【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 經(jīng)過(guò) A（ 0， 2），B（ 1， 0）兩點(diǎn)，與反比例函數(shù) y=12x 的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為 M，若 △ OBM 的面積為 2。 [來(lái)源 :學(xué)科網(wǎng) ZXXK] （ 1）求一次函數(shù)和反比全例函數(shù)的表達(dá)式。 （ 2）在 x 軸上存在點(diǎn) P，使 AM⊥ PM？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由。 【答案】（ 1） ∵ 直線 y=k1x+b 過(guò) A（ 0， 2）， B（ 1， 0） ∴ ???b=2k1+b=0 ∴ ???b=2k1=2 ∴ 一次函數(shù)的表達(dá)式為 y=2x2 設(shè) M（ m,n） ，作 MD⊥ x 軸于點(diǎn) D ∵ S△OBM=2 ∴ 12OBMD=2 ∴ 12n=2 ∴ n=4 將 M（ m， 4）代入 y=2x2 得： 4=2m2 ∴ m=3 ∵ 4=k23 ∴ k2=12 所以反比例函數(shù)的表達(dá)式為 y=12x (2)過(guò)點(diǎn) M（ 3， 4）作 MP⊥ AM 交 x 軸于點(diǎn) P ∵ MD⊥ BP ∴∠ PMD=∠ MBD=∠ ABO ∴ tan∠ PMD= tan∠ MBD= tan∠ ABO=OAOB=21=2 ∴ 在 Rt△PDM 中， PDMD=2 ∴ PD=2MD=8 ∴ PO=OD+PD=11 ∴ 在 x 軸上存在點(diǎn) P，使 PM⊥ AM，此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 11， 0） 7. （ 2020 山東煙臺(tái)， 22,8 分） 如圖，已知反比例函數(shù) 11 ky x?（ k1＞ 0）與一次函數(shù)2 2 21( 0)y k x k? ? ?相交于 A、 B 兩點(diǎn)， AC⊥ x 軸于點(diǎn) △ OAC 的 面積為 1，且 tan∠ AOC＝ 2 . （ 1）求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式； （ 2）請(qǐng)直接寫(xiě)出 B 點(diǎn) 的坐標(biāo)，并指出當(dāng) x 為何值時(shí)，反比例函數(shù) y1 的值大于一次函數(shù)y2 的值？ 【答案】解（ 1）在 Rt△ OAC 中，設(shè) OC＝ m. ∵ tan∠ AOC＝ ACOC ＝ 2， ∴ AC＝ 2OC＝ 2m. ∵ S△ OAC＝ 12 OCAC＝ 12 m2m＝ 1， ∴ m2＝ 1 ∴ m＝ 1（負(fù)值舍去） . ∴ A 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 1， 2） . 把 A 點(diǎn)的坐標(biāo)代入 11 ky x?中，得 k1＝ 2. ∴ 反比例函數(shù)的表達(dá)式為1 2y x?. 把 A 點(diǎn)的坐標(biāo)代入 221y k x??中，得 k2＋ 1＝ 2， ∴ k2＝ 1. ∴ 一次函數(shù)的表達(dá)式 2 1yx?? . （ 2） B 點(diǎn)的坐標(biāo)為（－ 2，－ 1） . 當(dāng) 0＜ x＜ 1 和 x＜－ 2 時(shí)， y1＞ y2. 8. （ 2020 浙江省， 18， 8 分） 若反比例函數(shù) xky? 與一次函數(shù) 42 ?? xy 的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ a,2） (1)求反比例函數(shù) xky? 的解析式； (2) 當(dāng)反比例函數(shù) xky? 的值大于一次函數(shù) 42 ?? xy 的值時(shí)，求自變量 x 的取值范圍． 【答案】 (1)∵ 42 ?? xy 的圖象過(guò)點(diǎn) A（ a,2） ∴ a=3 ∵ xky? 過(guò)點(diǎn) A（ 3,2） ∴ k=6 ∴ xy 6? (2) 求反比例函數(shù) xky? 與一次函數(shù) 42 ?? xy 的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，得到方程： xx 642 ?? 解得： x1= 3 , x2= 1 ∴ 另外一個(gè)交點(diǎn)是（ 1， 6） ∴ 當(dāng) x1 或 0x3 時(shí)， 426 ?? xx 9. （ 2020 浙江義烏， 22， 10 分） 如圖，在直角坐標(biāo)系 中， O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . 已知反比例函數(shù) y= （ k0）的圖象 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(2， m)，過(guò)點(diǎn) A 作 AB⊥ x 軸于點(diǎn) B，且 △ AOB 的面積為 . （ 1） 求 k 和 m 的值； （ 2） 點(diǎn) C（ x， y） 在反比例函數(shù) y= 的圖象上，求當(dāng) 1≤ x≤ 3 時(shí)函數(shù)值 y 的取值范圍； （ 3） 過(guò)原點(diǎn) O 的直線 l 與反比例函數(shù) y= 的圖象交于 P、 Q 兩點(diǎn)，試根據(jù)圖象直接寫(xiě)出線段 PQ 長(zhǎng)度的最小值 . [來(lái)源 :學(xué)?？?。