【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 D 與 AB有怎樣的關(guān)系時(shí)，Δ ABC∽Δ CBD∽Δ ACD； （ 3）畫出符合（ 1）、（ 2）題意的兩種圖形，使圖形中的 CD=2cm。 評(píng)注： 試題考查了圓周角定理的推論： 90ο 的圓周角所對(duì)的弦是直徑，直角三角形相似的判定，相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等基本內(nèi)容。本題由三個(gè)探索性問題組成：通過圓周角是直角時(shí)，探索圓心 O 與弦 AB 的位置關(guān) 系；由三個(gè)三角形之間的相似關(guān)系探求 CD 與 AB 的位置關(guān)系由相似直角三角形一邊的數(shù)量關(guān)系探索其它邊的數(shù)量關(guān)系。本題把傳統(tǒng)題改編為尋求使結(jié)論成立的條件的探究性問題。入手不難，層層深入，融探究與畫圖于一題，可謂獨(dú)具匠心。 （ 2）數(shù)學(xué)規(guī)律探究的題材更廣泛 A B E D C F 17 近兩年來，通過觀察若干算式發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的題目越來越多地被各地市中考試卷所采用。在此基礎(chǔ)上，今年探究規(guī)律的試題的取材更加廣泛，形式更加活潑，考查的力度也明顯增強(qiáng)。有些試題配合代數(shù)、幾何兩科即將合一的課改趨勢(shì)，設(shè)計(jì)了一批由觀察圖形的變化探索數(shù)量關(guān)系的新題、好題。 例 23 荊門市試卷第 10 題 觀察下列圖形，并閱讀圖形下面的相關(guān)文字： 像這樣，十條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 （ A） 40 個(gè) （ B） 45 個(gè) （ C） 50 個(gè) （ D） 55 個(gè) 評(píng)注： 本題要求從觀察兩條、三條、四條、……直線相交的圖形，找出所得交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多時(shí)圖形的特點(diǎn)，歸納、猜想出十條直線相交時(shí)問題的結(jié)論，主要考查學(xué)生對(duì)圖形敏銳的觀察力和對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)探究能力，是一個(gè)經(jīng)典的幾何問題。 例 24 山東試卷第 17 題 如圖是某廣場(chǎng)地面的一部分。地面的中央是一塊正六邊形的地磚，周圍用正三角形和正方形的大理石地 磚密鋪，從里向外共鋪了 12 層（不包括中央的正六邊形地磚），每一層的外邊界都圍成一個(gè)多邊形。若中央正六邊形的地磚的邊長(zhǎng)為 米，則第 12 層的外邊界所圍成的多邊形的周長(zhǎng)為 。 兩條直線相交， 最多有 1個(gè)交點(diǎn)； 三條直線相交， 最多有 3個(gè)交點(diǎn)； 四條直線相交， 最多有 6 個(gè)交點(diǎn)； ?? ?? 18 評(píng)注： 本題是一道生活實(shí)際中的密鋪問題，考生需根據(jù)題目的文字?jǐn)⑹龊徒o出的圖形，發(fā)現(xiàn)由正三角形和正方形地磚按題意密鋪后所得到的各層多邊形周長(zhǎng)的變化規(guī)律，體現(xiàn)了形與數(shù)的關(guān)聯(lián)，這種從圖形的變化規(guī)律中探求數(shù)量關(guān)系變化規(guī)律的題目，更有益于考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。 例 25 荊州市試卷第 15 題 將正偶數(shù)按下表排成 5 列： 第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列 第 1 行 2 4 6 8 第 2 行 16 14 12 10 第 3 行 18 20 22 24 …… …… 28 26 根據(jù)上面排列規(guī)律，則 2021 應(yīng)在 （ ） A．第 125 行，第 1 列 B．第 125 行，第 2 列 C．第 250 行，第 1 列 D．