【文章內(nèi)容簡介】 o 實(shí)體建模技術(shù) 基本幾何體創(chuàng)建 Rhino 中的基本幾何體包括：立方體、球體、圓柱體、橢球體、圓管、圓錐、拋物面椎體、圓環(huán)等。如圖 所示。 圖 Rhino 中的基本幾何體 關(guān)于這些基本幾何體命令的使用，操作起來很簡 單，因此只簡單敘述下，見圖 所示。 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 17 圖 實(shí)體命令 以上的命令中，簡單地介紹一下操作拉伸曲線出實(shí)體命令建立一個(gè)三棱體實(shí)體，具體過程，先用 Rhino 的直線工具在主體操作窗上，畫一個(gè)如圖 所示的三角形，再點(diǎn)擊拉伸曲線出實(shí)體命令之后，選中三角形，按完成鍵，拖動(dòng)三角形到合適的高度即可。建立的三棱體如圖 所示。 圖 三角形 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 18 圖 三棱體 實(shí)體工具 實(shí)體工具集中主要是有三類工具：布爾運(yùn)算工具、抽面工具、倒角工具。實(shí)體工具集功能及主要使用方法如圖 所示 。 圖 實(shí)體工具命令 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 19 關(guān)于實(shí)體工具的運(yùn)用，我們用實(shí)際幾個(gè)的例子來說明，實(shí)體布爾運(yùn)算、自動(dòng)建立實(shí)體和實(shí)體倒角等實(shí)體工具命令的使用。 （ 1） 布爾運(yùn)算實(shí)例 圖 立方體和球體 圖 實(shí)體布爾運(yùn)算并集后的效果 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 20 （ 2） 實(shí)體倒角 圖 實(shí)體倒角前 圖 實(shí)體倒角后的效果 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 21 網(wǎng)格剖分 網(wǎng)格剖分作為建立有限元模型的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，要求考慮的問題多，需要的工作量大，不同的網(wǎng)格剖分方式會(huì)對計(jì)算規(guī)模、計(jì)算結(jié)果和計(jì)算精度產(chǎn)生很大的影響。對網(wǎng)格剖分基本原則是否遵守、網(wǎng)格生成算 法的不同選擇和網(wǎng)格剖分單元形狀等都會(huì)影響有限元計(jì)算的結(jié)果。故而，對有限元網(wǎng)格剖分的研究十分必要 有限元網(wǎng)格剖分的基本原則 （ 1） 網(wǎng)格數(shù)量 有限元分析計(jì)算的精確度和規(guī)模的大小與網(wǎng)格的數(shù)目有關(guān)。網(wǎng)格數(shù)目變大，雖然會(huì)提高計(jì)算的精確度，但相應(yīng)會(huì)擴(kuò)大計(jì)算規(guī)模，因此應(yīng)充分考慮這兩個(gè)因素的影響來確定網(wǎng)格的多少。首先要確保計(jì)算的精度。對于結(jié)構(gòu)形狀相對簡單的實(shí)體模型選擇較多網(wǎng)格；相反，為了不降低計(jì)算的精確度而又要保證網(wǎng)格的數(shù)量不要過多，一般用分布式計(jì)算法或其他的方法降低模型的計(jì)算規(guī)模。 （ 2） 網(wǎng)格密度 網(wǎng)格疏密是指網(wǎng)格在結(jié)構(gòu) 的不同位置大小不相同。疏密不同的網(wǎng)格剖分基于以下原則：在計(jì)算分析的數(shù)據(jù)變化較大的地方，采用較密集的網(wǎng)格，來更好的反應(yīng)數(shù)據(jù)變化的規(guī)律；相反，在計(jì)算分析的數(shù)據(jù)變化較小的地方，采用相對稀疏的網(wǎng)格，來減小模型的規(guī)模。基于以上原則，實(shí)體結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格剖分密度便表現(xiàn)出疏密不同。 （ 3）單元階次 有限元分析計(jì)算的精確度與單元階次有關(guān)，單元分線性、二次和三次三種形式 ,后兩種形式的單元稱為高階單元，高階單元的曲線或曲面邊界可以近似的逼近實(shí)體模型的曲線或曲面邊界 ,因此對于結(jié)構(gòu)形狀不規(guī)則或很復(fù)雜的實(shí)體模型可采用高階單元 ,以便提高計(jì)算 的精確度 由于高基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 22 階單元有很多結(jié)點(diǎn) ,網(wǎng)格數(shù)目相同時(shí) ,由其構(gòu)成的模型的規(guī)模會(huì)很大 ,所以在選擇時(shí)要合考慮計(jì)一算的精確度和規(guī)模，結(jié)點(diǎn)數(shù)量相同時(shí) ,選擇高階次的單元會(huì)更好。 （ 4） 網(wǎng)格單元形狀 網(wǎng)格單元形狀的好壞對計(jì)算精度有著很大的影響 ,在網(wǎng)格剖分時(shí)應(yīng)保證合理的單元形狀 ,即使只有一個(gè)單元形狀很差或畸形 (畸形網(wǎng)格通常有單元結(jié)點(diǎn)交叉編號、結(jié)點(diǎn)重合、內(nèi)角大于 180176。和單元面積為零等類型 )時(shí) ,也可能給計(jì)算結(jié)果帶來很大的誤差 , 甚至使得計(jì)算無法進(jìn)行下去。 （ 5）網(wǎng)格布局 當(dāng)實(shí)體模型的結(jié)構(gòu)形狀對稱時(shí) ,為使其表現(xiàn)出這種對稱性 ,生成的網(wǎng)格最 好也保持對稱，動(dòng)態(tài)分析時(shí) ,實(shí)體的結(jié)構(gòu)形狀對稱 ,若生成的網(wǎng)格不保持對稱 ,那生成的網(wǎng)格質(zhì)量也不具有對稱性，利用集中質(zhì)量矩陣計(jì)算質(zhì)量分布時(shí) ,采用圖 中的對稱網(wǎng)格 ,結(jié)果是對稱的；采用圖 中所示的不對稱網(wǎng)格 ,結(jié)果是不對稱的 ,這將不利于動(dòng)力計(jì)算。 圖 網(wǎng)格對稱 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 23 圖 網(wǎng)格不對稱 （ 6）結(jié)點(diǎn)和單元編號 網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)和網(wǎng)格單元的編號會(huì)影響結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的帶寬與波前數(shù) ,從而影響計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間的大小，合理的結(jié)點(diǎn)編號有利于提高計(jì)算速度和計(jì)算精度 ,這對于大型的復(fù)雜結(jié)構(gòu)更為重要。 有限元網(wǎng)格生成的方法 （ 1） 映射法 映射法的基本思想是：通過適當(dāng)?shù)挠成浜瘮?shù)將待剖分物理域映射到參數(shù)空間中形成規(guī)則參數(shù)域；對規(guī)則參數(shù)域進(jìn)行網(wǎng)格剖分；將參數(shù)域的網(wǎng)格反向映射回物理空間，從而得到物理域的有限元網(wǎng)格。其主要特征是采用了“調(diào)配函數(shù)”概念。產(chǎn)生的網(wǎng)格整齊劃一，非常規(guī)則，但同時(shí)這也是該法的缺點(diǎn)，尤其是當(dāng)待剖分區(qū)域不規(guī)則時(shí)，如瓶頸形狀，得到的網(wǎng)格形狀是畸變的。另外，映射法是非全自動(dòng)方法，必須通過人工交互方式，將剖分對象先剖分成具有簡單拓?fù)潢P(guān)系的子域。但映射法處理曲面問題很有效。 映射法的優(yōu)點(diǎn)是：算法簡單、 速度快、單元質(zhì)量好、密度可控制，它既可生成結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格又可生成非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，既可生成四邊形單元網(wǎng)格又可生成六面體單元網(wǎng)格，可用于曲面網(wǎng)格生成，可與形狀優(yōu)化算法集成等。映射法一般可直接處理單連通域問題，但對于復(fù)雜多連通域問基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 24 題需要首先用手工或自動(dòng)方法將待剖分域分解成幾何形狀規(guī)則的可映射子區(qū)域，然后在每個(gè)子區(qū)域內(nèi)應(yīng)用映射法。然而在實(shí)踐中仍有幾個(gè)難點(diǎn)需要克服：如何自動(dòng)地將復(fù)雜的不可映射的待剖分域分解成簡單的可映射的子區(qū)域；如何滿足某些物理問題中對網(wǎng)格疏密過渡的要求；如何滿足子區(qū)域之間的網(wǎng)格相容性要求。 （ 2）幾何分解 法 在產(chǎn)生結(jié)點(diǎn)的同時(shí)，也確定了結(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系的網(wǎng)格剖分方法稱為幾何分解法。這類算法基于問題域的拓?fù)鋷缀蚊枋?