【文章內(nèi)容簡介】 象學(xué)家 Edward Lorenz 從旋轉(zhuǎn)的木桶實驗 [21]，總結(jié)出包括12 個方程的方程組，建立了一個仿真的氣象模型，他認(rèn)為盡管氣象變化萬千，但總是遵循經(jīng)典的物理定律，只要知道一定的初始條件，那么利用這些方程總是可以把結(jié)果算出來的。這就是說按照傳統(tǒng)的確定性理論，他就可以確定將來的氣象變化的規(guī)律和任何時間的氣象狀態(tài)。這里需要說明的是，一般傳統(tǒng)的科學(xué)家都認(rèn)為，任何量的測量和獲得都不可能是完全精確的，都有一定的近似，所以在進行計算的時候一般都采用一定的近似。因為他們認(rèn)為，極小的影響和變化、差別是可以忽略不計的，事物運動之中都具有 一定的收斂性，極小的差別不會引起大的影響。 Lorenz 在利用計算機進行計算的時候，一次，為了省時，他就把上次計算打印結(jié)果當(dāng)作初始值輸人了，然而，當(dāng)他一小時以后回來的時候突然發(fā)現(xiàn)其結(jié)果卻偏差極大。開始他以為是計算機出了問題，后來經(jīng)過仔細(xì)的研究，發(fā)現(xiàn)是由于初始值的微小差別導(dǎo)致其結(jié)果的極大偏差。因為那時候的計算機還很簡單，存儲只是 6 位，但是打印出來的只是 3 位，例如輸入 0. 532020，只能打印出來 ，當(dāng)時他認(rèn)為這是極小差別，不會引起大的變化。但他的方程對這些微小的不同卻是極其敏感的，他把這種現(xiàn)象叫作“ 蝴蝶效應(yīng)”。意思就是：巴西的蝴蝶抖動一下翅膀，就可能在德克薩斯引起一場風(fēng)暴。 蝴蝶效應(yīng)說明了初始條件的重要性，也說明了科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)。任何隨意的8 忽略，都可能導(dǎo)致嚴(yán)重的后果。也正由此導(dǎo)致后來“混沌”理論的誕生。 167。 用 Matlab 演示混沌的基本性質(zhì) 在自然界中，絕大部分運動都是混沌運動，規(guī)則運動只在局部的范圍和較短的時間內(nèi)存在。從簡單的數(shù)學(xué)游戲入手，我們了解了混沌運動的產(chǎn)生，通過對“蝴蝶效應(yīng)”的介紹，我們了解了混沌運動的主要特征及性質(zhì)。在各種軟件中， Matlab 是非常適合混沌的演示和仿真實驗的。本節(jié)將對 如何使用Matlab 來演示混沌運動特征及性質(zhì)進行研究。 167。 用 Matlab 產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)的混沌信號 1963 年，美國氣象學(xué)家洛倫茲在《大氣科學(xué)雜志》上發(fā)表了著名的論文《確定性的非周期流》，文中指出：三階非線性自治系統(tǒng)中可能會出現(xiàn)混沌解[12]。洛倫茲提出了一個簡化的天氣預(yù)報模型，這就是著名的洛倫茲方程組： ()()x a y xy b z x yz xy cz????? ? ?????? (21) 這個簡化模型是一個完全確定的方程組。然而，當(dāng)方程組的三個參數(shù)取某些值時 (比較常用的是 a =10,b =28,c =8/3)，方程組出現(xiàn)了混沌解。這是在耗散系統(tǒng)中，一個確定的方程能導(dǎo)出混沌解的第一個實例，它標(biāo)志著混沌學(xué)的涎生。 在 Matlab 中，可以用如下程序 產(chǎn)生洛淪茲信號，在對混沌信號的演示和處理中，洛淪茲信號是最常用到的標(biāo)準(zhǔn)混沌信號。混沌系統(tǒng)存在混沌吸引子，洛淪茲吸引子就是著名的蝶形圖。如圖 21 所示。 (1)洛倫茲函數(shù)程序： function dy=lorenz(t,y) dy=zeros(3,1)。 