20xx屆高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)(空間角與距離)(編輯修改稿)
2024-09-29 11:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 【范例 3】 在四棱錐 PABCD 中， ABCD為正方形， PA⊥ 面 ABCD， PA＝ AB＝ a， E 為 BC 中點 . （ 1）求平面 PDE 與平面 PAB 所成二面角的大??；（ 2）求平面 PBA 與平面 PDC所成二面角的大小 解：（ 1）延長 AB、 DE 交于點 F，則 PF 為平面 PDE 與平面 PAD 所成二面角的棱， ∵PA⊥ 平面 ABCD， ∴AD⊥PA 、 AB, PA∩AB=A ∴DA⊥ 平面 BPA 于 A, 過 A 作 AO⊥PF 于 O，連結(jié) OD, 則 ∠AOD 即為平面 PDE 與平面 PAD 所成二面角的平面角。 得25tan ??AOD，故面 PDE 與 面 PAD 所成二面角的大小為25tanatc （ 2）解法 1（面積法）如圖 ∵AD⊥PA 、 AB, PA∩AB=A ∴DA⊥ 平面 BPA 于 A, 同時 BC⊥ 平面 BPA 于 B, ∴△PBA 是 △PCD 在平面 PBA 上的射影 , 設(shè)平面 PBA 與平面 PDC 所成二面角大小為 θ, cosθ=S △PAB /S△PCD = /2 θ=45 0 ， 即平面 BAP 與平面 PDC 所成的二面角的大小為 45176。 。 解法 2（補形化為定義法）如圖將四棱錐 PABCD 補形 得正方體 ABCDPQMN，則 PQ⊥PA 、 PD，于是 ∠APD 是兩 面所成二面角的平面角。 在 Rt△PAD 中， PA=AD， 則 ∠APD=45176。 。即平面 BAP 與平面 PDC 所成二面角的大小為 45176。 。 【點晴】 求線面角、面面角關(guān)鍵在于準確作出角，同樣 遵循一作二證三計算的步驟， 但應(yīng)用面積射影法求二面角可避免找角，同學(xué)們注意經(jīng)常使用。 【 范 例 4 】 如圖，四面體 ABCD 中， O 、 E 分 別 是 BD 、 BC 的 中 點 ， 2 , 2 .C A C B C D B D A B A D? ? ? ? ? ? （ I）求證： AO? 平面 BCD； （ II）求 異面直線 AB 與 CD 所成角的大??； （ III）求點 E 到平面 ACD 的距離。 方法一： （ I）證明：連結(jié) OC , , .BO D O AB AD AO BD? ? ? ? , , .BO D O BC C D C O BD? ? ? ? 在 AOC? 中，由已知可得 1, CO?? 而 2,AC? 2 2 2 ,AO C O AC? ? ? 90 ,oAOC?? ? 即 .AO OC? ,BD OC O? AO??平面 BCD （ II）解：取 AC 的中點 M，連結(jié) OM、 ME、 OE，由 E 為 BC的中點知 ME ∥ AB,OE ∥ DC ?直線 OE 與 EM 所成的銳角就是異面直線 AB 與 CD所成的角 ABMDEOC 5 在 OME? 中， 1 2 1, 1 ,2 2 2E M A B O E D C? ? ? ? OM 是直角 AOC? 斜邊 AC 上的中線， 1 1,2O M AC? ? ? 2co s ,4O E M? ? ? ?異面直線 AB 與 CD 所成角的大小為 2arccos .4 （ III）解：設(shè)點 E 到平面 ACD 的距離為 .h 11, . . . .33E A C D A C D E A C D C D EV V h S A O S? ? ? ?? ? ? 在 ACD? 中， 2 , 2 ,CA CD A D? ? ? 221 2 72 2 ( ) .2 2 2A C DS ?? ? ? ? ? ? 而 21 3 31 , 2 ,2 4 2C D EA O S ?? ? ? ? ? 31. 212 .772CD EA CDA O ShS???? ? ? ? ?點 E 到平面 ACD 的距離為 方法二： （ I）同方法一。 （ II）解：以 O 為原點，如圖建立空間直角坐標系，則 (1, 0 , 0), ( 1, 0 , 0),BD? 13( 0 , 3 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( , , 0 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 3 , 0 ) .22C A E B A C D? ? ? ? ? .2c o s , ,4B A C DB A C DB A C D? ? ?? ? ?異面直線 AB 與 CD 所成角的大小為 2arccos .4 （ III）解：設(shè)平面 ACD 的法向量為 ( , , ),n x y z? 則 . ( , , ) .( 1 , 0 , 1 ) 0 ,. ( , , ) .( 0 , 3 , 1 ) 0 ,n AD x y zn AC x
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