，通過從域中逐個(gè)移去單元而生成有限元網(wǎng)格。它較多地考慮了待分域的幾何特征，確保生成質(zhì)量較好的網(wǎng)格單元，通常有兩種方法：遞歸法和迭代法。幾何分解法可實(shí)現(xiàn)從實(shí)體幾何描述到初始網(wǎng)格生成之間的自動(dòng)轉(zhuǎn)換，并允許網(wǎng)格密度變化，但只能通過邊界點(diǎn)的分布來控制網(wǎng)格規(guī)模，網(wǎng)格質(zhì)量不高，且很難實(shí)現(xiàn)局部自適應(yīng)加密。 幾何分解法的最大優(yōu)勢是離散時(shí)考慮了網(wǎng)格的形狀和大小，因此，所生成的網(wǎng)格單元形狀和分布比較好。但是，這種方法自 動(dòng)化程度比較低，也不利于復(fù)雜件的網(wǎng)格生成。 （ 3） 基于柵格法 基于柵格法的基本剖分流程如下：首先用一組不相交的尺寸相同或不同的柵格覆蓋在目標(biāo)區(qū)域上面，保留完全或部分落在目標(biāo)區(qū)域之內(nèi)的柵格，刪除完全落在目標(biāo)區(qū)域之外的柵格；然后對與物體邊界相交的柵格進(jìn)行調(diào)整、剪裁、再分解等操作，使其更準(zhǔn)確地逼近目標(biāo)區(qū)域；最后對內(nèi)部柵格和邊界柵格（特別是后者）進(jìn)行柵格級的網(wǎng)格剖分，進(jìn)而得到整個(gè)目標(biāo)區(qū)域的有限元網(wǎng)格。 這種方法預(yù)先產(chǎn)生網(wǎng)格模板，然后將要進(jìn)行網(wǎng)格化的物體加到其上，并在實(shí)體內(nèi)部盡可能多地填充規(guī)則的長方體或正方體網(wǎng)格，在實(shí)體的 邊界上根據(jù)實(shí)體邊界的具體特征更改網(wǎng)格的形狀和相互連接關(guān)系，使邊界基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 25 上的單元盡可能無限地逼近物體的邊界形狀。這種方法能實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格生成的自動(dòng)化，網(wǎng)格的生成速度也非?？?，能夠生成的單元類型很多，剖分簡單，效率較高。其最大缺點(diǎn)是物體邊界單元的質(zhì)量較差；另一個(gè)缺點(diǎn)是所生成的單元尺寸相近，網(wǎng)格密度很難得到控制。 柵格法首先用交互方式將物體剖分為形狀簡單的子區(qū)域，每個(gè)子區(qū)域分別用定形的網(wǎng)格模板作為規(guī)整的部分，再采取適當(dāng)?shù)拇胧沟孟噜徸訁^(qū)域在結(jié)合面共享公共的結(jié)點(diǎn)，并且網(wǎng)格相容。 （ 4） 結(jié)點(diǎn)連元法 結(jié)點(diǎn)連元法一般分為兩步：在物體的邊 界和有效區(qū)域內(nèi)按照網(wǎng)格密度的要求均勻布點(diǎn)；根據(jù)一定的準(zhǔn)則將這些結(jié)點(diǎn)連接成三角形或四面體網(wǎng)格。最早提出的結(jié)點(diǎn)生成法是隨機(jī)布點(diǎn)法，該方法不能保證布點(diǎn)的均勻性，同時(shí)為了確定可用結(jié)點(diǎn)，要進(jìn)行點(diǎn)距檢查和多次試探 ,算法效率低。近年出現(xiàn)的長方形網(wǎng)格直接布點(diǎn)法和距水平掃描線直接布點(diǎn)法等方法在一定程度上提高了結(jié)點(diǎn)連元法的計(jì)算效率，但 Delaunay 三角剖分方法(簡稱 DT 法 )的出現(xiàn)才真正使得結(jié)點(diǎn)連元法成為目前主流的全自動(dòng)網(wǎng)格剖分方法之一。 DT 方法僅適用于凸區(qū)域，對于非凸區(qū)域則不能保其邊界的完整性 ,因此對非凸區(qū)域必須引入一個(gè)恢復(fù) 邊界的步驟。但恢復(fù)了邊界完整性的三角剖分并不能嚴(yán)格滿足 Delaunay 準(zhǔn)則，因此稱為約束 DT。 DT 有兩個(gè)重要特性：最大 最小角特性和空外接圓特性。 DT 的最大 最小角特性使它自動(dòng)地避免了生成小內(nèi)角的長薄單元 ,因此特別適用于有限元網(wǎng)格生成?？胀饨訄A特性，是指在 DT 中的每個(gè)三角形單元或四面體單元的外接圓 (二維 )或外接球 (三維 )都不包含其它結(jié)點(diǎn)。 （ 5） 網(wǎng)格模板法 網(wǎng)格模板法生成單元主要分兩步（以三維實(shí)體為例）：第一，將待剖分網(wǎng)格的實(shí)體用適當(dāng)大小的立方體（樹根）完全包容，按照“一化八”的原則遞歸離散，通過對每個(gè)八分塊分 類，形成ＩＮ和ＮＩＯ八分塊的基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 26 并集，稱為網(wǎng)格模板模型。