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正文內(nèi)容

直線與圓的方程及應(yīng)用(編輯修改稿)

2024-09-27 20:49 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3 q2+ 4= q2+ 3,解得 q= 177。 5,所以 Q(177。 5, 0), 將 M, Q 的坐標(biāo)代入直線的兩點(diǎn)式方程整理得到直線 MQ 的方程為 2x177。 5 5= 0. (2) 由 (1)知,利用等面積法得 12|AB| q2+ 4= q2+ 3 12|AB|= q2+ 3q2+ 4= 1-1q2+ 4,從而當(dāng) q= 0 時(shí),動(dòng)弦 |AB|取到最小值 3. 5. (2020鹽城二模 )如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,已知曲線 C 由圓弧 C1和圓弧 C2相接而成,兩相接點(diǎn) M、 N 均在直線 x= 5 上.圓弧 C1的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn) O,半徑為 13;圓弧 C2過(guò)點(diǎn) A(29,0). (1) 求圓弧 C2的方程; (2) 曲線 C上是否存在點(diǎn) P,滿足 PA= 30PO?若存在,指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由; (3) 已知直線 l: x- my- 14= 0 與曲線 C 交于 E、 F 兩點(diǎn),當(dāng) EF= 33時(shí),求坐標(biāo)原點(diǎn) O到直線 l的距離. 解: (1) 圓弧 C1所在圓的方程為 x2+ y2= 169,令 x= 5,解得 M(5,12), N(5,- 12). 則線段 AM 中垂線的方程為 y- 6= 2(x- 17), 令 y= 0,得圓弧 C2所在圓的圓心為 O2(14,0). 鳳凰 出版?zhèn)髅郊瘓F(tuán) 版權(quán)所有 網(wǎng)站地址:南京市湖南路 1 號(hào) B 座 808 室 聯(lián)系電話: 02583657815 Mail: 又圓弧 C2所在圓的半徑為 r2= 29- 14= 15, 所以圓弧 C2的方程為 (x- 14)2+ y2= 225(x≥ 5). (2) 假設(shè)存在這樣的點(diǎn) P(x, y),則由 PA= 30PO,得 x2+ y2+ 2x- 29= 0. 由????? x2+ y2+ 2x- 29= 0,x2+ y2= 169?- 13≤ x≤ 5?, 解得 x=- 70(舍 ), 由????? x2+ y2+ 2x- 29= 0,?x- 14?2+ y2= 225?5≤ x≤ 29?, 解得 x= 0(舍 ), 綜上知,這樣的點(diǎn) P 不存在. (3) 因?yàn)?EF> r2, EF> r1,所以 E、 F 兩點(diǎn)分別在兩個(gè)圓弧上.設(shè)點(diǎn) O 到直線 l 的距離為 d, 因?yàn)橹本€ l恒過(guò)圓弧 C2所在圓的圓心 (14,0),所以 EF= 15+ 132- d2+ 142- d2, 即 132- d2+ 142- d2= 18,解得 d2= 1 61516 ,所以點(diǎn) O 到直線 l的距離為 1 6154 . 基礎(chǔ)訓(xùn)練 1. π3 2. x- 2y= 0 或 x+ y- 3= 0 3. 3或- 3 3 4. (- 13,13) 解析:圓的半徑為 2,圓心 (0,0)到直線 12x- 5y+ c= 0 的距離小于 1,即 |c|13< 1, c 的取值范圍是 (- 13,13). 例題選講 例 1 解 :由題意可設(shè)所求的直線方程為 x+ y+ m= 0,設(shè)圓心坐標(biāo)為 (a,0),則由題意知: ??? ???|a- 1|2 2+ 2= (a- 1)2,解得 a= 3 或- 1,又因?yàn)閳A心在 x 軸的正半軸上,所以 a= 3,故圓心坐標(biāo)為 (3,0),因?yàn)閳A心 (3,0)在所求的直線上,所以有 3+ 0+ m= 0,即 m=- 3,故所求的直線方程為 x+ y- 3= 0. 例 2 點(diǎn)撥:直線與圓相交的問(wèn)題,要利用圖形轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問(wèn)題. 解: (1) 圓心 M(- ). ∴ 圓 M 方程為 (x+ 1)2+ (y- 1)2= 2, ∴ 直線 CD 方程為 x+ y- a= 0. ∵ ⊙ M 與直線 CD 相切, ∴ 圓心 M 到直線 CD 的距離 d= |- a|2 = 2,化簡(jiǎn)得: a= 177。2(舍去負(fù)值 ). ∴ 直線 CD 的方程為 x+ y- 2= 0. (2) 直線 AB 方程為: x- y+ 2= 0,圓心 N?? ??a2, a2 . ∴ 圓心 N 到直線 AB 距離為 ?? ??a2- a2+ 22 = 2. ∵ 直線 AB 截 ⊙ N 所得弦長(zhǎng)為 4, ∴ 22+ ( 2)2= a22.∴ a= 177。2 3(舍去負(fù)值 ). ∴ ⊙ N 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x- 3)2+ (y- 3)2= 6. 鳳凰 出版?zhèn)髅郊瘓F(tuán) 版權(quán)所有 網(wǎng)站地址:南京市湖南路 1 號(hào) B 座 808 室 聯(lián)系電話: 02583657815 Mail: (3) 存在.由 (2)知,圓心 N 到直線 AB 距離為 2(定值 ),且 AB⊥ CD 始終成立, ∴ 當(dāng)且僅當(dāng)圓 N 半 徑 a2= 2 2,即 a= 4時(shí), ⊙ N上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線 AB 的距離為 2. 此時(shí), ⊙ N 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x- 2)2+ (y- 2)2= 8. 變式訓(xùn)練 已知 m∈ R,直線 l: mx- (m2+ 1)y= 4m 和圓 C: x2+ y2- 8x+ 4y+ 16= 0. (1) 求直線 l斜率的取值范圍; (2) 直線 l能否將圓 C 分割成弧長(zhǎng)的比值為 12的兩段圓?。繛槭裁?? 點(diǎn)撥:直線與圓相交,用圓心到直線距離 . 已知直線將圓分割弧長(zhǎng)的比值,轉(zhuǎn)化為所對(duì)的圓心角的比值 ,過(guò)圓心作弦的垂線,則垂線段長(zhǎng)可求,用圓心到直線的距離即可. 解: (1
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