主要 不變量是：線段 EG 與線段 GC 的位置。 （ 1）對(duì)于第一問(wèn)： 求證： EG=CG； 點(diǎn)擊“動(dòng)點(diǎn) E” 按鈕 ，可改變線段 BE 的長(zhǎng)度，從而改變△ BEF 的大小。 如圖 和圖 。 在這個(gè)過(guò)程中， EG 與 GC 的長(zhǎng)度雖然隨時(shí)改變，但能清晰地觀察到 EG 與 GC 的長(zhǎng)度始終相等。從課件中讓學(xué)生初步感知到“變”與“不變”。 圖 幾何畫(huà)板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 36 圖 （ 2）對(duì)于第二 問(wèn)： 將圖①中 △ BEF 繞 B 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45186。，如圖 ②所示 ，取DF 中點(diǎn) G，連接 EG， CG．問(wèn)（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立 ？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 ． 點(diǎn)擊“逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)”按鈕，即能讓學(xué)生看到△ BEF 整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程。 如圖 到圖 。 學(xué)生能全程看到線段 EG 和線段 GC 的長(zhǎng)度始終不變，從而進(jìn)一步思考原因。觀察后按“三角形返回”按鈕，使三角形恢復(fù)旋轉(zhuǎn)前位置。 圖 圖 （ 3） 除此之外，可點(diǎn)擊“ E 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)”按鈕，隨意改變線段 BE 的長(zhǎng)度再行觀察。如圖 。 幾何畫(huà)板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 37 圖 （ 3）對(duì)于 第 三 問(wèn)： 將圖①中 △ BEF 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論？ 如圖 至 。 點(diǎn)擊 “任意角度旋轉(zhuǎn)點(diǎn) E” 按鈕，即可對(duì)△ BEF 進(jìn)行任意角度旋轉(zhuǎn)，此時(shí)可隨時(shí)觀察到 EG 與 GC 各自的長(zhǎng)度雖然改變，但始終相等。點(diǎn)擊“三角形返回 ”即可恢復(fù)旋轉(zhuǎn)前的位置。 圖 圖 幾何畫(huà)板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 38 圖 （ 4） 跟前兩問(wèn)一樣，點(diǎn)擊“動(dòng)點(diǎn) E”按鈕，可隨意改變線段 BE 的長(zhǎng)度，進(jìn)而改變 △ BEF 的大小，進(jìn) 行再次觀察。 （ 5） 當(dāng)然，可以將三個(gè)小問(wèn)整合在同一個(gè)圖中展現(xiàn)出來(lái)。 如圖 。 圖 幾何畫(huà)板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 39 課件制作步驟要點(diǎn) （ 1） 畫(huà)出正方形 ABCD，與對(duì)角線 BD，作 BD 的中點(diǎn) I，構(gòu)造線段 BI，在 BI上作一個(gè)點(diǎn) E。然后隱藏點(diǎn) I。 如圖 。 圖 （ 2） 制作點(diǎn) E 的動(dòng)畫(huà)點(diǎn)。使點(diǎn) E 在線段 BI 上來(lái)回運(yùn)動(dòng)。 這樣便構(gòu)造會(huì)改變大小的△ BEF. 圖 （ 3） 按照題目的條件畫(huà)出下圖。但很快發(fā)現(xiàn)這樣 △ BEF 是不能夠旋轉(zhuǎn)的。 幾何畫(huà)板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 40 圖 （ 4） 為使 △ BEF 能夠繞點(diǎn) B 旋轉(zhuǎn)，以點(diǎn) B 為圓心，分別以 BE 與 BF 的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)圓。在小圓上作點(diǎn) N，過(guò)點(diǎn) N 作 BN 的垂線，交大圓于 O。 如圖 。 圖 （ 5） 作點(diǎn) N 移動(dòng)到點(diǎn) E 的操作按鈕，命名為“三角形返回”。 幾何畫(huà)板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 41 圖 （ 6） 作小圓與 AB 的交點(diǎn) P，作點(diǎn) N 移動(dòng)到點(diǎn) P 的操作按鈕，命名為“逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)”。 圖 （ 7） 作點(diǎn) N 的動(dòng)畫(huà)點(diǎn)，使點(diǎn) N 能在小圓上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度。將按鈕更名為“任意角度旋轉(zhuǎn)”。 幾何畫(huà)板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 42 圖 （ 8） 隱藏該隱藏的，將點(diǎn) N， O 更名為點(diǎn) E 與點(diǎn) F。 圖 （ 9） 連接 FD，作 FD 的中點(diǎn) G，連接 EG 與 GC。度量出 EG 與 GC 的長(zhǎng)度。完成。 