dy(1)=10*(y(1)+y(2))。 dy(2)=28*y(1)y(2)y(1)*y(3)。 dy(3)=y(1)*y(2)8*y(3)/3。 (2)給定參數(shù)作圖程序： [t,y]=ode45(39。lorenz39。,[0 30],[12,2,9])。 9 plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) view([20,42])。 圖 21 洛淪茲信號的吸引子 167。 倍周期分岔 —— 通向混沌 之路 倍周期分岔是許多非線性動力學(xué)過程中常見的現(xiàn)象，也是進人混沌的一種重要方式 [ 12]。可以用描述蟲日模型的 Logistic 方程來演示一個動力學(xué)系統(tǒng)是如何通過倍周期分岔從規(guī)則運動進人混沌運動的。 Logistic 差分方程為 1 (1 )n n nX X X?? ??，初值 0X 的取值范圍為 (0,1)， ? 的取值范圍為 [1,4]。由 Logistic 方程描述的系統(tǒng)的最終狀態(tài)取決于 ? 值， ? 在由1 變化到 4 的過程中，該系統(tǒng)通過不斷的倍周期分岔從規(guī)則運動進人混沌。可以用下面的程序來演示這一過程： x(1)=。 %迭代初值 hold on。 %將計算結(jié)果顯示在同一幅圖上 for lamda=2:: %? 的取值范圍和步長 for i=1:10000 x(i+1)=lamda*x(i)*(1x(i))。 %Logistic 方程 if (i+1)9800 %舍棄不穩(wěn)定的初始值 plot(lamda,x(i+1))。 end 10 end end 程序的運行結(jié)果如圖 22： 由圖 22 可以看出在 ? 3 時，由 Logistic 方程所確定的系統(tǒng)處于定態(tài)，系統(tǒng)狀態(tài)變量為一常量。在 ? 3 以后，系統(tǒng)開始進入周期狀態(tài)，開始周期為2，隨著 ? 值的變大，不斷發(fā)生倍周期分岔。并且，倍周期分岔發(fā)生的越來越快，周期越來 越大，最終進入了周期無限長的混沌狀態(tài)。 圖 22 倍周期分岔 我們可以接著用下面的程序來演示取不同值時， Logistic 方程所確定系統(tǒng)狀態(tài)的演化過程。 lamda=3. 3。 %設(shè)定入值 x(1)=。 %迭代初值 for i=1:50 %設(shè)定迭代次數(shù) x( i+l )=lamda*x(i)*(1x(i) ) 。 end plot(x) %顯示計算結(jié)果 11 (a) (b) (c) 圖 23 取不同 ? 值時，系統(tǒng)的演化過程 系統(tǒng)狀態(tài)的演化過程如圖 23(a),(b),(c)三幅圖對應(yīng)的 ? 值分別為 ,和 。在 ? 值為 時，系統(tǒng)經(jīng)過開始的振蕩后收斂于一定值。而當(dāng) ? 值為12 時，系統(tǒng)經(jīng)過開始的不穩(wěn)定階段后，趨于穩(wěn)定的振蕩，在兩個定位之間來回跳越，進人了周期為 2 的軌道。在 ? 為 時，系統(tǒng)已進人混沌狀態(tài)，不再有穩(wěn)定的周期。我們還可以取更 多的 ? 值，以演示該系統(tǒng)周期變?yōu)? 16??的倍周期過程。 167。 初值敏感性 描述混沌動力系統(tǒng)的微分方程、差分方程或迭代方程都是確定性方程，沒有概率性的因素。從數(shù)學(xué)上講，確定性方程對于確定的初始值，由動力系統(tǒng)就可以推知系統(tǒng)的長期行為甚至追溯過去。但是，在混沌動力系統(tǒng)中，如果精確地從同一點出發(fā)，得到的仍是同一條確定的軌道。然而，只要初始條件有無論多么微小的改變，其后的運動軌跡就會失之毫厘，差之千里。