【正文】 x CABODyzE 6 解（ Ⅰ ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 1B (0,0,1)， M（ 0， 12 ， 0） ,C(0,1,0), N (0,1,23 ) , A ( 31, ,022? )， 所以 3( , 0, 0)2AM ? , 1 1(0, ,1)2MB ?? , 12(0, , )23MN ? 因?yàn)?1 310 0 ( ) 0 1 022M B A M ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 1MB AM? ,同法可得 MN AM? 。 （ 1）求證： AB? 平面 BCD（ 2）求異面直線 BC 與 AD 所成的角。 解法 2（補(bǔ)形化為定義法）如圖將四棱錐 PABCD 補(bǔ)形 得正方體 ABCDPQMN，則 PQ⊥PA 、 PD，于是 ∠APD 是兩 面所成二面角的平面角。 正三棱柱 111 CBAABC ? 的底面邊長為 8，對角線 101 ?CB ， D 是 AC 的中點(diǎn)。 【 范 例 4 】 如圖，四面體 ABCD 中， O 、 E 分 別 是 BD 、 BC 的 中 點(diǎn) ， 2 , 2 .C A C B C D B D A B A D? ? ? ? ? ? （ I）求證： AO? 平面 BCD； （ II）求 異面直線 AB 與 CD 所成角的大??； （ III）求點(diǎn) E 到平面 ACD 的距離。 1 空間角 與距離 ★★ ★ 高考 考什么 【 考點(diǎn)透視 】 異面直線所成角 ,直線與平面所成角 ,求二面角每年必考 ,作為解答題可能性最大 . 【 熱點(diǎn)透析 】 1．轉(zhuǎn)化思想 ： ① ? ? ? ? ? ? ?線 線 平 行 線 面 平 行 面 面 平 行 , 線 線 線 面 面 面 ② 將異面直線所成的角 ,直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為平面角 ,然后解三角形 2．求角的三個步驟 ： 一猜 ,二證 ,三算．猜是關(guān)鍵 ,在作線面角時 ,利用空間圖形的平行 ,垂直 ,對稱關(guān)系 ,猜斜線上一點(diǎn)或斜線本身的射影一定落在平面的某個地方 ,然后再證 3．二面角的平面角的主要作法 ： ① 定義 ② 三垂線定義 ③ 垂面法 距離 【 考點(diǎn)透視 】 判斷線線 、 線面 、 面面的平行 與垂直 ， 求點(diǎn)到平面的距離及多面體的體積。 【點(diǎn)晴】 求線面角、面面角關(guān)鍵在于準(zhǔn)確作出角，同樣 遵循一作二證三計(jì)算的步驟， 但應(yīng)用面積射影法求二面角可避免找角，同學(xué)們注意經(jīng)常使用。 （ 1）求點(diǎn) 1B 到直線 AC 的距離 . （ 2）求直線 1AB 到平面 BDC1 的距離． 解：（ 1）連結(jié) BD， DB1 ，由三垂線 定理可得： ACDB ?1 ， 所以 DB1 就是 1B 點(diǎn)到直線 AC 的距離。 在 Rt△PAD 中， PA=AD， 則 ∠APD=45176。 【 變式 】 在梯形 ABCD 中， AB=BC=1， AD=2， ?90???? B A DC B A ，沿對角線 AC 將折起，使點(diǎn) B 在平面 ACD 內(nèi)的射影 O恰在 AC上。 【 變式 】 已知正三棱柱 ABCA1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為 1， M 是底面 BC 邊上的中點(diǎn)， N 是側(cè)棱 CC1上的點(diǎn)，且 CN＝ 2C1N． （ Ⅰ ）求二面角 B1－ AM－ N 的平面角的余弦值；（ Ⅱ ）求點(diǎn) B1到平面 AMN 的距離。 故﹤ 1,MB MN ﹥?yōu)槎娼?1B — AM— N 的平面角 ∴ cos ﹤ 1,MB MN ﹥＝115 .5MB MNMB MN? ?? 故二面角 1B — AM— N 的平面角的余弦值為 55 。 x z A B C D 1A 1C 1B O F y 4 解： (1)在梯形 ABCD中 , 2AC DC??,AD=2， 222 ADDCAC ??? ， DCAC ?? 又 ?BO 平面 ACD，故 CDAB? 又 BCAB? ，且 CCDBC ?? ??AB 平面 BCD （ 2）因?yàn)?BA=BC， ACBO? ， O? 為 AC 中點(diǎn)，取 CD 中點(diǎn) E， AB 中點(diǎn) F，連結(jié) OE、 OF、 EF，則 OE//AD， OF//BC， 所以 AD 與 BC 所成的角為 EOF? 或其補(bǔ)角 . 作 FH//BO 交 AC 于 H，連結(jié) HE, 則 FH? 平 面 ACD 472 24 234 2222222222 ?????????????????????????????????? ECHCFHEHFHEF 在三角形 EOF 中，又21?FO?， EO=1 由余弦定理知 ?120,21c os ?????? E O FE O F 故異面直線 BC 與 AD 所成的角為 60 【點(diǎn)晴】 折疊問題必須注意折疊前后之間的關(guān)系和區(qū)別，本題使用空間向