【正文】 ， 又點 A 在第二象限 ∴ 點 A 的坐標為 (－ 3， 4)， 將 A 的坐標為 (－ 3， 4)代入 y＝ mx ，得 4=m3∴ m＝－ 12， ∴ 該 反比例函數(shù)的解析式為 y＝－ 12x ， ∵ 點 B 在反比例函數(shù) y＝－ 12x 的圖象上， ∴ n＝－ 126 ＝－ 2，點 B 的坐標為 (6，－ 2)，∵ 一次函數(shù) y＝ kx＋ b(k≠0)的圖象過 A、 B 兩點， ∴ ?????－ 3k＋ b=4， 6k＋ b＝－ 2 ， ∴?????k＝－ 23， b＝ 2 ∴ 該 一次函數(shù)解析式為 y＝－ 23x＋ 2． (2)在 y＝－ 23x＋ 2 中，令 y＝ 0，即 － 23x＋ 2=0， ∴ x=3， ∴點 C 的坐標是（ 3， 0），∴ OC＝ 3， 又 DA=4， ∴ S△AOC＝ 12OCAD＝ 1234＝ 6，所以 △AOC 的面積為 6． 11. （ 2020 浙江省 嘉興 ， 19， 8 分） 如圖，已知直線 1 2yx?? 經(jīng)過點 P（ 2? ， a ），點 P 關(guān)于 y 軸的對稱點 P′在反比例函數(shù)2 ky x?（ 0?k ）的圖象上 ． （ 1）求點 P′的坐標； （ 2）求反比例函數(shù)的解析式 ，并直接寫出當 y22 時自變量 x 的取值范圍． 【答案】（ 1）將 P（ 2， a）代入 xy 2?? 得 a=2(2)=4， ∴ P′（ 2， 4） ． (2) 將 P′（ 2， 4）代入xky?得 4=2k ，解得 k=8， ∴ 反比例函數(shù)的解析式為 8y x? ． 自變量 x 的取值范圍 x0 或 x4． 12. （ 2020 江西， 19， 6 分）如圖，四邊形 ABCD 為菱形，已知 A（ 0， 4）， B（ 3， 0）。 ∴ AB 是⊙ P 的直徑 ∴點 P 在線段 AB 上． （ 2）過點 P 作 PP1⊥ x 軸， PP2⊥ y 軸，由題意可知 PP PP2 是△ AOB 的中位線，故 S△ AOB＝ 21 OA OB＝ 21 2 PP1 PP2 ∵ P 是反比例函數(shù) y＝ x6 （ x＞ 0）圖象上的任意一點 yxQPABO（第 26 題） ∴ S△ AOB＝21OA OB＝21 2 PP1 2PP2＝ 2 PP1 PP2＝ 12． （ 3）如圖，連接 MN，則 MN 過點 Q，且 S△ MON＝ S△ AOB＝ 12． ∴ OA過點 A 的一次函數(shù) 33y k x b??與反比例函數(shù)的圖像交于另一點 C，與 x 軸交于點 E（ 5， 0）。 所以 AB= 22AO BO+ = 2243+ =5. 因為四邊形 ABCD 為菱形，所以 AD=AB=5， 所以 OD=ADAO=1, 因為點 D 在 y 軸負半軸，所以點 D 的坐標為（ 1,0） . (2)設反比例函數(shù)解析式為 kyx=. 因為 BC=AB=5， OB=3, 所以點 C 的坐標為（ 3， 5） . 因為反比例函數(shù)解析式 kyx=經(jīng)過點 C, 所以反比例函數(shù)解析式為 15yx=. 22. （ 2020 江蘇南通， 28， 14 分） （本小題滿分 14 分） 如圖，直線 l 經(jīng)過點 A(1， 0)，且與雙曲線 y＝ mx（ x＞ 0）交于點 B(2， 1)，過點P(p， p－ 1)（ p＞ 1）作 x 軸的平行線分別交曲線 y＝ mx（ x＞ 0）和 y＝－ mx（ x＜ 0）于 M， N 兩點 . （ 1）求 m 的值及直線 l 的解析式； （ 2）若點 P 在直線 y＝ 2 上，求證： △ PMB∽△ PNA； （ 3）是否存在 實數(shù) p，使得 S△ AMN＝ 4S△ APM？若存在，請求出所有滿足條件的 p 的值；若不存在，請說明理由 . 【答案】（ 1）∵點 B(2， 1)在雙曲線 y＝ mx上， ∴ 12m?，得 m＝ 2. 設直線 l 的解析式為 y＝ kx＋ b ∵直線 l 過 A(1， 0)和 B(2， 1) ∴ 021kbkb???? ???