因此，混沌系統(tǒng)具有極強的初值敏感性。從現(xiàn)象上看，這 種過程好像是隨機的。這種“假隨機性”與方程中有反映外界干擾的隨機項或隨機系數(shù)而引起的隨機性不同，是確定性系統(tǒng)內(nèi)部所固有的內(nèi)在隨機性?；煦缧盘柕淖钪匾⒆铒@著的個特點就是初值敏感性。 圖 24 兩條取不同初值的 洛淪茲信號 軌跡 我們可以用程序 所產(chǎn)生的洛淪茲信號來演示初值敏感性。將程序 中的初始值 x 先后設(shè)為 [10]和 []， y 和 z 不變，這兩組初始值只有 x 有極小的差值。由于要演示初值敏感性，還需要將由兩組初始值計算出來的任一軸上的兩條軌跡放在一起顯示。源程序如下： 13 [t,y]=ode45(39。lorenz39。,[0 15],[10,2,9])。 plot(t,y(:,1),39。k39。)。 hold on [t,y1]=ode45(39。lorenz39。,[0 15],[,2,9])。 plot(t,y1(:,1),39。:k39。)。 由圖 24 可以看出，兩條曲線在開始一段看上去還是重合的，但是到了8 點以后，兩條幾乎由同一點出發(fā)的曲線開始逐步分離了，這就是混沌信號初值敏感性的體現(xiàn)。 167。 本章小結(jié) 本章從簡單的數(shù)學(xué)游戲入手，給我們說明了混沌運動的產(chǎn)生，并結(jié)合對“蝴蝶效應(yīng)”的介紹 ，使我們了解了混沌運動的主要特征及性質(zhì)。在各種軟件中， Matlab 是非常適合混沌的演示和仿真實驗的。本章用 Matlab 來演示研究混沌運動特征及性質(zhì)。 本章給出了用 Matlab 進行混沌演示的一些基本程序，包括產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)的混沌信號及其吸引子，演示非線性系統(tǒng)進入混沌的途徑，以及混沌的初值敏感性。許多非線性動力學(xué)系統(tǒng)都是通過倍周期分岔從規(guī)則運動進人混沌運動的，系統(tǒng)如果處于混沌運動狀態(tài)，那么它以后的運動狀態(tài)將敏感依賴初值，并且具有不可預(yù)測性 [ 10]。通過這些演示，可以使我們對混沌有了比較直觀的認(rèn)識。 第三章 用 Matlab 模擬復(fù)擺振動中的混沌行為 14 復(fù)擺運動是大學(xué)物理中基本的力學(xué)模型之一，在教學(xué)中通常只考慮其簡諧振動的情況，內(nèi)容比較單一，沒有太多的研究空間。實際上，當(dāng)復(fù)擺在驅(qū)動力矩及阻尼力矩的作用下，將出現(xiàn)復(fù)雜的非線性運動，而且在一定的條件下可通過倍周期分岔逐漸進入到混沌運動狀態(tài) [7]。 混沌運動是確定性非線性動力學(xué)系統(tǒng)所特有的復(fù)雜運動狀態(tài)，是一種貌似隨機的不規(guī)則運動，混沌的發(fā)現(xiàn)被譽為繼相對論和量子力學(xué)后的第三次物理學(xué)革命，混沌的研究一直備受學(xué)術(shù)界的關(guān)注。如果將復(fù)擺的這些非線性振動特性利用計算機模擬出 來，不僅可以加深我們對復(fù)擺運動規(guī)律的認(rèn)識，給我們提供一個寬闊的研究空間，而且還有助于我們了解物理學(xué)的發(fā)展前沿，開闊我們的視野。 167。 復(fù)擺運動模型與振動方程 對如圖 1 所示的圓形復(fù)擺，設(shè)其質(zhì)量為 m ；對轉(zhuǎn)軸 O 的轉(zhuǎn)動慣量為 I ；質(zhì)心 C 到轉(zhuǎn)軸 O的距離為 h 。 如果復(fù)擺振動時受到的阻尼力矩是 ddt??? ；周期性驅(qū)動力矩為 cosFt? 。 圖 31 復(fù)擺結(jié)構(gòu) 復(fù)擺運動遵守剛體轉(zhuǎn)動定律： 22dM J J dt