【文章內容簡介】 充了原 來的 von NeumannMenstern效用函數(shù)概念。 當一個預期效用函數(shù) RSDu ?)(: 是 )(SD 上的某個偏好關系 的效用表示時，就稱 u 是的 預期效用表示 ，或者稱 u 是 的 預期效用函數(shù) 。具有預期效用表示的偏好關系，也就叫做 預期偏好 。 （一）預期效用公理 下面看一看在什么條件下，一個偏好關系的預期效用函數(shù)存在。為此，設 是風險選擇集第五章 不確定條件下的選擇 93 合 )(SD 上的一個偏好關系。我們需要對 提出一些附加性公理。 阿基米德公理 ． 對于任何的 )(, SDhgf ? ， 如果 hgf ?? ，則存在 )1,0(, ?qp 使得hqqfghppf )1()1( ???? ?? 。 獨立性公理 ． 對于任何的 )(, SDhgf ? 及任何實數(shù) ]1,0[?p ， 如果 f g ， 則hppf )1( ?? hppg )1( ?? 連續(xù)性公理 ． 對于任何的 )(, SDhgf ? ， 集合 gppfp )1(:]1,0[{ ??? }h 和集合gppfp )1(:]1,0[{ ??? }h 都是閉集 。 這三條公理稱為 預期效用公理 ，其幾何直觀意義如圖 52所示。 阿基米德公理的經濟含義是，如果隨機行為 g 的好壞程度介于 f 和 h 之間，那么必然存在 f 與 h 的兩種復合行為 hppfa )1( ??? 和 hqfqb )1( ??? ，使得 g 的好壞程度介于 a 和b 之間。 獨立性公理的經濟含義是，如果隨機行為 f 不優(yōu)于 g ，那么對于任何第三種隨機行為 h 來說， f 與 h 的任何復合行為 hppfa )1( ??? 必然也不優(yōu)于 g 與 h 的相應的復 合行為hppgb )1( ??? 。從獨立性公理立即可知，當 f g ，即 f 與 g 無差異時，復合行為hppfa )1( ??? 與 hppgb )1( ??? 也無差異。 連續(xù)性公理是拓撲意義下關于偏好連續(xù)性的一般性要求。實際上，連續(xù)性公理蘊含著阿基米德公理。因此，阿基米德公理是關于偏好序 連續(xù)性的最弱要求。 預期效用函數(shù)定理 ． 設 是風險選擇集合 )(SD 上的偏好關系。 具有預期效用表示當且僅當 服從阿基米德公理和獨立性公理 。 當 具有預期效用表示時， 的預期效用函數(shù)在仿射變換下是唯一的，即若 u 和 v 都是 的預期效用函數(shù)，則必存在實數(shù) a 和 0?b ，使得對一切)(SDf? ，都有 )()( fbuafv ?? 。 本定理的證明過于復雜，這里省去。感興趣的讀者可參考費希博恩的著作《決策的效用理論》 (. Fishburn, Utility Theory for Decision Making, New York: Wiley,1970)。另外，費希博恩還在這部著作中給出預期效用的積分表示形式，從而使得預期效用問題得到了圓滿解決。下面我們 介紹費希博恩關于預期效用的積分表示理論。 （二）預期效用的積分形式 設概率空間 ),( P?? 中的自然狀態(tài)集合 ? 就是確定性條件下消費者的選擇集合 S ，即?RS??? 。這樣做的經濟意義是：在不確定性的環(huán)境中，消費者能夠估計出每一種隨機行為 ? 下選擇到 S 的一個子集合 B 中的向量的可能性大小，即能估計出概率 })({ BP ??? ，這就象抽彩人能夠知道每種彩票獲得各種獎品的概率大小一樣。 同前面一樣，對于 Sx? ，用 x? 表示取值為常向量 x 的隨機向量，用 x? 表示 x? 的分布函數(shù)。于是可以認為， xxx ???? ，從而可以認為 )()( SXSDS ?? 。另外，我們要求 S 的每個單點子集 )(}{ Sxx ? 都是 ? 的元素。這就是說，消費者能夠估計出每一種隨機行為 ? 下選擇到 S 中的一個向量 x 的可能性大小。 g h f b b g a a g f h f ?h (a) 阿基米德公理 (b) 獨立性公理 (c) 連續(xù)性公理 圖 52 預期效用公理 第五章 不確定條件下的選擇 94 作了這樣的看待后，如果 是 )(SD 上的偏好關系，那么 同時規(guī)定了消費者在 S 上的偏好關系。