高20xx級(jí)高三第二次月考數(shù)學(xué)理試題(編輯修改稿)
2024-09-28 16:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 第 8 頁 2 （本小題 滿分 12 分） 頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，開口向上的拋物線經(jīng)過點(diǎn) 0(1,1)A ，過點(diǎn) 0A 作拋物線的切線交 x 軸于點(diǎn) B1，過點(diǎn) B1 作 x軸的垂線交拋物線于點(diǎn) A1，過點(diǎn) A1 作拋物線的切線交 x 軸于點(diǎn) B2， … ，過點(diǎn) ( , )n n nA x y 作拋物線的切線交 x 軸于點(diǎn) 11( ,0)nnBx?? ． （ 1）求數(shù)列 { xn }， { yn}的通項(xiàng)公式 ()nN?? ； （ 2）設(shè)11111nnna xx?????，數(shù)列 { an}的前 n 項(xiàng)和為 Tn．求證： 12 2nTn??； （ 3）設(shè) 21 lognnby?? ，若對(duì)于任意正整數(shù) n，不等式1211(1 )(1 )bb??… 1(1 )nb?≥ 23an?成立，求正數(shù) a 的取值范圍 。 第 21 題圖 B 2 B1A 2A 1A 0Oyx 第 9 頁 （ 1）由已知得拋物線方程為 2,2y x y x???． ………………… ……………………2 分 則設(shè)過點(diǎn) ( , )n n nA x y 的切線為 2 2 ( )n n ny x x x x? ? ?． 令 0, 2nxyx??，故1 2nn xx? ?． 又 0 1x? ，所以 12n nx ?， 14n ny ?． ………………………… …………………4 分 （ 2）由（ 1）知 1()2 nnx ?． 所以 1111 1 2 211 2 1 2 11 ( ) 1 ( )22nnn nnnna???? ? ? ????? 2 1 121nn??? ?+ 112 1 121nn????? 11 21n???+1+1121n?? 12(21n? ? ?? 1121n??) ． 由 112 1 2nn??，112 1 2nn????， 得 121n ?? 1121n?? 12n??112n?． 所以 na 12(21n? ? ?? 1121n??) 12(2n? ? ? 112n?)． …………………6 分 從而12 2 2 3 11 1 1 1 1 1[ 2 ( ) ] [ 2 ( ) ] [ 2 ( ) ]2 2 2 2 2 2nn nnT a a a ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 11 1 1 1 1 12 [ ( ) ( ) ] ( ) ]2 2 2 2 2 2nnn ?? ? ? ? ? ? ? ? 11 1 12 ( ) 22 2 2nnn?? ? ? ? ?， 即 nT? 12 2n? ． …………………………8 分 （ 3）由于 14n ny ?，故 21nbn??． 對(duì)任意正整數(shù) n，不等式121 1 1(1 ) (1 ) (1 ) 2 3n anb b b? ? ? ?≥成立， 即 123a n?≤ 121 1 1(1 )(1 ) (1 )nb b b? ? ?恒成立． 設(shè) 1()23fn n? ? 121 1 1(1 )(1 ) (1 )nb b b? ? ?， 則 1( 1)25fn n?? ? 1 2 11 1 1 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 )nnb b b b ?? ? ? ?． 故 ( 1) 2 3() 25f n nfn n??? ? 11(1 )nb??= 2 3 2 42325nnnn ????= 242 5 2 3nnn??? 224 16 16 14 16 15nn?? ??? 所以 ( 1) ( )f n f n?? ，故 ()fn 遞增 。 ……………………10 分 則m in 1 4 4 5( ) (1 ) 3 1 55f n f? ? ? ?． 第 10 頁 故 0 a? ≤ 4515 ． ………………………………12 分 第 11 頁 已知數(shù)列 }{na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，若 naS nn ?? 2 ，且11???nnnn aaab ，數(shù)列 }{nb 的前 n 項(xiàng)和為nT 。 （ 1）求證： }1{ ?na 為等比數(shù)列； （ 2）求 nT ； （ 3）設(shè) *( ) ( 2 1 ) l n( 2 1 ) 1 , ( )nnf x x x x n N? ? ? ? ? ? ? ?，求證： ( ) .2( 1)nnTfx T? ? 解：（ 1） 由112, ( 2 )2 ( 1 ) ,nnnnS a n nS a n????? ?? ? ? ??，得 11 2( 1)nnaa?? ? ?， 又因?yàn)?1121Sa??，所以 111, 1 2 0aa? ? ? ? ? ?， 所以 { 1}na? 是以 2 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列， 所以 11 2 2 2nnna ?? ? ? ? ? ?． （ 2） 由（ I）知，112 1 1(1 2 ) (1 2 ) 2 1 2 1nn n n n nb ???? ? ?? ? ? ?, 故2 2 3 1 11 1 1 1 1 1 1[ ( ) ( ) ( ) ] 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n n nT ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?． （ 3） 因?yàn)?112221 1 2 .12 ( 1 )2 21nn nnn nTT?????? ? ??? ?,所以 / ( ) ln( 2 1)f x x? ? ?。 令 / ( ) ln ( 2 1 ) 021nnf x xx? ? ? ? ?? ???，得 2nx? , 令 / ( ) ln ( 2 1 ) 021nnf x xx? ? ? ? ?? ???，得 2 1 2nnx? ? , x (2 1,2 )nn? 2n (2, )n ?? /y 0 + y ↘ 極小值 ↗ 故當(dāng) 2nx? 時(shí)，函數(shù) min( ) 1 2nfx ??，所以 ( ) .2( 1)n
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