三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-09-27 19:52 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 上的最大 值為 g(x)max＝ 3sinπ6＝ 32 .(13 分 ) 第 7 講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1. 若 π4＜ x＜ π2，則函數(shù) y＝ tan2xtan3x的最大值為 ________． 【答案】 － 8 解析：令 tanx＝ t∈ (1，＋ ∞ )， y＝ 2t41－ t2， y′ (t)＝－ 4t3?t＋ 2??t－ 2??1－ t2?2 得 t＝ 2時 y 取最大值－ 8. 2. 已知函數(shù) f(x)＝ 2cos2x＋ sin2x. (1) 求 f?? ??π3 的值； (2) 求 f(x)的最大值和最小值． 解： (1) f?? ??π3 ＝ 2cos2π3 ＋ sin2π3＝－ 1＋ 34＝－ 14. (2) f(x)＝ 2(2cos2x－ 1)＋ (1－ cos2x)＝ 3cos2x－ 1， x∈ R. 因為 cosx∈ [－ 1,1]，所以當 cosx＝ 177。1 時， f(x)取最大值 2；當 cosx＝ 0時， f(x)取最小值－ 1. 基礎(chǔ)訓練 1. π 奇 解析： y＝－ cos?? ??2x－ π2 ＝－ sin2x. 2. 1 解析：在 [0，＋ ∞ )內(nèi)作出函數(shù) y＝ x， y＝ cosx的圖象，可得到答案． 3. － 2＋ 1 解析： f(x)＝ 2cos2x＋ sin2x＝ 2sin?? ??2x＋ π4 ＋ 1. 4. － 12 解析： f?? ??7π6 ＝ f?? ??π6 ＝ f?? ??－ π6 ＝ sin?? ??－ π6 ＝－ 12. 例題選講 例 1 解： (1) 根據(jù)三角函數(shù)定義得 sinθ＝ 32 ， cosθ＝ 12， ∴ f(θ)＝ 2.(本題也可以根據(jù)定義及角的范圍得角 θ＝ π3，從而求出 f(θ)＝ 2)． 鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F 版權(quán)所有 網(wǎng)站地址：南京市湖南路 1 號 B 座 808 室 聯(lián)系電話： 02583657815 Mail： (2) 在直角坐標系中畫出可行域知 0≤ θ≤ π2， f(θ)＝ 3sinθ＋ cosθ＝ 2sin?? ??θ＋ π6 ， ∴ θ＝ 0，f(θ)min＝ 1； θ＝ π3， f(θ)max＝ 2. (注： 注意條件，使用三角函數(shù)的定義； 一般情況下，研究三角函數(shù)的周期、最值、單調(diào)性及有關(guān)計算等問題時，?？梢韵葘⒑瘮?shù)化簡變形為 y＝ Asin(ωx＋ φ)的形式 ) 例 2 解： (1)由題圖可知： A＝ 2， T4＝ 712π－ π3＝ π4， ω＝ 2， 2 7π12＋ φ＝ 2kπ＋ 3π2 ， φ＝ 2kπ＋ π3， k∈ Z， f(0)＝ 2sin?? ??2kπ＋ π3 ＝ 62 . (2) φ＝ π3， f(x)＝ 2sin?? ??2x＋ π3 . 因為 0≤ x≤ π3，所以 π3≤ 2x＋ π3≤ π，所 以 0≤ sin?? ??2x＋ π3 ≤ 1. 即 f(x)的取值范圍為 [0， 2]． (注：本題主要考查正弦、余弦、正切函數(shù)及 y＝ Asin(ωx＋ φ)的圖像與性質(zhì)以及誘導公式，運用數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題 ) 變式訓練 已知 A為 △ ABC 的內(nèi)角，求 y＝ cos2A＋ cos2?? ??2π3 ＋ A 的取值范圍． 解： y＝ cos2A＋ cos2?? ??2π3 ＋ A ＝ 1＋ cos2A2 ＋1＋ cos2?? ??2π3 ＋ A2 ＝ 1＋ cos2A2 ＋ 12?? ??cos4π3 cos2A－ sin4π3 sin2A ＝ 1＋ 12??? ???12cos2A＋ 32 sin2A ＝ 1＋ 12cos?? ??2A－ π3 . ∵ A為三角形內(nèi)角， ∴ 0＜ A＜ π， ∴ － 1≤ co
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