圖 幾何畫(huà)板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 43 滿 分解答 解： （ 1）證明：在 Rt△ FCD 中， ∵ G 為 DF 的中點(diǎn)，∴ CG=12 FD 同理， 在 Rt△ DEF 中， EG=12 FD ∴ CG=EG （ 2）（ 1）中結(jié)論仍然成立 ，即 EG=CG 證法一：連 接 AG，過(guò) G 點(diǎn)作 MN⊥ AD 于 M，與 EF 的延長(zhǎng)線交于 N 點(diǎn) ． [來(lái)源 :學(xué) 科 網(wǎng) ZXXK] 在 △ DAG 與 △ DCG 中 ， ∵ AD=CD，∠ ADG=∠ CDG， DG=DG， ∴ △ DAG≌△ DCG ∴ AG=CG 在 △ DMG 與 △ FNG 中， ∵ ∠ DGM=∠ FGN， FG=DG，∠ MDG=∠ NFG， ∴ △ DMG≌ △ FNG． ∴ MG=NG F B A D C E G M N N 圖 ②（一） 幾何畫(huà)板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 44 在矩形 AENM 中， AM=EN 在 Rt△ AMG 與 Rt△ ENG 中 ， ∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △ AMG≌ △ ENG ∴ AG=EG ∴ EG=CG 證法二：延長(zhǎng) CG 至 M,使 MG=CG， 連接 MF， ME， EC 在 △ DCG 與 △ FMG 中 ， ∵ FG=DG，∠ MGF=∠ CGD， MG=CG， ∴ △ DCG ≌ △ FMG． ∴ MF=CD，∠ FMG＝∠ DCG． ∴ MF∥ CD∥ AB ∴ EF MF? 在 Rt△ MFE 與 Rt△ CBE 中 ， ∵ MF=CB， EF=BE， ∴ △ MFE ≌ △ CBE ∴ MEF CEB? ?? ∴ ∠ MEC＝∠ MEF＋∠ FEC＝∠ CEB＋∠ CEF＝ 90176。 ∴ △ MEC 為直角三角形． ∵ MG = CG， ∴ EG=21 MC． F B A D C E 圖 ③ G F B A D C E G M 圖 ②（二） 幾何畫(huà)板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 45 ∴ EGCG? （ 3）（ 1）中的結(jié)論仍然成立， 即 EG=CG．其他 的結(jié)論 還有 :EG⊥ CG 例 4（ 2021湖南常德市 ） 如圖 10，若四邊形 ABCD、四邊形 CFED 都是正方形，顯然圖中有 AG=CE， AG⊥ CE. (1)當(dāng)正方形 GFED 繞 D 旋轉(zhuǎn)到如圖 11 的位置時(shí)， AG=CE 是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 . (2)當(dāng)正方形 GFED 繞 D 旋轉(zhuǎn)到如圖 12 的位置時(shí)，延長(zhǎng) CE 交 AG 于 H，交 AD 于M. ①求證： AG⊥ CH。 ②當(dāng) AD=4， DG= 2 時(shí)，求 CH 的長(zhǎng)。 A B C D E F 圖 10 G A D 圖 11 F E B C G A D B C E F H M 圖 12 幾何畫(huà)板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 46 動(dòng)態(tài)體現(xiàn) 請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“旋轉(zhuǎn) 2”。 探究過(guò)程展現(xiàn) 該題的 主要 變量是：正方形 ABCD 與正方形 DEFG 的大小 ,以及正方形 DEFG 的位置。 主要不變量是： CE 與 AG的構(gòu)造。 對(duì)于第一問(wèn)： 當(dāng)正方形 GFED 繞 D 旋轉(zhuǎn)到如圖 11 的位置時(shí)， AG=CE 是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 . （ 1） 如圖 和圖 。 點(diǎn)擊“轉(zhuǎn)動(dòng)”按鈕，正方形 DEFG 會(huì)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。再次按下按鈕，即停止，此時(shí)可觀察到 AG 與 CE 的長(zhǎng)度雖然時(shí)刻在改變，但始終相等。 圖 圖 幾何畫(huà)板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 47 （ 2）也可以拉動(dòng)點(diǎn) C 或點(diǎn) P 改變正方形 ABCD 與正方形 DEFG 的大小再行觀察。線段 PV 的長(zhǎng)度為正方形 DEFG 的邊長(zhǎng)。如下圖。 圖 圖 對(duì)于第二問(wèn)第①小題： 當(dāng)正方形 GFED 繞 D 旋轉(zhuǎn)到如圖 12 的位置時(shí)，延長(zhǎng) CE交 AG 于 H，交 AD 于 M. ①求證： AG⊥ CH （ 3） 點(diǎn)擊“移動(dòng)到 目標(biāo)”按鈕， 則正方形移動(dòng)到目標(biāo)位置。 停止后觀察∠ AHC大小。 如圖 ，可觀察到∠ AHC=90176。，即 AG⊥ CH。 幾何畫(huà)板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 48 圖 （ 4）對(duì)于第②小題： 當(dāng) AD=4， DG= 2 時(shí)，求 CH 的長(zhǎng)。 點(diǎn)擊“第三問(wèn)”按鈕， 會(huì)發(fā)現(xiàn)正方形 ABCD 與 DGFE 的大小發(fā)生改變，使 AD=4，DG= 2 。此時(shí)可 觀察 HC 的坐標(biāo)距離為 . 如圖 。 幾何畫(huà)板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 49 圖 課件制作步驟要點(diǎn) （ 1） 建立平面直角坐標(biāo)系，構(gòu)造正方形 ABCD。 此時(shí)點(diǎn) A 與點(diǎn) C 能在軸上運(yùn)動(dòng)，改變正方形 ABCD 的大小。 圖 （ 2） 在 x 軸上任意找一點(diǎn) V，過(guò) V 點(diǎn)構(gòu)造 x