網(wǎng) Z。 X。 X。 K] xkxkB O A 21 【答案】 （ 1）∵ A(2， m) ∴ OB=2 AB=m ∴ S△ AOB=21?OB?AB=21 2 m=21 ∴ m=21 ∴點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 2，21） 把 A（ 2，21）代入 y=xk，得21=2k ∴ k=1 （ 2）∵當(dāng) x=1 時(shí)， y=1；當(dāng) x=3 時(shí)， y=31 又 ∵反比例函數(shù) y= x1 在 x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小， ∴當(dāng) 1≤ x≤ 3 時(shí)， y 的取值范圍為 31 ≤ y≤ 1。 （ 3） 由圖象可得，線段 PQ 長(zhǎng)度的最小值為 2 2 。 10． （ 2020 四川重慶， 22， 10 分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，一次函數(shù) y＝ kx＋ b(k≠0)的圖象與 反比例函數(shù) y＝xm (m≠0)的圖象交于二、四象限內(nèi)的 A、 B 兩點(diǎn)，與 x 軸交于 C 點(diǎn)，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (6， n)，線段 OA＝ 5， E 為 x 軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且sin∠ AOE＝ 45． (1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)； (2)求 △AOC 的面積． 【 答案 】 (1)過(guò) A 點(diǎn)作 AD⊥ x 軸于點(diǎn) D， ∵ sin∠ AOE＝ 45， OA＝ 5， ∴ 在 Rt△ADO 中， ∵ sin∠ AOE＝ ADAO ＝ AD5 ＝ 45， ∴ AD＝ 4， DO＝ OA2DA2=3， 又點(diǎn) A 在第二象限 ∴ 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (－ 3， 4)， 將 A 的坐標(biāo)為 (－ 3， 4)代入 y＝ mx ，得 4=m3∴ m＝－ 12， ∴ 該 反比例函數(shù)的解析式為 y＝－ 12x ， ∵ 點(diǎn) B 在反比例函數(shù) y＝－ 12x 的圖象上， ∴ n＝－ 126 ＝－ 2，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (6，－ 2)，∵ 一次函數(shù) y＝ kx＋ b(k≠0)的圖象過(guò) A、 B 兩點(diǎn)， ∴ ?????－ 3k＋ b=4， 6k＋ b＝－ 2 ， ∴?????k＝－ 23， b＝ 2 ∴ 該 一次函數(shù)解析式為 y＝－ 23x＋ 2． (2)在 y＝－ 23x＋ 2 中，令 y＝ 0，即 － 23x＋ 2=0， ∴ x=3， ∴點(diǎn) C 的坐標(biāo)是（ 3， 0），∴ OC＝ 3， 又 DA=4， ∴ S△AOC＝ 12OCAD＝ 1234＝ 6，所以 △AOC 的面積為 6． 11. （ 2020 浙江省 嘉興 ， 19， 8 分） 如圖，已知直線 1 2yx?? 經(jīng)過(guò)點(diǎn) P（ 2? ， a ），點(diǎn) P 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P′在反比例函數(shù)2 ky x?（ 0?k ）的圖象上 ． （ 1）求點(diǎn) P′的坐標(biāo)； （ 2）求反比例函數(shù)的解析式 ，并直接寫(xiě)出當(dāng) y22 時(shí)自變量 x 的取值范圍． 【答案】（ 1）將 P（ 2， a）代入 xy 2?? 得 a=2(2)=4， ∴ P′（ 2， 4） ． (2) 將 P′（ 2， 4）代入xky?得 4=2k ，解得 k=8， ∴ 反比例函數(shù)的解析式為 8y x? ． 自變量 x 的取值范圍 x0 或 x4． 12. （ 2020 江西， 19， 6 分）如圖，四邊形 ABCD 為菱形，已知 A（ 0， 4）， B（ 3， 0）。 ⑴ 求點(diǎn) D 的坐標(biāo)； ⑵ 求經(jīng)過(guò)點(diǎn) C 的反比例函數(shù)解析式 . 【答案】 (1)根據(jù)題意得 AO=4， BO=3， ∠ AOB=90176。， 所以 AB= 22AO BO+ = 2243+ =5. 因?yàn)樗倪呅?ABCD 為菱形，所以 AD=AB=5， 所以 OD=ADAO=1, 因?yàn)辄c(diǎn) D 在 y 軸負(fù)半軸，所以點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ 1,0） . (2)設(shè)反比例函數(shù)解析式為 kyx=. （第 19題） x y O 1 2yx?? P P?P 2 ky x? 11 因?yàn)?BC=AB=5， OB=3, 所以點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 3， 5） . 