【文章內(nèi)容簡介】 分遍及剛體全部體積 [2]。用 ? 表示剛體密度，用 dV 表示體積微分，則 dVdm ?? ，代入上式，即 ?? V 2dVrI ? () 若剛體是均質(zhì)的，則 ?? V 2dVrI ? () 密度均勻厚度為 h 半徑 為 R 的圓盤，對過圓心且與圓面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 2 ? ?? ?????? V R0 2432V 2 mR21hR21drrh2rhdr2rdmrI ?????? () 轉(zhuǎn)動慣量的單位由質(zhì)量與長度的單位決定，在國際單位制中為 2mKg? 量綱為 2ML 。 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理 根據(jù)質(zhì)點系對 Z 軸的角動量定理 ? ? ZZiz IdtdM ? () 將 dt乘等號左右兩端，得 ? ? )I(ddtM zziz ? () 式中 dtMiz 稱為作用于剛體第 i個外力矩的沖量矩。 式 ()意為剛體對 Z 軸角動量的增加等于對該軸外力矩沖量的代數(shù)和。 剛體對一定軸線的轉(zhuǎn)動慣量為常量，故式 ()又可寫作 ? ? zziz aIM () 表明剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動時，剛體對該轉(zhuǎn)動軸線的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積在數(shù)量上等于外力對此轉(zhuǎn)動軸線的合力矩，叫作剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理。 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 將剛體視作不變質(zhì)點系，所有質(zhì)元做圓周運動的動能之和即剛體轉(zhuǎn)動的動能。設(shè)質(zhì)元質(zhì)量為 im ，速率為 iv ，質(zhì)元動能為 2iiki vm21E ? () 將此式對一切質(zhì)元求和，即得剛體的總轉(zhuǎn)動動能為 ? ?? 2iik vm21E () 又速率 ii rv ?? ，代入 ()得 2z22iik I21)rm(21E ?? ??? ? () 故剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動的動能等于剛體對于此軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度平方乘積之 3 半 [3]。 由于剛體內(nèi)一切內(nèi)力做功之和總等于零，則剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)動動能的增量等于剛體所受外力矩做功的代數(shù)和，即 ? ?? 20z2z外 I21I21A ?? () 2 實驗室剛體轉(zhuǎn)動慣量的測量方案 實驗分析 對于質(zhì)量分布均勻、幾何形狀簡單的剛體，可以由公式準(zhǔn)確計算其轉(zhuǎn)動慣量。但是在大多數(shù)情況下計算轉(zhuǎn)動慣量是困難的，這種情況下一般要用實驗來檢測。實驗室通常用動力法，是利用轉(zhuǎn)動定律，通過對剛體轉(zhuǎn)動時所受力矩和角加速度的測量求得轉(zhuǎn)動慣量。 實驗器材 轉(zhuǎn)動慣量測試儀、自動計數(shù)儀、 砝碼、細繩、待測樣品 轉(zhuǎn)動慣量測試儀 轉(zhuǎn)動慣量實驗儀如圖 2，轉(zhuǎn)動體系由承物臺、繞線塔輪、光電門、遮光桿、小滑輪等組成。承物臺可以繞定軸轉(zhuǎn)動，遮光桿隨體系轉(zhuǎn)動，依次通過光電門，每π弧度（半圈）遮光電門一次光以計數(shù)、計時。塔輪上有五個不同半徑 r 的繞線輪。砝碼鉤上可以放置不同數(shù)量的砝碼，以獲得不同的外力矩。 圖 2 自動計數(shù)儀 HMS2 型自動計數(shù)儀是一種單片機控制的自動計數(shù)儀，如圖 3 可以記錄、存儲并顯示轉(zhuǎn)動角為π、 2π、 3π、??、 99π的時間值。操作步驟如下 : 開機數(shù)秒后顯示選項菜單 ,用上移和下移鍵選擇“剛體轉(zhuǎn)動慣量測定 ” 項 ,按“進入 ” 鍵進入測量菜單 ,按“啟動 ” 鍵后開始計時；隨著轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動，顯示 4 各轉(zhuǎn)動角度對應(yīng)的計時值；按“停止 ” 鍵后，可通過按上移和下移鍵顯示全部計時值。