第 250 行，第 2 列 評(píng)注： 本題是一個(gè)正偶數(shù)排列問題，根據(jù)所給出的前 14 個(gè)正偶數(shù)的排序，要求學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)這種排序方式的一般規(guī)律，即由小到大奇數(shù)行從左向右排，偶數(shù)行從右向左排，每行 4 個(gè)數(shù)，奇數(shù)行第一列空缺，偶數(shù)行第 5 列空缺。在明確規(guī)律的情況下，確定 2021 所在的行與列。題目是一個(gè)從特殊探究一般規(guī)律的探究性問題，又是一個(gè)需計(jì)算與判斷的問題。 4．不少試題開始注意滲透數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的新理 念 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)于 2021 年頒布了征求意見稿， 2021 年頒布了實(shí)驗(yàn)稿。課程標(biāo)準(zhǔn)中闡述了我國(guó)數(shù)學(xué)教育的新理念，代表了新世紀(jì)我國(guó)數(shù)學(xué)教育改革的發(fā)展趨勢(shì)，課程標(biāo)準(zhǔn)提出的總體目標(biāo)，在知識(shí)技能方面特別強(qiáng)調(diào)了“過程”，如經(jīng)歷將一些問題抽象為數(shù)與代數(shù)問題的過程；經(jīng)歷探究物體與圖形的形狀、大小、位置 19 關(guān)系和變換的過程；經(jīng)歷提出問題、收集和處理數(shù)據(jù)、作出決策和預(yù)測(cè)的過程；強(qiáng)調(diào)掌握代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能；強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)思考；強(qiáng)調(diào)了解決問題；強(qiáng)調(diào)了情感與態(tài)度，以上要求在 2021 年各地的中考試卷中開始受到重視并 得到體現(xiàn)。 （ 1）體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，注重情感、興趣等個(gè)性品質(zhì)的培養(yǎng)和考查 例 26 黑龍江省試卷第 13 題 選出下列圖形中的軸對(duì)稱圖形（ ） （ A）①② （ B）①④ （ C）②③ （ D）③④ 例 27 威海市試卷第 3 題 下列四個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ） ① ② ③ ④ （ A）①②③④ (B) ①②③ (C)①③ (D)③ 例 28 濟(jì)南市試卷第 22 題 如圖，是一臺(tái)電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖，由 6 個(gè)顏色不同的正方形組成。設(shè)中間最小的一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為 1，則這個(gè)矩形色塊圖的面積為 。 例 29 淄博市試卷第 10 題 如圖，在Δ ABC 中， AB=BC=AC=3， O 是它的內(nèi)心，以 O 為 中心，將Δ ABC 旋轉(zhuǎn) 180176。得到Δ A39。B39。C39。，則 Δ ABC 與Δ A39。B39。C39。重疊部分的面積是（ ） A B C A’ B’ C’ 20 A.233 B.433 C.23 D. 36 評(píng)注： 以上幾題的構(gòu)思都很巧妙，考生在解答試題的過程中，通過觀察這些豐富多彩的幾何圖形，既要運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)靈活處理問題，又可從中感悟到幾何圖形的美，展示了數(shù)學(xué)的魅力。從而有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高他們的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng) ,調(diào)動(dòng)學(xué)生積極的思維。 （ 2）重視對(duì)統(tǒng)計(jì)初步知識(shí)的考查，試題的取材更加聯(lián)系實(shí)際 隨著對(duì)統(tǒng)計(jì)初步知識(shí)重要性認(rèn)識(shí)的提高，各地試卷普遍重視對(duì)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的考查，所占分值有過去的 3%增加到 6%左 右。