一類連續(xù)正交投影算子的表示定理-全文預(yù)覽
【正文】 ? ???? … . 6 證 明 設(shè) i? 在 V 的標(biāo)準(zhǔn)正交基 12,ne e e 下的矩陣為 iP ，其中 1 (1,0, ,0)Te ? ， 2 (0,1, , 0)Te ? ，…， (0, 0, ,1)Tne ? . 由推論 1 我們有 Ti i iPI???? ， 1,2, ,in? 2 2 1 1( ) ( )TTk n k nP I U U I ? ? ? ???? ? ? ? ， … ， ， … ， 1 1 1 1( ) ( ) ( )T T T Tk k n n k k n nI I I? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?… 12k k nP P P??? … 故有 12k k n? ? ? ???? … . 下面我們給出正交投影算子的另一種表示方法 .首先給出兩個(gè)引理 . 引理 1 設(shè) ,AB為實(shí)矩陣 ， 則有 TA AB O AB O? ? ? (1) TTBA A O BA O? ? ? (2) 證 若 TA AB O? ， 兩邊左乘 TB ， 得 TTB A AB O? ， 即有 ()TAB AB O? ， 由于[ ( ) ( ) ] ( )Tr a n k A B A B r a n k A B?， 故 AB O ； 若 AB O? ， 則 TA A O? ， (1)式得證 . 同理可證 (2). 引理 2 對(duì)任意的實(shí)矩陣 A ， 有 ()TTA A A A A A? ?， ()T T T TA A A A A A? ? （ 3） 證 由于 [ ( ) ] ( ) ( ) ( )T T T T T T TA A A A A A E A A A A A A A A O??? ? ? ?， 由 引 理 1 ， 得 [( ) ]TTA A A A A E O? ??，即有 ()TTA A A A A A? ?. 另一式由 [ ( ) ( ) ]T T TA A A A E A A O? ??可得 . 定理 3 設(shè)在歐氏空間 V 中 ， 定義內(nèi)積 ( , ) Tx y y x= ,對(duì)于 矩陣 npAR180。231。 Orthogonal projection operator。 Projection matrix。231。桫 ，于是 ? 在標(biāo)準(zhǔn)正交基 12, ne e e… ， 下的矩陣為 11 1 2 1 1200( , )0 0 0 0 Trr TTVIIP V V V V V VV???? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? 另一方面，由于 12( , )V V V? 為正交矩陣，故有 1 1 2 2TTI VV V V??，于是又有 22TP I VV?? .由此本文首先給出單一正交投影 子 的表示方法 ,如用矩陣或線性變換表示 .然后探討和分析了一類特殊的由有限個(gè)正交投 影算子 (連續(xù) 正交投影算子 )的表示方法 . 1 基本概念 定義 1[1] 矩陣 A 稱為 正交投影矩陣 ， 如果它是對(duì)稱冪等 陣，即 A 滿足 TAA? ， 2AA? . 定義 2 設(shè) V 是 n 維歐氏空間 ， ? 為 V 中 某一單位向量 ，定義線性變換( ) ( , )? ? ? ? ? ??? ，我們稱 ? 為 V 在 子空間 ?? 上 的正交投影算子 . 定義 3 V 是 n 維歐氏空間 ，其子空間有 12, , ( ),kS S S k N ??… ， i VS? i為 在 上的 正交投影變換 ，稱 12 k? ?? ?? … 為 連續(xù)正交投影算子或連續(xù)正交投影變換 . 定義 4[2] 設(shè) F 是一個(gè)數(shù)域， mnAF?? ， 若有矩陣 nmXF?? 使 AXA A? ，則X 稱為 A 的一個(gè) {1}? 逆，記為 A? . 2 定理及證明 定理 1 V 是 n 維歐氏空間 ， 1,??n… ， 為 V 的任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 . （ 1） 若 nnAR?? 為正交投影矩陣， 則存在唯一線性變換 ? 在上述基下對(duì)應(yīng)的矩陣為 A ， 且 ImV? (? ) Ker? (? ) ? 是 V 在 Im( )? 上 的正交投影變換 ； 3 （ 2） 若 ,V S T T S?? ? ?， ? 是 V 在 S 上 的正交投影變換 ， 它 在 上述基下矩陣為 A ， 則 A 為正交投影矩陣 . 證明 （ 1） 對(duì)于給定 實(shí) 矩陣 A ，存在唯一線性變換 ? 在上述基下對(duì)應(yīng)的矩陣為 A . V??? ， 令 1? ??? ， 2? ? ???? A 是冪等的知 2??? ， 于是 1 Im( )??? ， 2 ()Ker??? 且由 12? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?， 故有 Im ( ) ker( )V ????，
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