也就是說，對于 Syx ?, ， x y 是指 x? y? 。 定義 (可測的偏好 )． )(SD 上的偏好關系 叫做是可測的，是指對于任何的 Sx? ，集合ySy :{ ? }x 和 ySy :{ ? }x 都是 ? 的元素 。 單調性公理 ． 對任何 X?? 及 Sx? ，如果 )(?? x 幾乎對所有 ??? 都成立，則 ? x ；如果 )(?? x 幾乎對所有的 ??? 都成立，則 ? x 。 換個說法，單調性公理是說，對于任意的 )(SDf? 、 ??A 及 ASx ?? ，設 ? 為 f 的密度函數(shù)，當 1),(2121 ?? ?? ?? dxdxxdxxxA ?時， (1) 如果 y? x? 對一切 Ay? 成立，則 f x? ； (2) 如果 y? x? 對一切 Ay? 成立，則 f x? 。 對此，我們作一點解釋。條件 1),(2121 ?? ?? ?? dxdxxdxxxA ?是說，隨機選擇行為 f 的選擇結果幾乎總是出現(xiàn)在集合 A 中，即幾乎總是選擇 A 中的商品向量。 (1)是說，如果 A 中每個向量對消費者的效用都沒有 x 的效用大，那么隨機選擇 f 的效用也就沒有 x 的效用大。 (2)是說，如果 A 中每個向量對消費者的效用都不比 x 的效用小，那么隨機選擇 f 的效用也就不比 x 的效用小。 預期效用的積分表示 ． 設 ),( P?? 為概率空間， ?RS??? ， ??}{x 對一切 Sx? 成立，是 )(SD 上的可測偏好關系，并且服從阿基米德公理、獨立性公理和單調性公理 。則 存在一個有界可測實值函數(shù) RSU ?: 使得對一切 )(, SDgf ? ，都有 f( ?)g ?????? ? ?? SS xdgxUxdfxU )()()()( 而且這個函數(shù) U 在仿射變換下是唯一的 。 預期效用函數(shù)概念是 von NeumannMenstern 效用函數(shù)概念的擴展，而預期效用的積分表示中的效用函數(shù) U ，才是原來意義下的 von NeumannMenstern效用函數(shù)。鑒于 此，當一個有界可測實值函數(shù) RSU ?: 滿足如下條件時： ? ?)(, SDgf ?? ???? f( ?)g ?????? ? ?? SS xdgxUxdfxU )()()()( ???? 就稱 U 是偏好關系 的 von NeumannMenstern(簡稱 VNM)效用函數(shù) 。積分表 示定理說明，一般情況下偏好關系的 VNM效用函數(shù)都是存在的。 特別地，當概率空間和偏好關系 滿足積分表示定理的條件且 ?RS??? 時，存在 的 VNM效用函數(shù) RRU ??: ，從而存在通常意義下的預期效用 EU ：對于任何 )(SDf? ， ? ???? ????? ),(),()( 2121 ?? ??? xxxdfxxxUfEUEU 一般情況下，如果我們只知道風險選擇集合 )(SD 上的某個偏好 關系 的預期效用函數(shù)RSDu ?)(: ，而不知道 的 VNM效用函數(shù)是否存在，那么由于 u 具有預期效用性質，我們可以直接認為 )(fu 就是隨機選擇行動 )(SDf? 的效用的預期值 )(fEU 。 預期效用函數(shù)存在定理和預期效用的積分表示定理告訴我們，在帶有不確定性的選擇環(huán)境中，當影響人們選擇的自然狀態(tài)概率空間存在時，也即當不確定事件發(fā)生的概率 可以確定時，人們對各種隨機選擇行動的好壞評價雖然是依照個人偏好進行的，但這實際上是預期效用在起著作用，也就是說，人們對隨機行為實際上是依照預期效用大小進行評價的。 第五章 不確定條件下的選擇 95 第三節(jié) 主觀概率 上一節(jié)解決了風險選擇情況下偏好關系的預期效用表示問題，建立了預期效用公理體系，證明了服從這套公理體系的經濟行為背后必然有預期效用的支持。然而，我們對進入預期效用函數(shù)的“概率”的確切性質還不太清楚。直接的解釋可以說它們是客觀存在的，即“客觀概率”，比如是在對頻率觀察的基礎上計算出來的概率。但我們也不止一次地提到，決策者可根據(jù) 自己的經驗、自己掌握的信息和知識對事件發(fā)生的概率作出判斷或估計，這種判斷當然因人而異，與個人的主觀感覺不無關系，因而是“主觀概率”，即決策者主觀上認為的某些事件發(fā)生的可能性。