【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 分遍及剛體全部體積 [2]。用 ? 表示剛體密度，用 dV 表示體積微分，則 dVdm ?? ，代入上式，即 ?? V 2dVrI ? () 若剛體是均質(zhì)的，則 ?? V 2dVrI ? () 密度均勻厚度為 h 半徑 為 R 的圓盤，對(duì)過圓心且與圓面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 2 ? ?? ?????? V R0 2432V 2 mR21hR21drrh2rhdr2rdmrI ?????? () 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位由質(zhì)量與長(zhǎng)度的單位決定，在國際單位制中為 2mKg? 量綱為 2ML 。 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系對(duì) Z 軸的角動(dòng)量定理 ? ? ZZiz IdtdM ? () 將 dt乘等號(hào)左右兩端，得 ? ? )I(ddtM zziz ? () 式中 dtMiz 稱為作用于剛體第 i個(gè)外力矩的沖量矩。 式 ()意為剛體對(duì) Z 軸角動(dòng)量的增加等于對(duì)該軸外力矩沖量的代數(shù)和。 剛體對(duì)一定軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為常量，故式 ()又可寫作 ? ? zziz aIM () 表明剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體對(duì)該轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積在數(shù)量上等于外力對(duì)此轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的合力矩，叫作剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理。 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 將剛體視作不變質(zhì)點(diǎn)系，所有質(zhì)元做圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和即剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能。設(shè)質(zhì)元質(zhì)量為 im ，速率為 iv ，質(zhì)元?jiǎng)幽転? 2iiki vm21E ? () 將此式對(duì)一切質(zhì)元求和，即得剛體的總轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為 ? ?? 2iik vm21E () 又速率 ii rv ?? ，代入 ()得 2z22iik I21)rm(21E ?? ??? ? () 故剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能等于剛體對(duì)于此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方乘積之 3 半 [3]。 由于剛體內(nèi)一切內(nèi)力做功之和總等于零，則剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量等于剛體所受外力矩做功的代數(shù)和，即 ? ?? 20z2z外 I21I21A ?? () 2 實(shí)驗(yàn)室剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量方案 實(shí)驗(yàn)分析 對(duì)于質(zhì)量分布均勻、幾何形狀簡(jiǎn)單的剛體，可以由公式準(zhǔn)確計(jì)算其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。但是在大多數(shù)情況下計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是困難的，這種情況下一般要用實(shí)驗(yàn)來檢測(cè)。實(shí)驗(yàn)室通常用動(dòng)力法，是利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，通過對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所受力矩和角加速度的測(cè)量求得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 實(shí)驗(yàn)器材 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試儀、自動(dòng)計(jì)數(shù)儀、 砝碼、細(xì)繩、待測(cè)樣品 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試儀 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀如圖 2，轉(zhuǎn)動(dòng)體系由承物臺(tái)、繞線塔輪、光電門、遮光桿、小滑輪等組成。承物臺(tái)可以繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，遮光桿隨體系轉(zhuǎn)動(dòng)，依次通過光電門，每π弧度（半圈）遮光電門一次光以計(jì)數(shù)、計(jì)時(shí)。塔輪上有五個(gè)不同半徑 r 的繞線輪。砝碼鉤上可以放置不同數(shù)量的砝碼，以獲得不同的外力矩。 圖 2 自動(dòng)計(jì)數(shù)儀 HMS2 型自動(dòng)計(jì)數(shù)儀是一種單片機(jī)控制的自動(dòng)計(jì)數(shù)儀，如圖 3 可以記錄、存儲(chǔ)并顯示轉(zhuǎn)動(dòng)角為π、 2π、 3π、??、 99π的時(shí)間值。操作步驟如下 : 開機(jī)數(shù)秒后顯示選項(xiàng)菜單 ,用上移和下移鍵選擇“剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)定 ” 項(xiàng) ,按“進(jìn)入 ” 鍵進(jìn)入測(cè)量菜單 ,按“啟動(dòng) ” 鍵后開始計(jì)時(shí)；隨著轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)，顯示 4 各轉(zhuǎn)動(dòng)角度對(duì)應(yīng)的計(jì)時(shí)值；按“停止 ” 鍵后，可通過按上移和下移鍵顯示全部計(jì)時(shí)值。再按“啟動(dòng) ” 鍵則進(jìn)入新一輪測(cè)量。 用自動(dòng)計(jì)數(shù)儀計(jì)時(shí)，在承放剛體的轉(zhuǎn)盤徑向裝有一對(duì)擋光桿。當(dāng)擋桿隨轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)首次通過光電門擋住光束，開始計(jì)時(shí)。