第二，根據(jù)得到的網(wǎng)格模板模型，再進(jìn)行網(wǎng)格剖分處理。 網(wǎng)格模板法的優(yōu)點(diǎn)是網(wǎng)格生成完全自動(dòng)，網(wǎng)格剖分速度快，非常適用于自適應(yīng)網(wǎng)格生成；主要缺點(diǎn)是邊界單元形狀難于完全保證。另外，網(wǎng)格模板法對物體的方向較敏感。 （ 6） 推進(jìn)波前法 近年來，推進(jìn)波前法也已經(jīng)成為目前最流行的通用的全自動(dòng)網(wǎng)格生成方法之一。其基本原理是：設(shè)區(qū)域的有向離散外邊界集和邊界前沿點(diǎn)集已經(jīng)確定，按某種條件沿區(qū)域邊界向區(qū)域內(nèi)部扣除三角形（四面體）直到區(qū)域?yàn)榭占?。ＡＦＴ的關(guān)鍵技術(shù)有兩個(gè)：區(qū)域的邊界離散與內(nèi)部結(jié)點(diǎn)合理生成，扣除三角形條件。而扣除三角形條件有多種：最短距離條件、最大角條件、最大形狀質(zhì)量條件、最小外接圓條件等。 AFT 可以全自動(dòng)地在平面或曲面上生成網(wǎng)格，用戶可控制生成單元的幾何分類：四邊形或三角形，或者四邊形和三角形混合網(wǎng)格。這種自動(dòng)計(jì)算網(wǎng)格的方法是一次生成一個(gè)單元，從區(qū)域的邊界向內(nèi)部逐漸生成全域網(wǎng)格。由它生成的網(wǎng)格同樣有著很好的幾何尺寸和形狀且疏密過渡平滑。當(dāng)網(wǎng)格疏密過渡較劇烈時(shí)，它也同樣能夠生成高質(zhì)量的網(wǎng)格。 AFT 方法的特點(diǎn)之一是能夠在生成結(jié)點(diǎn)的同時(shí)生成單元，這樣就可以在生成結(jié)點(diǎn)時(shí)對結(jié)點(diǎn) 的位置加以控制，從而控制單元形狀、尺寸以達(dá)到質(zhì)量控制、局部加密及網(wǎng)格過渡的要求。大量文獻(xiàn)提出了各種不同的結(jié)點(diǎn)生成方法及單元生成方法。 AFT 方法的特點(diǎn)之二是在生成新單元時(shí)需要進(jìn)行大量的相交判斷、包含判斷，以及為了保證單元的質(zhì)量而進(jìn)行的距離判斷。相交判斷包括線段之間的相交判斷 ,線段與三角形面片之間的相交判斷；包含判斷主要指單元是否包含前沿結(jié)點(diǎn)的判斷；距離判斷包括線段與線段的距離，線段與前沿結(jié)點(diǎn)的距離以及線段與三角形面片的距離。 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 27 網(wǎng)格質(zhì)量的度量準(zhǔn)則 為了保證有限元分析計(jì)算的精確度。我們期望生成的網(wǎng)格 的質(zhì)量盡量高對。網(wǎng)格質(zhì)量的度量，是網(wǎng)格生成和網(wǎng)格優(yōu)化過程中的重要環(huán)節(jié)，網(wǎng)格質(zhì)量的好壞將直接影響有限元分析的計(jì)算結(jié)果，因此網(wǎng)格剖分后生成的網(wǎng)格單元的質(zhì)量是一個(gè)好的網(wǎng)格生成算法必須考慮的方面。 三維空間中，網(wǎng)格剖分的單元主要有兩種：四面體單元和六面體單元，四面體網(wǎng)格簡單靈活，對復(fù)雜的邊界有較強(qiáng)的適應(yīng)能力，故成為三維有限元網(wǎng)格剖分中常用的單元，網(wǎng)格單元質(zhì)量的度量標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)滿足以下原則：單元的旋轉(zhuǎn)、反射、平衡、均勻綻放都不應(yīng)該改變其度量值；當(dāng)四面體的體積趨近于零時(shí)，其度量值也近似于零；當(dāng)且僅當(dāng)四面體是正面體時(shí)，其度量值 取得最大值。下面介紹幾種常用的度量準(zhǔn)則： (1)半徑比 Rr/3?? ????????? ??????????? ??????（ ） 其中， r和 R分別為四面體內(nèi)切圓和外接圓的半徑，其表達(dá)式 43213 ssss Vr ???? ? ??????? ??????????? ????（ ） VacbbcacbacbaR 24 ))()()(( ????????? ?? ????????? ?（ ） 其中， 1s、 3s、 4是四個(gè)面的面積， a、 b、 c分別為對邊邊長之積， V是四面體的體積。 (2)系數(shù) Q 341??????????jiijdlVCQ ? ????????? ??????????? ???（ ） 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 28 其中 dC=，與為連接頂點(diǎn) i和j的