再按“啟動 ” 鍵則進入新一輪測量。 用自動計數(shù)儀計時，在承放剛體的轉(zhuǎn)盤徑向裝有一對擋光桿。當(dāng)擋桿隨轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動首次通過光電門擋住光束，開始計時。轉(zhuǎn)盤每轉(zhuǎn)動半周擋一次光電門，毫秒計就計時一次 ,其中第 N 次計數(shù)時對應(yīng)的轉(zhuǎn)動角 度為 ?? )1( ?? NN 。 圖 3 設(shè)計思路 剛體定軸轉(zhuǎn)動時所受的力矩 M 正比于轉(zhuǎn)動角加速度 ? ，這就是轉(zhuǎn)動定律，由公式表示成 ?)II(M 0?? () 式中 I為待測物品轉(zhuǎn)動慣量， 0I 為已知儀器系統(tǒng) 的轉(zhuǎn)動慣量。 剛體放在轉(zhuǎn)動架上，可以繞定軸轉(zhuǎn)動。半徑為 r 的塔輪上纏繞著細線，繩子另一端掛著質(zhì)量為 m 的砝碼，經(jīng)滑輪后下垂。在重力作用下，剛體受到外力矩 TF的作用。根據(jù)轉(zhuǎn)動定律 ?)II(rF 0T ?? () 以砝碼為研究對象， 根據(jù)牛頓第二定律，有 maFmg T ???? () 輪軸邊緣的線加速度 ?ra ? () 聯(lián)立式 ()、 ()、 ()求 出 I，即得待測轉(zhuǎn)動慣量為 00T Ir)rg(mIrFI ????? ? ?? () 根據(jù) 式（ ） ，只要測出角加速度 ? ，即可求出待測轉(zhuǎn)動慣量 I。 5 轉(zhuǎn)動系統(tǒng) 在重力矩作用下轉(zhuǎn)動 過程中 ，測量角位移為 1? 的時刻 1t 和角位移為2? 的時刻 2t ，則 21101 t21t ??? ?? () 22202 t21t ??? ?? () 聯(lián)立 式 ()、 ()消去 0? ，得 1222211221 tttt )tt(2 ??? ??? () 代入 式 ()， 可以求出待測轉(zhuǎn)動慣量 I。 3 實驗室剛體轉(zhuǎn)動慣量測量方案誤差分析 實驗誤差分析 由于滑輪和繩造成的實驗誤差 在以上實驗中，滑輪的轉(zhuǎn)動慣量和繩的質(zhì)量是不計的，在實驗過程中滑輪的轉(zhuǎn)動也是具有轉(zhuǎn)動慣量的，滑輪轉(zhuǎn)動所造成的能量消耗是沒有考慮的。由于繩運動狀態(tài)改變所消耗的能 量也沒有計入。 所以滑輪的轉(zhuǎn)動、繩的運動狀態(tài)改變所消耗的能量必然對實驗造成誤差。 設(shè)繩質(zhì)量為 1m ，滑輪轉(zhuǎn)動慣量為 1I 并考慮到以上實驗中，則 ?)III(rF 10T ??? () ?r)mm(Fmg 1T ????? () 聯(lián)立 式 ()、 ()解出 I，得待測轉(zhuǎn)動慣量為 )II(r]r)mm(mg[I 101 ????? ? ? () 可以看出，由于 1m 和 1I 不計入，造成測得 I值比實際值大。 由于系統(tǒng)摩擦造成的實驗誤差 在以上實驗中，轉(zhuǎn)軸和支架之間、轉(zhuǎn)動系統(tǒng)和空氣之間、滑輪和轉(zhuǎn)軸之間存在一定摩擦，必然對實驗結(jié)果造成誤差。 6 設(shè)由于各種摩擦共同對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)造成的角加速度為 1? ，計入實驗，則 ))(III(rF 110T ?? ???? () r))(mm(Fmg 11T ?? ?????? () 聯(lián)立式 ()、 ()解出 I，得待測轉(zhuǎn)動慣量為 )II(r]r))(mm(mg[I 10111 ??? ???? ?? ?? () 可以看出，由于 1? 的不計入，造成測得 I值比實際值大。 實驗改進方法分析 根據(jù)以上實驗誤差分析，造成實驗結(jié)果比真實值偏大的因素主要有兩個 方面：一個是滑輪的轉(zhuǎn)動慣量和繩的質(zhì)量是不計入的，二是由于系統(tǒng)摩擦而造成系統(tǒng)的角加速度 1? 沒有考慮。 只要我們設(shè)法測量這兩個影響實驗結(jié)果的因素，把它們計入實驗，然后就能很大程度減小實驗誤差。 對于由于繩的質(zhì)量引起的誤差，我們根據(jù)式 ()可以看出，只要測得繩的質(zhì)量，就可以減小實驗誤差。 對于系統(tǒng)摩擦力造成的誤差，我們可以去掉砝碼， 設(shè)法給轉(zhuǎn)動系統(tǒng)一個大小為 0? 初始角速度， 讓它在阻力矩下轉(zhuǎn)動，測得角位移為 1? 和 2? 對應(yīng)的時刻 3t 和4t ，得到 324423232241