【文章內容簡介】 () 通常很難確定以上關系成立的解析條件。但如果引入以下充分 條件，則以上關系成立，即若存在標量 0,....,01 ?? m?? ，使以下 LMI 010 ????mi iiTT ? () 成立。顯然式 ()是一個 LMI 可行解問題。在控制系統(tǒng)的魯棒分析和魯棒綜合中，我們常常要用 S— procedure 來將一些不是凸約束的問題轉化成線性矩陣不等式約束。 對線性矩陣不等式的求解一般可以歸納為以下三類問題。 1. 可行性問題 尋找一個 NRx? (或等價的：具有給定結構的矩陣 kXX ,1 ? )，使得滿足線性矩陣不等式系統(tǒng) 0)( ?xL () 2. 具有線性矩陣不等式約束的一個目標函數(shù)的最小化問題 xcTxmin 0)( ?xL () 3. 具有線性矩陣不等式限制條件的廣義特征值最小化問題 ?min 滿足于????????)()(0)(0)(xBxAxBxC? () 在控制理論中，大多數(shù)控制問題都可以轉化成上述三種矩陣不等式問題中的一種，從而使問題得到解決。 LMI 工具箱簡介 在 60 年代，已經提出了線性矩陣不等式，但由于求解形如式 ()～ ()所描述的線性矩陣不等式的算法還不夠成熟。再加上求解量大，因而 線性矩陣不等式在實際中未得到廣泛應用。近幾年來，由于線性矩陣不等式的理論不斷完善，求解算法也不斷成 遼寧科 技大學本科生畢業(yè)論文 第 8 頁 ` 熟，加上計算機的廣泛應用，線性矩陣不等式的求解變得很方便，因此線性矩陣不等式在實際工程中尤其在控制工程理論中得到廣泛的應用。由于用線性矩陣不等式求解控制理論中的問題是當今控制理論發(fā)展的一個重要方向，因此出現(xiàn)了許多計算機應用軟件 ,其中以美國 公司用 C 語言開發(fā)的 MATLAB 軟件最為流行；到目前為止，已相繼推出了幾個版本，其中在 、 、 等版本 中，增加了用于求解線性矩陣不等式的線性矩陣不等式控制工具箱。 線性矩陣不等式工具箱提供了在魯棒控制設計中所遇到的凸最優(yōu)化問題的解，同時給出了一個用于求解線性矩陣不等式的集成環(huán)境。由于這個工具箱功能強大和友好的用戶界面，因此可以開發(fā)自己的應用程序。這里我們只介紹工具箱中幾個重要函數(shù)。 1. setlmis([ ])：初始化新的 LMI 系統(tǒng)。 2. lmivar(type, struct)：增加新的矩陣變量 X 到當前的 LMI 系統(tǒng)中。其中， type（類型）：根據(jù)變量 X 的不同類型設置（ 1～ 3）， 1 表示矩陣變量 X 為對 稱塊對角陣， 2 表示矩陣變量 X 為滿秩陣， 3 表示矩陣變量 X 為其它； struct（結構）：若 type=1, 則 struct的第 i 行描述 X 的第 i 個塊對角陣，其中 struct (i,1)代表塊的大小， struct (i, 2)代表塊的性質，如果是尺度塊 t*I，則 struct (i, 2)取 0，如果是滿塊，則取 1，如果是 0 塊，則取1。若 type=2，假如 X 是 MN 矩陣，則 struct=[M,N]。若 type=3，則 struct 是一個與 X同維的矩陣，其中， struct(i, j)取值為：當 X(i, j)=0 時， struct(i, j) =0，當 X(i, j)為第 n 個待求變量時， struct(i, j) =+n，當 X(i, j)為第 n 個待求變量乘上（ 1）時， struct(i, j) = n。 3. lmiterm（ termID, A, B, flag）：給當前描述的 LMI 系統(tǒng)中的某個 LMI 增加一項。其中， termID 為 4 輸入向量，用來指定項的位置和性質。對于 termID(1) ：若該項位于第 n 個 LMI 的左邊，則 termID(1)=+n，若該項位于第 n 個 LMI 的右邊，則 termID(1)= n。對于 termID(2: 3) ：若該項屬于 LMI 的第（ i, j）塊，則 termID(2: 3)=[i, j]，若該項屬于外部因子，則 termID(2: 3)=[0 0]。