多數(shù)試卷中大都設(shè)有 2 個(gè)統(tǒng)計(jì)題，而且至少有 1 個(gè)是解答題?？疾榈膬?nèi)容、形式也有新的變化。多數(shù)都以密切聯(lián)系生產(chǎn)和生活的應(yīng)用題形式出現(xiàn)。以往慣用的名為統(tǒng)計(jì)題實(shí)為數(shù)、式計(jì)算題已不多見。 例 30 新疆試卷第 15 題 一家電腦生產(chǎn)廠家在某城市三家經(jīng)銷本廠產(chǎn)品的大商場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查，產(chǎn)品的銷售占這三個(gè)大商場(chǎng)同類產(chǎn)品銷量的 40%。由此在廣告中宣傳，他們的產(chǎn)品在國(guó)內(nèi)同類產(chǎn)品的銷量占 40%。請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷該宣傳中的數(shù)據(jù)是否可靠： ；理由是： 。 評(píng)注： 本題的背景取自學(xué)生熟悉的實(shí)際生活，以填空題的形式呈現(xiàn)，從一個(gè)新的側(cè)面考查統(tǒng)計(jì)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，并且考查學(xué)生的判斷、推理、論證等方面的能力。 例 31 濟(jì)南市試卷第 27 題 如圖 12 是某晚報(bào)“百姓熱線”一周 內(nèi)接到的熱線電話的統(tǒng)計(jì)圖。其中有關(guān)環(huán)境0 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 奇聞?shì)W事 其他投訴 道路交通 環(huán)境保護(hù) 房產(chǎn)建筑 表?yè)P(yáng)建議 圖 12 21 保護(hù)問題的熱線電話最多，共 70 個(gè)。請(qǐng)回答下列問題： （ 1） 本周“百姓熱線”共接到熱線電話多少個(gè)？ （ 2） 有關(guān)道路交通問題的電話有多少個(gè)？ 評(píng)注： 本題以某晚報(bào)“百姓熱線”一周內(nèi)接到的統(tǒng)計(jì)圖為題材，突破了統(tǒng)計(jì)試 題局限于單純的數(shù)字計(jì)算、缺乏實(shí)際背景的傳統(tǒng)模式。貼近生活，符合青少年關(guān)心社會(huì)的心理，體現(xiàn)了數(shù)字與生活密不可分的聯(lián)系。 （ 3）注意了學(xué)科之間知識(shí)的聯(lián)系和綜合運(yùn)用 數(shù)學(xué)由于具有廣泛的應(yīng)用性而成為一門工具學(xué)科。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出：要將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科密切地聯(lián)系起來，從其他學(xué)科中挖掘可以利用的資源來創(chuàng)設(shè)情境，利用數(shù)學(xué)解決其他學(xué)科中的問題。 2021 年各地的中考試題，在加強(qiáng)學(xué)科之間知識(shí)的綜合運(yùn)用方面進(jìn)行了一些嘗試和探索，注意了和數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念相貼近，出現(xiàn)了一批新題和好題。 例 32 北京市宣武區(qū)第 4 題（選擇題） 一納米是 1 米的十億分之一，用科學(xué)記數(shù)法表示， 1 納米等于 （ A） 1 1010米 （ B） 1 109米 （ C） 1 109米 （ D） 1 1010米 評(píng)注 ：納米技術(shù)是經(jīng)常見諸報(bào)端的科技新詞匯。本題先介紹了納米的概念，再讓考生用科學(xué)記數(shù)法將納米與米的換算關(guān)系表示出來，既考查了科學(xué)記數(shù)法的概念，又使學(xué)生加深了對(duì)“納米”一詞的認(rèn)識(shí)，可謂一舉兩得。 例 33 北京西城區(qū)第 15 題（選擇題） 一個(gè)圓臺(tái)形物體的上底面積是下底面積的 41 ，如圖放在桌面上，對(duì)桌面的壓強(qiáng)為 200 帕，翻 過來放，對(duì)桌面的壓強(qiáng)是 (A)50 帕 （ B） 80 帕 （ C） 600 帕 （ D） 800 帕 22 例 34 北京西城區(qū)第４題（填空題） 如圖，觀察硝酸鉀和氯化銨在水里的溶解 度。