，解得 11kb?????? ∴直線 l 的解析式為 y＝ x－ 1. (2) 證明： 當 x＝ p 時， y＝ p－ 1，點 P(p， p－ 1)（ p＞ 1） 在直線 l 上，如圖 . ∵ P(p， p－ 1)（ p＞ 1）在直線 y＝ 2 上， ∴ p－ 1＝ 2，解得 p＝ 3 ∴ P(3， 2) ∵ PN∥ x 軸，∴ P、 M、 N 的縱坐標都等于 2 把 y＝ 2 分別代入雙曲線 y＝ 2x和 y＝ 2x? ，得 M(1,2),N(1,2) ∴ 31 11 ( 1)PMMN ?????，即 M 是 PN 的中點， 同理： B 是 PA 的中點， ∴ BM∥ AN ∴ △ PMB∽△ PNA. （ 3）由于 PN∥ x 軸， P(p， p－ 1)（ p＞ 1）， ∴ M、 N、 P 的縱坐標都是 p－ 1（ p＞ 1） 把 y＝ p－ 1 分別代入雙曲線 y＝ 2x（ x＞ 0）和 y＝－ 2x（ x＜ 0）， 得 M的橫坐標 x＝ 21p?和 N的橫坐標 x＝－ 21p?（其中 p＞ 1） ∵ S△ AMN＝ 4S△ APM 且 P、 M、 N 在同一直線上， ∴ 4AMNAPMS MNS PM?? ??,得 MN=4PM 即 41p?＝ 4(p－ 21p?)，整理得： p2－ p－ 3＝ 0， 解得： p＝ 1 132? 由于 p＞ 1，∴負值舍去 ∴ p＝ 1 132? 經(jīng)檢驗 p＝ 1 132? 是原題的解， ∴存在實數(shù) p，使得 S△ AMN＝ 4S△ APM， p 的值為 1 132?. 23. （ 2020 山東臨沂， 24， 10 分 )如圖，一次函數(shù) y＝ kx＋ b 與反 比例函數(shù) y＝xm的圖象交于 A（ 2， 3）， B（－ 3， n）兩點． （ 1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式； （ 2）根據(jù)所給條件，請直接寫出不等式 kx＋ b＞xm的解集 ______________； （ 3）過點 B 作 BC⊥ x 軸，垂足為 C，求 S△ ABC． 【解】（ 1）∵點 A（ 2， 3）在 y＝ xm 的圖象上 ， ∴ m＝ 6， ?????????????????????????????（ 1分） ∴反比 例函數(shù)的解析式為 y＝ x6 ， ∴ n＝ 36﹣ ＝ － 2， ??????????????????????????（ 2分） ∵點 A（ 2， 3）， B（－ 3，－ 2）在 y＝ kx＋ b 的圖象上， ∴??? ，＋＝﹣ ，＋＝ bk32 bk23 ∴??? ，＝ ，＝ 1b 1k ∴ 一次函數(shù)的解析式為 y＝ x＋ 1． ???????????????????（ 4分） （ 2） － 3＜ x＜ 0 或 x＞ 2； ???????????????????????（ 7分 ） [來源 :學 ,科 ,網(wǎng) Z,X,X,K] （ 3）方法一：設 AB 交 x 軸于點 D，則 D 的坐標為（－ 1,0）， ∴ CD＝ 2， ???????????????????????????（ 8 分） ∴ S△ ABC＝ S△ BCD＋ S△ ACD ＝ 21 2 2＋ 21 2 3＝ 5． ?????????????????（ 10分） 方法二：以 BC 為底，則 BC 邊上的高為 3＋ 2＝ 5， ???????（ 8 分） ∴ S△ ABC＝ 21 2 5＝ 5． ??????????????????（ 10 分） 24. （ 2020 四川綿陽， 21， 12）右圖中曲線是反比例函數(shù) y= 7nx? 的圖像的一支。－ 30176。－∠ BOB′=30176。 1 分 ∵點 P（－ 1， n）在 雙曲線xmy 5??上，∴ 35 ???m ，即 m＝ 2. [來源 :學科網(wǎng) ] (3)是否存在點 E 及 y 軸上的點 M,使得以點 M、 E、 F 為頂點的三角形與△ PEF 全等 ?若存在 ,求點 E 的坐標 。