轉(zhuǎn)盤每轉(zhuǎn)動(dòng)半周擋一次光電門，毫秒計(jì)就計(jì)時(shí)一次 ,其中第 N 次計(jì)數(shù)時(shí)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)角 度為 ?? )1( ?? NN 。 圖 3 設(shè)計(jì)思路 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所受的力矩 M 正比于轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度 ? ，這就是轉(zhuǎn)動(dòng)定律，由公式表示成 ?)II(M 0?? () 式中 I為待測(cè)物品轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， 0I 為已知儀器系統(tǒng) 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 剛體放在轉(zhuǎn)動(dòng)架上，可以繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。半徑為 r 的塔輪上纏繞著細(xì)線，繩子另一端掛著質(zhì)量為 m 的砝碼，經(jīng)滑輪后下垂。在重力作用下，剛體受到外力矩 TF的作用。根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 ?)II(rF 0T ?? () 以砝碼為研究對(duì)象， 根據(jù)牛頓第二定律，有 maFmg T ???? () 輪軸邊緣的線加速度 ?ra ? () 聯(lián)立式 ()、 ()、 ()求 出 I，即得待測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 00T Ir)rg(mIrFI ????? ? ?? () 根據(jù) 式（ ） ，只要測(cè)出角加速度 ? ，即可求出待測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I。 5 轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng) 在重力矩作用下轉(zhuǎn)動(dòng) 過程中 ，測(cè)量角位移為 1? 的時(shí)刻 1t 和角位移為2? 的時(shí)刻 2t ，則 21101 t21t ??? ?? () 22202 t21t ??? ?? () 聯(lián)立 式 ()、 ()消去 0? ，得 1222211221 tttt )tt(2 ??? ??? () 代入 式 ()， 可以求出待測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I。 3 實(shí)驗(yàn)室剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量方案誤差分析 實(shí)驗(yàn)誤差分析 由于滑輪和繩造成的實(shí)驗(yàn)誤差 在以上實(shí)驗(yàn)中，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和繩的質(zhì)量是不計(jì)的，在實(shí)驗(yàn)過程中滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)也是具有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)所造成的能量消耗是沒有考慮的。由于繩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變所消耗的能 量也沒有計(jì)入。 所以滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)、繩的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變所消耗的能量必然對(duì)實(shí)驗(yàn)造成誤差。 設(shè)繩質(zhì)量為 1m ，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 1I 并考慮到以上實(shí)驗(yàn)中，則 ?)III(rF 10T ??? () ?r)mm(Fmg 1T ????? () 聯(lián)立 式 ()、 ()解出 I，得待測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 )II(r]r)mm(mg[I 101 ????? ? ? () 可以看出，由于 1m 和 1I 不計(jì)入，造成測(cè)得 I值比實(shí)際值大。 由于系統(tǒng)摩擦造成的實(shí)驗(yàn)誤差 在以上實(shí)驗(yàn)中，轉(zhuǎn)軸和支架之間、轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)和空氣之間、滑輪和轉(zhuǎn)軸之間存在一定摩擦，必然對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成誤差。 6 設(shè)由于各種摩擦共同對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)造成的角加速度為 1? ，計(jì)入實(shí)驗(yàn)，則 ))(III(rF 110T ?? ???? () r))(mm(Fmg 11T ?? ?????? () 聯(lián)立式 ()、 ()解出 I，得待測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 )II(r]r))(mm(mg[I 10111 ??? ???? ?? ?? () 可以看出，由于 1? 的不計(jì)入，造成測(cè)得 I值比實(shí)際值大。 實(shí)驗(yàn)改進(jìn)方法分析 根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)誤差分析，造成實(shí)驗(yàn)結(jié)果比真實(shí)值偏大的因素主要有兩個(gè) 方面：一個(gè)是滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和繩的質(zhì)量是不計(jì)入的，二是由于系統(tǒng)摩擦而造成系統(tǒng)的角加速度 1? 沒有考慮。 只要我們?cè)O(shè)法測(cè)量這兩個(gè)影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的因素，把它們計(jì)入實(shí)驗(yàn)，然后就能很大程度減小實(shí)驗(yàn)誤差。 對(duì)于由于繩的質(zhì)量引起的誤差，我們根據(jù)式 ()可以看出，只要測(cè)得繩的質(zhì)量，就可以減小實(shí)驗(yàn)誤差。 對(duì)于系統(tǒng)摩擦力造成的誤差，我們可以去掉砝碼， 設(shè)法給轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)一個(gè)大小為 0? 初始角速度， 讓它在阻力矩下轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)得角位移為 1? 和 2? 對(duì)應(yīng)的時(shí)刻 3t 和4t ，得到 324423232241