當(dāng)溫度為 c?40 時(shí)， ______ 的溶解度大于 ______ 的溶解度。 評(píng)注： 西城區(qū)試卷中的選擇題第 15 題和填空題第４題分別是與初中物理和化學(xué)內(nèi)容有關(guān)的問題。這兩道試題一改過去數(shù)學(xué)中“老應(yīng)用題”的面孔，將數(shù)學(xué)內(nèi)容 和物理、化學(xué)的學(xué)科知識(shí)揉合在一起，使學(xué)生在全新的問題情境下，一展他們“用數(shù)學(xué)”的能力，是中考數(shù)學(xué)命題改革的一種新的嘗試。 （ 4）命題注重了數(shù)學(xué)思維過程的考查，強(qiáng)調(diào)科學(xué)的思維方法 例 35 濟(jì)南市試卷第 30 題 如圖 1，已知⊙○和⊙○ 39。 都經(jīng)過點(diǎn) A 和點(diǎn) B， 直線 PQ 切⊙○于點(diǎn) P，交⊙○ 39。于點(diǎn) Q、 M，交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) N. （ 1）求證： PN2=NM NQ. （ 2）若 M 是 PQ 的中點(diǎn)，設(shè) MQ=x， MN=y，求證： x=3y. （ 3）若⊙○ 39。不動(dòng)，把⊙○向右或向左平移，分別得到圖 圖 圖 4，請(qǐng)你判斷（直接寫出 判斷結(jié)論，不需證明）： ①（ 1）題結(jié)論是否仍然成立？ ②在圖 2 中，（ 2）題結(jié)論是否仍然成立？ （固體的溶解度曲線） 溶解度／克 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 硝酸鉀 氯化 銨 120 100 80 60 40 20 50 40 30 20 10 溫度 ?C B N A O O’ M Q P (圖 1) A O’ M (B) O N Q P （圖 2） B M A N P O O’ Q (圖 3) A(B) M N P Q O O’ （圖 4） 23 在圖 圖 4 中，若將（ 2）題條件改為： M 是 PN 的中點(diǎn)，設(shè) MQ=x， MN=y，則 x=3y 的結(jié)論是否仍然成立？ 評(píng)注： 本題是將人教版義務(wù)教育三年制初中教科書幾何第三冊(cè) P130 頁(yè)練習(xí)題拓廣、挖掘而成，本題設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)態(tài)變化過程的生動(dòng)的背景，要求考生運(yùn)用動(dòng)與靜、變與不變的辯證觀點(diǎn)通過探索、發(fā)現(xiàn)、類比、推理，從而獲得結(jié)論。問題的提出具有啟發(fā)性，引導(dǎo)學(xué)生從靜態(tài)的幾何圖形中證得的等積式出發(fā)，運(yùn)用設(shè)輔助參數(shù)、列方程、進(jìn)行等式變形等 方法探究問題的結(jié)論，在解決問題的過程中，受到方法論的熏陶。 例 36 山西省試卷第 24 題 （ 1）閱讀下列材料，補(bǔ)全證明過程： 已知：如圖，矩形 ABCD 中， AC、 BD 相交于點(diǎn) O， OE⊥ BC 于 E，連結(jié) DE 交 OC 于點(diǎn) F，作 FG⊥ BC 于 G. 求證：點(diǎn) G 是線段 BC 的一個(gè)三等分點(diǎn) . 證明：在矩形 ABCD 中， OE∥ BC， DC⊥ BC， ∴ OE∥ DC. ∵ 21?DCOE , ∴ .21?? DCOEFDEF ∵ .31?EDEF ∴點(diǎn) G 是 BC 的一個(gè)三等分點(diǎn) . (2) 請(qǐng)你仿照上面的畫法 ,在原圖上畫出 BC 的一個(gè)四等分點(diǎn) (要求 :保留畫圖痕跡 ,不寫畫法及證明過程 ). 評(píng)注： 本題通過要求學(xué)生閱讀一段文字材料并補(bǔ)全證明，使學(xué)生理解利用平行線分線段成比例定理三等分已知線段的一種新的方法。要求學(xué)生仿照上面的畫法畫出已知線段的四等分點(diǎn)，在解決問題的過程中考查學(xué)生閱讀、理解等學(xué)習(xí)A B C D O E F G 24 能力，又考查了學(xué)生的思維能力和畫圖技能。 （三） 存在問題 1． 有些試題中出現(xiàn)科學(xué)性錯(cuò)誤 沒有知識(shí)性和科學(xué)性錯(cuò)誤是對(duì)試題