【正文】 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 1 目 錄 摘要??????????????????????????? 1 ABSTRACT????????????????????????? 2 0 引言 ?????????????????????????? 4 1 有限元法 ???????????????????????? 5 有限元法的基本原理 ?????????????????? 5 有限元法基本思想 ?????????????????? 5 有限元法幾個(gè)基本概念 ???????????????? 5 有限 元求解的基本步驟 ????????????????? 6 區(qū)域離散 ?????????????????????? 6 插值函數(shù)的選擇 ??????????????????? 8 方程組 公式的建立 ?????????????????? 8 方程組的求解 ???????????????????? 11 有限元法的應(yīng)用 ???????????????????? 13 2 Rhino 建模技術(shù)及網(wǎng)格剖分 ???????????????? 14 Rhino 軟件簡(jiǎn)介 ???????????????????? 14 Rhino 實(shí)體建模技術(shù) ?????????????????? 16 基本幾何體創(chuàng)建 ???? ??????????????? 16 實(shí)體工具 ?????????????????????? 18 網(wǎng)格剖分 ??????????????????????? 21 有限元網(wǎng)格剖分的基本原 則 ?????????????? 21 有限元網(wǎng)格生成的方法 ???????????????? 23 網(wǎng)格質(zhì)量的度量準(zhǔn)則 ????????????????? 27 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 2 Rhino 網(wǎng)格工具 ? ?????????????????? 28 模型及四面體網(wǎng)格剖分實(shí)例 ??????????????? 33 矩形腔體 ?????????????????????? 33 圓柱腔體 ??? ??????????????????? 35 階梯模型 ?????????????????????? 36 3 有限元計(jì)算 ??????????????????????? 39 矩形腔體計(jì)算 ????? ???????????????? 39 圓柱腔體計(jì)算 ????????????????????? 40 4 結(jié)束語(yǔ) ????????????????????????? 41 5 參考文獻(xiàn)????????????? ??????????? 42 6 譯文?????????????????????????? 44 7 原文說明???????????????????????? 55 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 1 摘 要 本文首先對(duì)有限元法的基本原理進(jìn)行簡(jiǎn)要的敘述，指出了四面體網(wǎng)格在有限元分析中的使 用及四面體網(wǎng)格剖分的難點(diǎn)和現(xiàn)狀，使用了 Rhino軟件建立三維幾何模型并對(duì)模型進(jìn)行四面體網(wǎng)格自動(dòng)剖分，提取網(wǎng)格數(shù)據(jù)，再轉(zhuǎn)換成有限元計(jì)算所需數(shù)據(jù)，并進(jìn)行有限元計(jì)算。在 Fortran 語(yǔ)言環(huán)境下將提取網(wǎng)格數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成有限元計(jì)算所需的網(wǎng)格數(shù)據(jù)。有限元法應(yīng)用已經(jīng)由彈性力學(xué)平面問題擴(kuò)展到空間問題，由靜力平衡問題擴(kuò)展到穩(wěn)定問題，動(dòng)力問題和波動(dòng)問題 。 但是和有限元高度發(fā)展的計(jì)算功能不相符的是，有限元與處理功能的網(wǎng)格自動(dòng)剖分很弱。