因?yàn)榉幢壤瘮?shù)解析式 kyx=經(jīng)過(guò)點(diǎn) C, 所以反比例函數(shù)解析式為 15yx=. 13. （ 2020 甘肅蘭州， 24， 7 分）如圖，一次函數(shù) 3y kx??的圖象與反比例函數(shù) myx?（ x0）的圖象交于點(diǎn) P， PA⊥ x 軸于點(diǎn) A， PB⊥ y 軸于點(diǎn) B，一次函數(shù)的圖象分別交 x軸、 y 軸于點(diǎn) C、點(diǎn) D，且 S△ DBP=27， 12OCCA? 。 （ 1）求點(diǎn) D 的坐標(biāo)； （ 2）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式； （ 3）根據(jù)圖象寫(xiě)出當(dāng) x 取何值時(shí)，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值？ 【答案】 （ 1） D（ 0， 3） （ 2）設(shè) P（ a， b），則 OA=a， OC= 13a ，得 C（ 13a ， 0） 因點(diǎn) C 在直線 y=kx+3 上，得 1 303ka?? ， ka=－ 9 DB=3－ b=3－ (ka+3)=－ ka=9， BP=a 由 11 9 2 722D B PS D B B P a? ? ? ?得 a=6，所以 32k?? ， b=－ 6， m=－ 36 一次函數(shù)的表達(dá)式為 3 32yx?? ? ，反比例函數(shù)的表達(dá)式為 36y x?? x y A O P B C D （ 3） x6 14. （ 2020 江蘇宿遷 ,26,10 分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， P 是反比例函數(shù) y＝x6（ x＞ 0）圖象上的任意一點(diǎn)，以 P 為圓心， PO 為半徑的圓與 x、 y 軸分別交于點(diǎn) A、 B． （ 1）判斷 P 是否在線段 AB 上，并說(shuō)明理由； （ 2）求△ AOB 的面積； （ 3） Q 是反比例函數(shù) y＝x6（ x＞ 0）圖象上異于點(diǎn) P 的另一點(diǎn)，請(qǐng)以 Q 為圓心，QO 半徑畫(huà)圓與 x、 y 軸分別交于點(diǎn) M、 N，連接 AN、 MB．求證： AN∥ MB． 【答案】 解：（ 1）點(diǎn) P 在線段 AB 上，理由如下： ∵點(diǎn) O 在⊙ P 上，且∠ AOB＝ 90176。 ∴ AB 是⊙ P 的直徑 ∴點(diǎn) P 在線段 AB 上． （ 2）過(guò)點(diǎn) P 作 PP1⊥ x 軸， PP2⊥ y 軸，由題意可知 PP PP2 是△ AOB 的中位線，故 S△ AOB＝ 21 OA OB＝ 21 2 PP1 PP2 ∵ P 是反比例函數(shù) y＝ x6 （ x＞ 0）圖象上的任意一點(diǎn) yxQPABO（第 26 題） ∴ S△ AOB＝21OA OB＝21 2 PP1 2PP2＝ 2 PP1 PP2＝ 12． （ 3）如圖，連接 MN，則 MN 過(guò)點(diǎn) Q，且 S△ MON＝ S△ AOB＝ 12． ∴ OA OB＝ OM ON ∴OBONOMOA? ∵ ∠ AON＝∠ MOB ∴△ AON∽△ MOB[來(lái)源 :學(xué) 科 網(wǎng) ] ∴∠ OAN＝∠ OMB ∴ AN∥ MB． NMyxQPABO 15. （ 2020 山東聊城， 24， 10 分）如圖，已知一次函數(shù) y＝ kx＋ b 的圖象交反比例函數(shù) 42my x?? （ x0）圖象于點(diǎn) A、 B，交 x 軸于點(diǎn) C． （ 1）求 m 的取值范圍； （ 2）若點(diǎn) A 的坐標(biāo)是（ 2，－ 4），且 13BCAB? ，求 m 的值和一次函數(shù)的解析式； 【答案】（ 1）因反比例函數(shù)的圖象在第四象限，所以 4－ 2m＜ 0，解得 m＞ 2；（ 2）因點(diǎn) A(2，－ 4)在反比例函數(shù)圖象上，所以－ 4＝ 224 m? ，解得 m＝ 6，過(guò)點(diǎn) A、 B 分別作 AM⊥ OC 于點(diǎn) M， BN⊥ OC 于點(diǎn) N，所以 ∠ BNC＝ ∠ AMC＝ 90176。，又因?yàn)?∠ BCN＝ ∠ AMC，所以 △BCN∽△ ACM，所以 ACBCAMBN? ，因?yàn)?31?ABBC ，所以 41?ACBC ，即 41?AMBN ，因?yàn)?AM＝ 4，所以 BN＝ 1，所以點(diǎn) B 的縱坐標(biāo)為－ 1，因?yàn)辄c(diǎn) B 在反比例函數(shù)的圖象上，所以當(dāng) y＝－ 1 時(shí)， x＝ 8，所以點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 8，－ 1），因?yàn)橐淮魏瘮?shù) y＝ kx＋ b 的圖象過(guò)點(diǎn) A(2，－ 4)， B(8，－ 1)，所以??? ??? ??? 18 42 bk bk，解得????????521bk ，所以一次函數(shù)的