三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)-全文預(yù)覽
【正文】 os?? ??φ－ π6 ＝ 0. 又因為 0＜ φ＜ π，故 φ－ π6＝ π2. 所以 f(x)＝ 2sin?? ??ωx＋ π2 ＝ 2cosωx. 由題意得 2πω＝ 2 π2，所以 ω＝ 2. 故 f(x)＝ 2cos2x. 因此 f?? ??π8 ＝ 2cosπ4＝ 2. (2) 將 f(x)的圖象向右平移 π6個單位后，得到 f?? ??x－ π6 的圖 象， 所以 g(x)＝ f?? ??x－ π6 ＝ 2cos?? ??2?? ??x－ π6 ＝ 2cos?? ??2x－ π3 . 當 2kπ≤ 2x－ π3≤ 2kπ＋ π(k∈ Z)， 即 kπ＋ π6≤ x≤ kπ＋ 2π3 (k∈ Z)時， g(x)單調(diào)遞減， 因此 g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ?? ??kπ＋ π6， kπ＋ 2π3 (k∈ Z)． 例 4 解： (1)函數(shù)可化為 f(x)＝－ cos?? ??π2＋ 2x － 3cos2x＝ 2sin?? ??2x－ π3 ，故 f(x)的最小正周期為 π. (2) h(x)＝ 2sin?? ??2x＋ 2t－ π3 .令 2 ?? ??－ π6 ＋ 2t－ π3＝ kπ， k∈ Z. 又 t∈ (0， π)，故 t＝ π3或 5π6 . (3) 當 x∈ ?? ??π4， π2 時， 2x－ π3∈ ?? ??π6， 2π3 ， ∴ f(x)∈ [1,2]． |f(x)－ m|＜ 3，即 f(x)－ 3＜ m＜ f(x)＋ 3， ∴ 2－ 3＜ m＜ 1＋ 3，即－ 1＜ m＜ 4. 變式訓(xùn)練 設(shè)函數(shù) f(x)＝－ cos2x－ 4tsinx2cosx2＋ 4t3＋ t2－ 3t＋ 4， x∈ R，其中 |t|≤ 1，將 f(x)的最小值記為 g(t)． (1) 求 g(t)的表達式； (2) 討論 g(t)在區(qū)間 (－ 1,1)內(nèi)的單調(diào)性并求極值． 解： (1) f(x)＝－ cos2x－ 4tsinx2cosx2＋ 4t3＋ t2－ 3t＋ 4 鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F 版權(quán)所有 網(wǎng)站地址：南京市湖南路 1 號 B 座 808 室 聯(lián)系電話： 02583657815 Mail： ＝ sin2x－ 2tsinx＋ 4t3＋ t2－ 3t＋ 3 ＝ (sinx－ t)2＋ 4t3－ 3t＋ 3. 由于 (sinx－ t)2≥ 0， |t|≤ 1，故當 sinx＝ t 時， f(x)達到其最小值 g(t)，即 g(t)＝ 4t3－ 3t＋ 3. (2) g′ (t)＝ 12t2－ 3＝ 3(2t＋ 1)(2t－ 1)，－ 1＜ t＜ 1. 列表如下： t ?? ??－ 1，－ 12 － 12 ?? ??－ 12， 12 12 ?? ??12， 1 g′ (t) ＋ 0 － 0 ＋ g(t) 極大值 極小值 由此可見， g(t)在區(qū)間 ?? ??－ 1，－ 12 和 ?? ??12， 1 上單調(diào)增，在區(qū)間 ?? ??－ 12， 12 上單調(diào)減，極小值為 g?? ??12 ＝ 2，極大值為 g?? ??－ 12 ＝ 4. 高考回顧 1. — 8 解析： sinθ＝ y16＋ y2＝－ 2 55 ，解得 y＝－ 8 或 8(舍 )． 2. π 解析： f(x)＝ sin?? ??2x－ π4 － 2 2sin2x＝ sin?? ??2x＋ π4 － 2. 3. 2＋ 34 解析： y＝ cosx??? ???32 cosx＋ 12sinx ＝ 12sin?? ??2x＋ π3 ＋ 34 . 4. ?? ??kπ－ π3， kπ＋ π6 ， k∈ Z 解析： f(x)＝ 3sinωx＋ cosωx(ω＞ 0)＝ 2sin?? ??ωx＋ π6 . ∵
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