一類連續(xù)正交投影算子的表示定理(編輯修改稿)
2024-09-26 20:25 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 T T S?? ? ?， ? 是 V 在 S 上 的正交投影變換 .設(shè) 12,?? k S?… ， 為 的一組標準正交基， 1k k n? ? ?? +2， … ， 為 T 的一組標準正交基，并且令 1 1 2( , , )kU ? ? ?? … ， 21( ),knU ???? ， … ， 12( , )U U U? ． 設(shè) V 在子空間 i?? 上 正 交投影變換 為 i? ，即 ( ) ( , ) ,i i i V? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?， 1,2, ,in? ，則 (1) 1kiik? ? ????? ， ?其 中 為 單 位 變 換。 (2) 1 2 1 2( , , ) ( , , )nn A? ? ? ? ? ? ??… ， … ，則 1 11()TA U U U U?? ． 證明 (1)由 12, k S? ? ?… ， 為 的一組標準正交基， 1kn???， … ， 為 T 的一組標準正交基，知 12( , )U U U? 為正交矩陣 .于是 11 2 1 1 2 22( , ) TT T TTUE U U U U U U U UU??? ? ? ????? 1 2 1 2 1( , , ) ( , , ) ( , )nTn n i iix x x V? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??… ， … ， 1 1 2 2TTE U U U U? ? ? ?? ? ? 其中 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )T T T T T Tk k n nU U x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? … ， … ， … ， … ， 5 11()TTkk? ? ? ???… + 1 2 1 2( , , ) ( , , ) Tnnx x x? ? ?… ， … ， 1 2 1 2( , , , , 0 , 0 ) ( , , , ) Tknx x x? ? ?? … … ， … 11 kkx x S??? ? ?… + 22TUU? 11( , ) ( , )T T Tk n k n? ? ? ???? … ， … ，1 2 1 2( , , , ) ( , , , ) Tnnx x x? ? ?… … 11k k n nx x T????? ? ? ?… 于是，有 1 1 1 1 1( ) ( , )kTk k i i iiU U x x? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?… + 11( ( ) ) ( )kkiiiik? ? ? ? ? ???? ? ? ??? 故1kiik? ? ?????，其中 ? 為單位變換 . (2) 由 (1)的證明可知 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )T T T T Tn n nU U U U x x x U U U x x x? ? ? ? ? ?? ? ?… ， … ， … ， 又 ()?? ?? 1 2 1 2( , , ) ( , , ) Tnnx x x? ? ?… ， … ， 1 2 1 2 1 2( , , ) ( , , ) ( , , )TTn n nA x x x U A x x x? ? ???… ， … ， … ， 于是 11TUU U UA? ，即 1 11()TA U U U U?? . 推論 1 在定理 2的條件下， V 在 S 上的正交投影矩陣 1 1 2 2TTP U U I U U??或 ，其中 I 為 nn? 階單位矩陣 . 證 明 取 V 的一組標準正交基 12, , , ne e e… ， 這里 1 (1,0, ,0)Te ? ， 2 (0,1, , 0)Te ? ，…， (0, 0, ,1)Tne ? . 記 ? 在這組基下的矩陣為 P .而 12( , )U U U? 為正交矩陣 .故 11 2 1 1 2 22( , ) T TTTUI U U U U U UU??? ? ?????. 由基 12, , , n? ? ? 到 12, , , neeL e 的過渡矩陣記為 T ，則 1TU?? ，于是有 1 1 11 1 1 1() TTP T A T U U U U U U U U? ? ?? ? ?. 另一方面由 1 1 2 2TTI U U U U??，知 22TP I U U?? . 推論 2 在 定理 2的條件下， 12k k n? ? ? ???? … . 6 證 明 設(shè) i? 在 V 的標準正交基 12,ne e e 下的矩陣為 iP ，其中 1 (1,0, ,0)Te ? ， 2 (0,1, , 0)Te ? ，…， (0, 0, ,1)Tne ? . 由推論 1 我們有 Ti i iPI??
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