因?yàn)辄c(diǎn)是無(wú)限多的，存在無(wú)限自由度的問題，很難直接求解這種偏微分方程用來(lái)解決實(shí)際工程問題，因此需要采用近似方法來(lái)處理。 有限元法是一種以計(jì)算機(jī)為手段，通過離散化將研究對(duì)象變換成一個(gè)與原始結(jié)構(gòu)近似的數(shù)學(xué)模型，再經(jīng)過一系列規(guī)范化的步驟以求解相應(yīng)參數(shù)的數(shù)值計(jì)算方法。在有限元法中，單元用一組結(jié)點(diǎn)間相互作用的數(shù)值和剛度系數(shù)矩陣來(lái)描述。有一些形狀簡(jiǎn)單的單元組成，單元之間通 過結(jié)點(diǎn)連接。并利用簡(jiǎn)單而又相互作用的單元，用有限數(shù)量的未知量去逼近無(wú)限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。對(duì)于實(shí)際上是直線或曲線的一維區(qū)域單元通常是短直線，如圖 （ a)。 (a) 直線（一維） 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 7 (b) 三角形和矩形（二維） (c) 四面體、三棱柱和矩形塊（三維） 圖 基本有限元 圖 立方體剖分效果 在多數(shù)有限元解中，問題是用與單元有關(guān)的結(jié)點(diǎn)上的為指數(shù)函數(shù)Φ表達(dá)的。結(jié)點(diǎn)的局部編碼表示它在單元中的位置，而全局編碼表示它在整個(gè)系統(tǒng)中的位置。盡管高階多項(xiàng)式的精度較高，但通常得到的公式也比較復(fù)雜。例如，若ejN是線性函數(shù)，則單元 e是線性單元。求解公式前我們先說明邊值問題，典型的邊值問題可用控制微分方程和邊界條件來(lái)定義?？傻梅汉瘮?shù) F表示為： 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 9 )~()~(1eMeeFF ??? ?? ????? ????????????????（ ） 式中 M是組成全域的單元數(shù)，而 ???????? ????dfdF eeeee ~~~21)~( ? ???????????????（ ） 將（ ）式代入（ ）式，得到 ?? ?? ??????? dNfdNNF eTeeTeeTee }{}{}{}{}{}{21 ? ???????（ ） 寫成矩陣形式 }{}{}]{[}{21 eTeeeTee bKF ????? ???????????????（ ） 其中][ eK是 nn?矩陣，}{eb是 1?的列向量，它們的元素為 ?? ?? dNNK ejeieij ? ??????????????????????（ ） 和 ?? ?? dfNb eiei ????????????????????????（ ） 因?yàn)?是自伴算符，所以，單元矩陣][ eK是對(duì)稱的。因?yàn)檫@里的算符?不必是自伴的，所以，單元矩陣][ eK也不必是對(duì)稱的。令（ ）式等于零，可得方程組 }0{}){}]{([1 ????? eeMe e bK ???????????????????（ ） 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 11 在方程組（ ）式能求得定解 之前，必須應(yīng)用所需的邊界條件。 可以看出，在這一步驟中，實(shí)際上有三個(gè)步驟。我們應(yīng)用邊界條件來(lái)得到方程組的最終形式。而方程（ ）式是本征值型的，它是從齊次控制微分方程和齊次邊界條件導(dǎo)出的。這個(gè)最后步驟也稱為后處理過程，完全可以同其它步驟分開處理。它的用途主要在簡(jiǎn)化一個(gè)大矩陣的 行列式 值的計(jì)算過程，求反矩陣，和求解聯(lián)立 方程組 。共軛梯度法不僅是解決大型 線性方程組 最有用的方法之一，也是解大型非線性最優(yōu)化最有效的 算法 之一。 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 13 有限元法的應(yīng)用 目前，有限元法計(jì)算在許多工程計(jì)算中都有應(yīng)用，例如流體力學(xué)、電磁學(xué)、工程結(jié)構(gòu)等。