對于 termID(4) ：若該項屬于常數(shù)項，則 termID(4)=0，若該項屬于變量項 A*X*B，則 termID(4)=m，若該項屬于變量項 A*XT*B： termID(4)=m，其中， m 為由函數(shù) lmivar 返回的變量 X 的標識。 A 可以是外部因子，常數(shù)項或者變量項 A*X*B 或 A*XT*B 的左系數(shù)， B 是變量項 A*X*B 或 A*XT*B 的右系數(shù)。 Flag：設置flag=’s’，在一個 lmiterm函數(shù)內快捷定義表達式 A*X*B+BT*XT*AT。 4. LMIs=getlmis：如果系統(tǒng)已經用 lmivar 和 lmiterm進行了完整描述，則返回這個LMI 系統(tǒng)的內部描述 LMIs。內部描述 LMIs 能夠直接傳遞到求解工具或者其它 LMILab 遼寧科 技大學本科生畢業(yè)論文 第 9 頁 ` 函數(shù)中去。 5. [tmin,xfeas]=feasp (LMIs, options, target)：求解 LMI 系統(tǒng)定義的線性矩陣不等式約束條件問題的可行解。如果問題是可解的，則輸出 xfeas 將是待求向量的一個可解值。給定 L(X) R(X)的可解性問題，解決凸優(yōu)化過程：對： L(X) R(X) +t*I 求： minimize t。如果 LMI 系統(tǒng)可解，則極小化值 tmin 將是負的。 feasp 在每次迭代過程中給出 t 的當前最佳值。 LMIs： LMI 約束的描述； options（選擇項）：控制參數(shù)的 5 輸入向量。 Target（選擇項）： tmin 的目標值（缺省值 =100）。一旦 tTarget，則代碼終止。 tmin：終止時的 t。而且僅當 LMI 系統(tǒng)是可解的， tmin≤0。 xfeas：相應的極小化值，如果 tmin≤0, xfeas 將是 LMI約束的一個 可行向量。使用 dec2mat 可以從 xfeas 取出相應的矩陣變量的值。 6. [copt ,xopt]=mincx (LMIs ,c ,options ,xinit， Target)：針對約束 L(X)R(X)，極小化 cTX.。其中， X 是待求變量。 LMIs： LMI 約束的系統(tǒng)描述； c：與 X 同維的向量； options（選擇項）：控制參數(shù)的 5 輸入向量； xinit（選擇項）： X 的初始值。 Target（選擇項）：目標值，一旦可行的 X 找到，即： cTXTarget，中斷迭代； copt：目標 cTX 的極小化值；xopt：待求 變量 X 的極小化值。使用 dec2mat 可以從 xopt 取出相應的矩陣變量的值。 7. [tmin,xopt] = gevp(LMIs,nlfc,options,t0,x0,target)：求解廣義特征值最小化問題。對 LMI 約束 C(x) 0， 0 Bj(x)以及 Aj(x) t * Bj(x) ( j=1,..,nlfc )，求 minimize t。這里，x 表示待求變量。正定約束 Bj(x) 0 必須很好限定，涉及 t 的 LMIs 必須最后限定。 LMIs：LMI 約束的系統(tǒng)描述； nlfc：涉及 t 的 LMIs 的數(shù)目 ； options（選擇項）：控制參數(shù)的 5輸入向量； t0， x0（選擇項）： t， x 的初始值； target（選擇項）： tmin 的目標值，只要 t小于這個值，則代碼終止； tmin： t 的最小值； xopt：待求變量 x 的極小化值。使用 dec2mat可以從 xopt 取出相應的矩陣變量的值。 這里用一個例子說明如何建立 LMI。 例題 求滿足 PI 的對稱矩陣 P，使得 011 ?? PAPAT 022 ?? PAPAT 033 ?? PAPAT 其中： ?????? ??? 31 211A， ?????? ??? ， ?????? ??? 遼寧科 技大學本科生畢業(yè)論文 第 10 頁 ` 此問題應用 LMI 工具箱中有關函數(shù)編程如下： A1=[1 2。1 3]； %常數(shù)矩陣 A2=[ 。 ]； A3=[ 。 ]； na=size(A, 2)； %矩陣 A 的列數(shù) setlmis([]) %建立一個新的 LMI P=lmivar(1,[na,1]) %定義矩陣變量 P=PT，其維數(shù)為 na lmiterm([1 1 1 P],1,A1,’s’) %LMI A1TP+PA1 1 lmiterm([2 1 1 P],1,A2,’s’) %LMI A2TP+PA2 2 lmiterm([3 1 1 P],1,A3,’s’) %LMI A3TP+PA3 3 lmiterm([4 1 1 P],1,1) %LMI P 4 lmiterm([4 1 1 0],1) %LMI I lmis=getlmis [tmin,xfeas]=feasp(lmis) %計算可行性向量： xfeas pp=dec2mat(lmis,xfeas,P) %返回相應的矩陣變量 在求解后，矩陣變量 P 如下： P= ?????? 上述的計算結果表明，可找到一個 對稱的矩陣使線性矩陣不等式 PI 成立，同時滿足前面提到的三個條件。 遼寧科 技大學本科生畢業(yè)論文 第 11 頁 ` 3 LMI 算法 應用 基于 LMI 算法的有機結構控制 互聯(lián)大系統(tǒng)的有機結構控制實質上是這樣一個問題：對于一個具有多個子系統(tǒng)的互聯(lián)大系統(tǒng)，在它運行期間受到了不確定的結構擾動，即某些子系統(tǒng)暫時脫離了大系統(tǒng)，在這種結構擾動下，如何確定各子系統(tǒng)的自主分散控制律，使整個大系統(tǒng)保持穩(wěn)定運行。在這個問題中，由于將整個大系統(tǒng)看成是一個有機體，因此把對它的結構擾動的控制以及對整個系統(tǒng)的鎮(zhèn)定稱為大系統(tǒng)的有機結構控制。它包含三層基本含義： 一是系統(tǒng)的關聯(lián)穩(wěn) 定性問題，即當子系統(tǒng)脫離大系統(tǒng)時，大系統(tǒng)仍能保持是穩(wěn)定的，這是有機結構控制最基本的含義。在這一層中，有機結構控制實質上就是如何來設計系統(tǒng)的自主分散控制律，使系統(tǒng)能夠在突然的結構重構后仍能保持系統(tǒng)是穩(wěn)定的。它的第二層意思是考慮控制器投入與切除時系統(tǒng)的關聯(lián)穩(wěn)定問題。從控制的可靠性出發(fā)，我們可以對一個系統(tǒng)設計多個控制器，構成多控制器的可靠控制系統(tǒng)。在這一層中，有機結構控制實質上就是如何來設計系統(tǒng)的自主分散控制律，使系統(tǒng)能夠在任何一個控制器故障后仍能保持系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第三層意思是考慮多對象問題，即一個控制器控制多個 對象。在實際的控制系統(tǒng)中，有很多這樣的系統(tǒng)。在這一層中，有機結構控制實質上就是如何來設計系統(tǒng)的自主分散控制律，使系統(tǒng)能夠在被控對象中的某一個脫離該控制器時，整個系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定?，F(xiàn)在最主要的任務是找到一種控制方法使系統(tǒng)在結構擾動下是穩(wěn)定的。魯棒控制的 LMI 算法便可以使上述問題得到解決。下面就對該方法做一下簡單介紹。 考慮一個具有 N 個子系統(tǒng)的互聯(lián)系統(tǒng) S： : ( , )S x A x B u h t x? ? ? Ni ,2,1 ?? () 相應的 N 個子 系統(tǒng) iS 為： ? ?:,i i i i i i iS x A x B u h t x? ? ? Ni ,2,1 ?? () 這里， ini Rx? 是第 i 個子系統(tǒng)的狀態(tài)， imi Ru? 是第 i 個子系統(tǒng)的輸入，inni RRh ??1: 是子系統(tǒng)間的互聯(lián)。 遼寧科 技大學本科生畢業(yè)論文 第 12 頁 ` 我們假設子系統(tǒng)間的互聯(lián)項 ),( xthi 是關于 t 和 x 的分段連續(xù)函數(shù)，且滿足二 次約束： xHHxxthxth iTiTiiTi 2),(),( ?? () 這里， 0?i? 是不確定互聯(lián)的界，約束矩陣 iH 是常數(shù)矩陣。 將互聯(lián)大系統(tǒng)寫成緊縮形式： ),(: x