如果所涉及的只是客觀概率，那么經濟決策涉及的就只是風險。如果涉及到主觀概率，那么經濟活動的性質就帶有真正意義下的不確定性，即不肯定性。事實上，在實際經濟決策活動中，決策者涉及的的一般都是主觀概率與客觀概率的混合。可見對于主觀概率的研究，在不確定性問題研究中相當重要。 象用預期效用公理體系來推斷預期效用函數(shù)存在一樣，我們也可以問：關于選擇 行為的何種公理體系能夠用于推斷主觀概率的存在？即在什么樣的公理體系下，一個人在不確定情況下的選擇行為可以視為他好象根據(jù)某種主觀概率度量的預期效用來進行決策？ 幸運的是，這種公理體系確實存在并且合理似然，它是由薩維奇 1954 年構建的， 1972年又對其進行了修訂、補充和完善。迄今為止，薩維奇的結果一直處于領先地位，還未見到在不確定性決策公理化研究方面出現(xiàn)其完美性超過薩維奇的其它結果。下面，我們對薩維奇的主觀概率公理體系作一概要介紹。想了解具體細節(jié)的讀者，可參考薩維奇的《統(tǒng)計分析基礎》 (. Savage, Foundation of Statistics, New York: Dover Publications, 1972)。 一、不肯定性行為的表述 不肯定性條件下決策者的選擇結果依賴于某些自然狀態(tài)，而事件發(fā)生的概率卻未必是客觀存在的。用 ? 表示所涉及的一切自然狀態(tài)構成的集合，稱為 狀態(tài)空間 。用 )(?? 表示 ? 的冪集，即 ? 的所有子集之集族，也 可簡記為 ? ，即 )(???? 。 ? 中的元素稱為 事件 。 用 S 表示一切可能出現(xiàn)的選擇結果的集合，稱為 確定性選擇 集合 。假定 S 是實數(shù)集合 R 的子集。 決策者的行為可用一個映射 S??:? 表示，其意義是說決策者的選擇依賴于出現(xiàn)哪種自然狀態(tài)： 如果狀態(tài) ??? 出現(xiàn)，那么他就選擇 )(?? 。但究竟選擇 S 中哪一個結果，則不得而知，并且不知道選擇到 S 中的一個結果的概率有多大。這樣的選擇行為才是真正意義上的不確定性行為。用 X 表示一切可能的不肯定性行為的全體，即 X 是由所有從 ? 到 S 的映射構成的集合，稱為決策者的 選擇集合 或者稱為決策者的 行為空間 。對于不確定性行為 X?? ，集合 }:)({][ ???? ???? 稱為 ? 的 結果集合 。 注意，結果集合 S 中的每種結果 x 都代表一種 (實際上不帶有不確定性的 )“不確定性”行為 Sx ??:? ：對任何 ??? ， xx ?)(?? 。稱這個行為 x? 為 確定性行為 ，并把 x? 與 x 等同看待。作了這個說明之后，我們今后將不在區(qū)分 x? 與 x ，并且直接用 x 表示 x? 。也就是說，我們認為 XS? 。 在不確定條件下，決策者要根據(jù)自己的判斷來在選擇空間 X 中選擇一種行動，這意味著決策者在 X 上有一個偏好關系 ，它對各種行為的好壞作出了排序。由于 XS? ，因此 X上的偏好關系 確定了 S 上的偏好關系 (仍用 表示 )，即可用 對 S 中的各種結果排出好壞次序來。需要注意，對于 X?? 和 Sx? ， ? x 和 )(?? x 具有不同的意義： ? x 表示行為? 不比確定性行為 x 優(yōu)；而 )(?? x 表示結果 )(?? 不比結果 x 優(yōu)，或者說把結果 )(???y 也第五章 不確定條件下的選擇 96 當成一種行為 y? 來看待的話，確定性行為 y 不比確定性行為 x 優(yōu)。 (一 ) 狀態(tài)分劃 為了研究不確定性，人們往往會依據(jù)某種原則對影響人們選擇的各種可能的不確定性因素 (即自然狀態(tài) )進行分門別類。這種做法體現(xiàn)為對狀態(tài)空間進行分劃。所謂狀態(tài)空間 ? 的一種 分劃 ，是指由 ? 的有限個互不相交的子集構成的集族 },{)( 21 mmi FFFFF ??? ，滿足條件 ????? mFFF ?21 。 (二 ) 復合行為 設 },{)( 21 mmi FFFFF ??? 是狀態(tài)空間 ? 的一個分劃， m??? , 21 ? 是一系列不確定性行為