還有變壓器及其他電力系統(tǒng)元件，如高壓線圈、輸電線電纜、接地系統(tǒng)、輸電線配電線的外部磁場(chǎng)、電暈等的分析。三維有限元渦流場(chǎng)的計(jì)算目前的目標(biāo)主要是如何來(lái)減少計(jì)算量同時(shí)提高計(jì)算精度。其有限元法計(jì)算采用矢量磁位，仍具有介質(zhì)交界處連續(xù)的特點(diǎn)，因此介質(zhì)交界條件自動(dòng)滿足，不用考慮。 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 14 2 Rhino建模技術(shù)及網(wǎng)格剖分 Rhino 軟件簡(jiǎn)介 Rhino，中文名稱犀牛，是一款超強(qiáng)的三維建模工具，大小才幾十兆，硬件要求也很低。 Rhino 可以在 Windows 系統(tǒng)中建立、編輯、分析和轉(zhuǎn)換 NURBS 曲線、曲面和實(shí)體。精確完全符合設(shè)計(jì)、快速成形、工程、分析和制造從飛機(jī)到珠寶所需的精確度。高效率不需要特別的硬設(shè)備，即使在一般的筆記型計(jì)算機(jī)上也可以執(zhí)行。 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 15 圖 汽車模型 圖 變形金剛模型 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 16 Rhino 實(shí)體建模技術(shù) 基本幾何體創(chuàng)建 Rhino 中的基本幾何體包括：立方體、球體、圓柱體、橢球體、圓管、圓錐、拋物面椎體、圓環(huán)等。建立的三棱體如圖 所示。 （ 1） 布爾運(yùn)算實(shí)例 圖 立方體和球體 圖 實(shí)體布爾運(yùn)算并集后的效果 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 20 （ 2） 實(shí)體倒角 圖 實(shí)體倒角前 圖 實(shí)體倒角后的效果 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 21 網(wǎng)格剖分 網(wǎng)格剖分作為建立有限元模型的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，要求考慮的問題多，需要的工作量大，不同的網(wǎng)格剖分方式會(huì)對(duì)計(jì)算規(guī)模、計(jì)算結(jié)果和計(jì)算精度產(chǎn)生很大的影響。首先要確保計(jì)算的精度?；谝陨显瓌t，實(shí)體結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格剖分密度便表現(xiàn)出疏密不同。 （ 5）網(wǎng)格布局 當(dāng)實(shí)體模型的結(jié)構(gòu)形狀對(duì)稱時(shí) ,為使其表現(xiàn)出這種對(duì)稱性 ,生成的網(wǎng)格最 好也保持對(duì)稱，動(dòng)態(tài)分析時(shí) ,實(shí)體的結(jié)構(gòu)形狀對(duì)稱 ,若生成的網(wǎng)格不保持對(duì)稱 ,那生成的網(wǎng)格質(zhì)量也不具有對(duì)稱性，利用集中質(zhì)量矩陣計(jì)算質(zhì)量分布時(shí) ,采用圖 中的對(duì)稱網(wǎng)格 ,結(jié)果是對(duì)稱的；采用圖 中所示的不對(duì)稱網(wǎng)格 ,結(jié)果是不對(duì)稱的 ,這將不利于動(dòng)力計(jì)算。產(chǎn)生的網(wǎng)格整齊劃一，非常規(guī)則，但同時(shí)這也是該法的缺點(diǎn)，尤其是當(dāng)待剖分區(qū)域不規(guī)則時(shí)，如瓶頸形狀，得到的網(wǎng)格形狀是畸變的。映射法一般可直接處理單連通域問題，但對(duì)于復(fù)雜多連通域問基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 24 題需要首先用手工或自動(dòng)方法將待剖分域分解成幾何形狀規(guī)則的可映射子區(qū)域，然后在每個(gè)子區(qū)域內(nèi)應(yīng)用映射法。