網(wǎng) ] ① 當 k2 時，如圖，只可能△ MEF≌△ PEF。 （ 2）當 x=2 時， y=21=1，所以 C 點坐標為（ 2,1）；又 C 點在反比例函數(shù) ? ?0?? mxmy圖象上，所以 1 2m? ，解得 m=2，所以 反比例函數(shù)的解析式為： 2y x? 。 此時 E 點的坐標為（ 83 ， 2），符合條件的 E 點坐標為 （ 38 ， 2）和（ 83 ， 2）。 ∵ PF⊥ PE. ∴ ? ? 21 1 11 2 12 2 2 4PEF kS P E P F k k k? ??? ? ? ? ? ? ? ????? 四邊形 OCGD 為矩形 ∴ PEF EFGSS??? 2211( 1 ) 12 4 4O E F O C G D C E F F E G C D E kS S S S S k k k k k? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? OEFS? =2 PEFS? 21 14k ? = 212( 1)4 kk?? 解得 k=6 或 k=2 時 ,E、 F 重合 ,所以 k=6. 所以 E 點的坐標為 (3,2) （ 3）存在點 E 及 y 軸上的點 M,使得△ MEF 與△ PEF 全等 [來源 :學。 （ 2）∵ 035 ????m ，∴當 x＜ 0 時， y 隨 x 的增大而增大 又∵ 點 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB 在雙曲線xmy 5??上，且 021 ??xx ， ∴ 1y ＜ 2y . 5 分 28. (20201 江蘇鎮(zhèn)江 ,28,10 分 )在平面直角坐標系 xOy 中 ,直線 1l 過點 A(1,0)且與 y 軸平行 ,直線 2l 過點 B(0,2)且與 x 軸平行 ,直線 1l 與 2l 相交于 E 為直線 2l 一點 ,反比例函數(shù)ky x? (k0)的圖象過點 E 且與直線 1l 相交于點 F. (1)若點 E 與點 P 重合 ,求 k 的值 。 3 分 －∠ ABO=30176。 ，∠ BOB′=? =60176。 【答案】（ 1）第四象限， n＜ 7 （ 2） ∵ y= 2433x?? 與 x 軸的交點是 y=0， ∴ B 點坐標為（ 2， 0）又 ∵△ AOB 面積是 2 ， ∴ A 點縱坐標是 2，代入y= 2433x?? 可得 A 點橫從標是 1，所以 n+7= 2,n= 9 25. （ 2020 湖南衡陽， 25， 8 分）如圖，已知 A， B 兩點的坐標分別為 A(0， 23)，B(2， 0)直線 AB 與反比例函數(shù) my x? 的圖像交與點 C 和點 D（ 1， a）． (1)求直線 AB 和反比例函數(shù)的解析 式； (2)求∠ ACO 的度數(shù)； (3)將△ OBC 繞點 O 逆時針方向旋轉(zhuǎn) α 角（ α 為銳角），得到△ OB′C′，當 α 為多少度時 OC′⊥ AB，并求此時線段 AB′的長． 【 解 】 (1)設直線 AB 的解析式為 y kx b??，將 A(0， 23)， B(2， 0)代入解析式y(tǒng) kx b??中，得 2 3,20bkb? ??? ????，解得 3,23kb? ???????． ∴ 直線 AB 的解析式為3 2 3yx? ? ? ；將 D（ 1， a）代入 3 2 3yx? ? ? 得 33a? ， ∴點 D 坐標為（ 1， 33），將 D（ 1， 33）代入 myx?中得 33m?? ， ∴ 反比例函數(shù)的解析式為 33y x?? ． (2)解方程組 3 2 3 ,33yxy x? ? ? ??? ????得 1133xy????????， 11133xy????????， ∴點 C 坐標為（ 3， 3? ）， 過 點 C 作 CM⊥ x 軸于點 M，則在 Rt△ OMC 中， 3CM? ， 3OM? ， ∴ 3ta n 3CMC O M OM? ? ?， ∴ 30COM? ? ? ， 在 Rt△ AOB 中， 23ta n