直線與圓的方程及應用(編輯修改稿)
2024-09-27 20:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 3 q2＋ 4＝ q2＋ 3，解得 q＝ 177。 5，所以 Q(177。 5， 0)， 將 M， Q 的坐標代入直線的兩點式方程整理得到直線 MQ 的方程為 2x177。 5 5＝ 0. (2) 由 (1)知，利用等面積法得 12|AB| q2＋ 4＝ q2＋ 3 12|AB|＝ q2＋ 3q2＋ 4＝ 1－1q2＋ 4，從而當 q＝ 0 時，動弦 |AB|取到最小值 3. 5. (2020鹽城二模 )如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，已知曲線 C 由圓弧 C1和圓弧 C2相接而成，兩相接點 M、 N 均在直線 x＝ 5 上．圓弧 C1的圓心是坐標原點 O，半徑為 13；圓弧 C2過點 A(29,0)． (1) 求圓弧 C2的方程； (2) 曲線 C上是否存在點 P，滿足 PA＝ 30PO？若存在，指出有幾個這樣的點；若不存在，請說明理由； (3) 已知直線 l： x－ my－ 14＝ 0 與曲線 C 交于 E、 F 兩點，當 EF＝ 33時，求坐標原點 O到直線 l的距離． 解： (1) 圓弧 C1所在圓的方程為 x2＋ y2＝ 169，令 x＝ 5，解得 M(5,12)， N(5，－ 12)． 則線段 AM 中垂線的方程為 y－ 6＝ 2(x－ 17)， 令 y＝ 0，得圓弧 C2所在圓的圓心為 O2(14,0)． 鳳凰 出版?zhèn)髅郊瘓F 版權(quán)所有 網(wǎng)站地址：南京市湖南路 1 號 B 座 808 室 聯(lián)系電話： 02583657815 Mail： 又圓弧 C2所在圓的半徑為 r2＝ 29－ 14＝ 15， 所以圓弧 C2的方程為 (x－ 14)2＋ y2＝ 225(x≥ 5)． (2) 假設存在這樣的點 P(x， y)，則由 PA＝ 30PO，得 x2＋ y2＋ 2x－ 29＝ 0. 由????? x2＋ y2＋ 2x－ 29＝ 0，x2＋ y2＝ 169?－ 13≤ x≤ 5?， 解得 x＝－ 70(舍 )， 由????? x2＋ y2＋ 2x－ 29＝ 0，?x－ 14?2＋ y2＝ 225?5≤ x≤ 29?， 解得 x＝ 0(舍 )， 綜上知，這樣的點 P 不存在． (3) 因為 EF＞ r2， EF＞ r1，所以 E、 F 兩點分別在兩個圓弧上．設點 O 到直線 l 的距離為 d， 因為直線 l恒過圓弧 C2所在圓的圓心 (14,0)，所以 EF＝ 15＋ 132－ d2＋ 142－ d2， 即 132－ d2＋ 142－ d2＝ 18，解得 d2＝ 1 61516 ，所以點 O 到直線 l的距離為 1 6154 . 基礎(chǔ)訓練 1. π3 2. x－ 2y＝ 0 或 x＋ y－ 3＝ 0 3. 3或－ 3 3 4. (－ 13,13) 解析：圓的半徑為 2，圓心 (0,0)到直線 12x－ 5y＋ c＝ 0 的距離小于 1，即 |c|13＜ 1， c 的取值范圍是 (－ 13,13)． 例題選講 例 1 解 ：由題意可設所求的直線方程為 x＋ y＋ m＝ 0，設圓心坐標為 (a,0)，則由題意知： ??? ???|a－ 1|2 2＋ 2＝ (a－ 1)2，解得 a＝ 3 或－ 1，又因為圓心在 x 軸的正半軸上，所以 a＝ 3，故圓心坐標為 (3,0)，因為圓心 (3,0)在所求的直線上，所以有 3＋ 0＋ m＝ 0，即 m＝－ 3，故所求的直線方程為 x＋ y－ 3＝ 0. 例 2 點撥：直線與圓相交的問題，要利用圖形轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題． 解： (1) 圓心 M(－ )． ∴ 圓 M 方程為 (x＋ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 2， ∴ 直線 CD 方程為 x＋ y－ a＝ 0. ∵ ⊙ M 與直線 CD 相切， ∴ 圓心 M 到直線 CD 的距離 d＝ |－ a|2 ＝ 2，化簡得： a＝ 177。2(舍去負值 )． ∴ 直線 CD 的方程為 x＋ y－ 2＝ 0. (2) 直線 AB 方程為： x－ y＋ 2＝ 0，圓心 N?? ??a2， a2 . ∴ 圓心 N 到直線 AB 距離為 ?? ??a2－ a2＋ 22 ＝ 2. ∵ 直線 AB 截 ⊙ N 所得弦長為 4， ∴ 22＋ ( 2)2＝ a22.∴ a＝ 177。2 3(舍去負值 )． ∴ ⊙ N 的標準方程為 (x－ 3)2＋ (y－ 3)2＝ 6. 鳳凰 出版?zhèn)髅郊瘓F 版權(quán)所有 網(wǎng)站地址：南京市湖南路 1 號 B 座 808 室 聯(lián)系電話： 02583657815 Mail： (3) 存在．由 (2)知，圓心 N 到直線 AB 距離為 2(定值 )，且 AB⊥ CD 始終成立， ∴ 當且僅當圓 N 半 徑 a2＝ 2 2，即 a＝ 4時， ⊙ N上有且只有三個點到直線 AB 的距離為 2. 此時， ⊙ N 的標準方程為 (x－ 2)2＋ (y－ 2)2＝ 8. 變式訓練 已知 m∈ R，直線 l： mx－ (m2＋ 1)y＝ 4m 和圓 C： x2＋ y2－ 8x＋ 4y＋ 16＝ 0. (1) 求直線 l斜率的取值范圍； (2) 直線 l能否將圓 C 分割成弧長的比值為 12的兩段圓弧？為什么？ 點撥：直線與圓相交，用圓心到直線距離 . 已知直線將圓分割弧長的比值，轉(zhuǎn)化為所對的圓心角的比值 ，過圓心作弦的垂線，則垂線段長可求，用圓心到直線的距離即可． 解： (1
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