它較多地考慮了待分域的幾何特征，確保生成質(zhì)量較好的網(wǎng)格單元，通常有兩種方法：遞歸法和迭代法。 （ 3） 基于柵格法 基于柵格法的基本剖分流程如下：首先用一組不相交的尺寸相同或不同的柵格覆蓋在目標(biāo)區(qū)域上面，保留完全或部分落在目標(biāo)區(qū)域之內(nèi)的柵格，刪除完全落在目標(biāo)區(qū)域之外的柵格；然后對(duì)與物體邊界相交的柵格進(jìn)行調(diào)整、剪裁、再分解等操作，使其更準(zhǔn)確地逼近目標(biāo)區(qū)域；最后對(duì)內(nèi)部柵格和邊界柵格（特別是后者）進(jìn)行柵格級(jí)的網(wǎng)格剖分，進(jìn)而得到整個(gè)目標(biāo)區(qū)域的有限元網(wǎng)格。 柵格法首先用交互方式將物體剖分為形狀簡(jiǎn)單的子區(qū)域，每個(gè)子區(qū)域分別用定形的網(wǎng)格模板作為規(guī)整的部分，再采取適當(dāng)?shù)拇胧?，使得相鄰子區(qū)域在結(jié)合面共享公共的結(jié)點(diǎn)，并且網(wǎng)格相容。 DT 方法僅適用于凸區(qū)域，對(duì)于非凸區(qū)域則不能保其邊界的完整性 ,因此對(duì)非凸區(qū)域必須引入一個(gè)恢復(fù) 邊界的步驟?？胀饨訄A特性，是指在 DT 中的每個(gè)三角形單元或四面體單元的外接圓 (二維 )或外接球 (三維 )都不包含其它結(jié)點(diǎn)。另外，網(wǎng)格模板法對(duì)物體的方向較敏感。而扣除三角形條件有多種：最短距離條件、最大角條件、最大形狀質(zhì)量條件、最小外接圓條件等。當(dāng)網(wǎng)格疏密過渡較劇烈時(shí)，它也同樣能夠生成高質(zhì)量的網(wǎng)格。相交判斷包括線段之間的相交判斷 ,線段與三角形面片之間的相交判斷；包含判斷主要指單元是否包含前沿結(jié)點(diǎn)的判斷；距離判斷包括線段與線段的距離，線段與前沿結(jié)點(diǎn)的距離以及線段與三角形面片的距離。 三維空間中，網(wǎng)格剖分的單元主要有兩種：四面體單元和六面體單元，四面體網(wǎng)格簡(jiǎn)單靈活，對(duì)復(fù)雜的邊界有較強(qiáng)的適應(yīng)能力，故成為三維有限元網(wǎng)格剖分中常用的單元，網(wǎng)格單元質(zhì)量的度量標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)滿足以下原則：?jiǎn)卧男D(zhuǎn)、反射、平衡、均勻綻放都不應(yīng)該改變其度量值；當(dāng)四面體的體積趨近于零時(shí)，其度量值也近似于零；當(dāng)且僅當(dāng)四面體是正面體時(shí)，其度量值 取得最大值。 Rhino 網(wǎng)格工具 Rhino 也和許多 CAD 軟件一樣，自身都帶有網(wǎng)格剖分的功能，而且網(wǎng)格剖分都分自動(dòng)的剖分和手動(dòng)剖分，本文所涉及的網(wǎng)格剖分都是網(wǎng)格自動(dòng)剖分，所用的模型都是實(shí)體模型。網(wǎng)格面較少時(shí)模型粗糙，不精確，但面少，文件和占用資源小。這個(gè)選項(xiàng)的預(yù)設(shè)值是 20 度，建議值為 5 至 90 度之間。 基于 Rhino 的有限元網(wǎng)格離散技術(shù)研究 上海工程技術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 31 （ 3)最大長(zhǎng)寬比：曲面一開始會(huì)以四角形網(wǎng)格面轉(zhuǎn)換，然后進(jìn)一步細(xì)分。預(yù)設(shè)值為 0，不設(shè)置為 0 時(shí)的建議值為 1 至 100。預(yù)設(shè)值為 ，設(shè)置值需要依照物件的大小做調(diào)整 。這個(gè)選項(xiàng)是使用目前的單位系統(tǒng)。預(yù)設(shè)值為 0，設(shè)置值需依照物件的大小做調(diào)整。這個(gè)設(shè)置值大約是 起始四角網(wǎng)格面 邊緣中點(diǎn)和 NURBS 曲面之間的距離