【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 充了原 來的 von NeumannMenstern效用函數(shù)概念。 當(dāng)一個(gè)預(yù)期效用函數(shù) RSDu ?)(: 是 )(SD 上的某個(gè)偏好關(guān)系 的效用表示時(shí)，就稱 u 是的 預(yù)期效用表示 ，或者稱 u 是 的 預(yù)期效用函數(shù) 。具有預(yù)期效用表示的偏好關(guān)系，也就叫做 預(yù)期偏好 。 （一）預(yù)期效用公理 下面看一看在什么條件下，一個(gè)偏好關(guān)系的預(yù)期效用函數(shù)存在。為此，設(shè) 是風(fēng)險(xiǎn)選擇集第五章 不確定條件下的選擇 93 合 )(SD 上的一個(gè)偏好關(guān)系。我們需要對(duì) 提出一些附加性公理。 阿基米德公理 ． 對(duì)于任何的 )(, SDhgf ? ， 如果 hgf ?? ，則存在 )1,0(, ?qp 使得hqqfghppf )1()1( ???? ?? 。 獨(dú)立性公理 ． 對(duì)于任何的 )(, SDhgf ? 及任何實(shí)數(shù) ]1,0[?p ， 如果 f g ， 則hppf )1( ?? hppg )1( ?? 連續(xù)性公理 ． 對(duì)于任何的 )(, SDhgf ? ， 集合 gppfp )1(:]1,0[{ ??? }h 和集合gppfp )1(:]1,0[{ ??? }h 都是閉集 。 這三條公理稱為 預(yù)期效用公理 ，其幾何直觀意義如圖 52所示。 阿基米德公理的經(jīng)濟(jì)含義是，如果隨機(jī)行為 g 的好壞程度介于 f 和 h 之間，那么必然存在 f 與 h 的兩種復(fù)合行為 hppfa )1( ??? 和 hqfqb )1( ??? ，使得 g 的好壞程度介于 a 和b 之間。 獨(dú)立性公理的經(jīng)濟(jì)含義是，如果隨機(jī)行為 f 不優(yōu)于 g ，那么對(duì)于任何第三種隨機(jī)行為 h 來說， f 與 h 的任何復(fù)合行為 hppfa )1( ??? 必然也不優(yōu)于 g 與 h 的相應(yīng)的復(fù) 合行為hppgb )1( ??? 。從獨(dú)立性公理立即可知，當(dāng) f g ，即 f 與 g 無差異時(shí)，復(fù)合行為hppfa )1( ??? 與 hppgb )1( ??? 也無差異。 連續(xù)性公理是拓?fù)湟饬x下關(guān)于偏好連續(xù)性的一般性要求。實(shí)際上，連續(xù)性公理蘊(yùn)含著阿基米德公理。因此，阿基米德公理是關(guān)于偏好序 連續(xù)性的最弱要求。 預(yù)期效用函數(shù)定理 ． 設(shè) 是風(fēng)險(xiǎn)選擇集合 )(SD 上的偏好關(guān)系。 具有預(yù)期效用表示當(dāng)且僅當(dāng) 服從阿基米德公理和獨(dú)立性公理 。 當(dāng) 具有預(yù)期效用表示時(shí)， 的預(yù)期效用函數(shù)在仿射變換下是唯一的，即若 u 和 v 都是 的預(yù)期效用函數(shù)，則必存在實(shí)數(shù) a 和 0?b ，使得對(duì)一切)(SDf? ，都有 )()( fbuafv ?? 。 本定理的證明過于復(fù)雜，這里省去。感興趣的讀者可參考費(fèi)希博恩的著作《決策的效用理論》 (. Fishburn, Utility Theory for Decision Making, New York: Wiley,1970)。另外，費(fèi)希博恩還在這部著作中給出預(yù)期效用的積分表示形式，從而使得預(yù)期效用問題得到了圓滿解決。下面我們 介紹費(fèi)希博恩關(guān)于預(yù)期效用的積分表示理論。 （二）預(yù)期效用的積分形式 設(shè)概率空間 ),( P?? 中的自然狀態(tài)集合 ? 就是確定性條件下消費(fèi)者的選擇集合 S ，即?RS??? 。這樣做的經(jīng)濟(jì)意義是：在不確定性的環(huán)境中，消費(fèi)者能夠估計(jì)出每一種隨機(jī)行為 ? 下選擇到 S 的一個(gè)子集合 B 中的向量的可能性大小，即能估計(jì)出概率 })({ BP ??? ，這就象抽彩人能夠知道每種彩票獲得各種獎(jiǎng)品的概率大小一樣。 同前面一樣，對(duì)于 Sx? ，用 x? 表示取值為常向量 x 的隨機(jī)向量，用 x? 表示 x? 的分布函數(shù)。于是可以認(rèn)為， xxx ???? ，從而可以認(rèn)為 )()( SXSDS ?? 。另外，我們要求 S 的每個(gè)單點(diǎn)子集 )(}{ Sxx ? 都是 ? 的元素。這就是說，消費(fèi)者能夠估計(jì)出每一種隨機(jī)行為 ? 下選擇到 S 中的一個(gè)向量 x 的可能性大小。 g h f b b g a a g f h f ?h (a) 阿基米德公理 (b) 獨(dú)立性公理 (c) 連續(xù)性公理 圖 52 預(yù)期效用公理 第五章 不確定條件下的選擇 94 作了這樣的看待后，如果 是 )(SD 上的偏好關(guān)系，那么 同時(shí)規(guī)定了消費(fèi)者在 S 上的偏好關(guān)系。也就是說，對(duì)于 Syx ?, ， x y 是指 x? y? 。 定義 (可測(cè)的偏好 )． )(SD 上的偏好關(guān)系 叫做是可測(cè)的，是指對(duì)于任何的 Sx? ，集合ySy :{ ? }x 和 ySy :{ ? }x 都是 ? 的元素 。 單調(diào)性公理 ． 對(duì)任何 X?? 及 Sx? ，如果 )(?? x 幾乎對(duì)所有 ??? 都成立，則 ? x ；如果 )(?? x 幾乎對(duì)所有的 ??? 都成立，則 ? x 。 換個(gè)說法，單調(diào)性公理是說，對(duì)于任意的 )(SDf? 、 ??A 及 ASx ?? ，設(shè) ? 為 f 的密度函數(shù)，當(dāng) 1),(2121 ?? ?? ?? dxdxxdxxxA ?時(shí)， (1) 如果 y? x? 對(duì)一切 Ay? 成立，則 f x? ； (2) 如果 y? x? 對(duì)一切 Ay? 成立，則 f x? 。 對(duì)此，我們作一點(diǎn)解釋。條件 1),(2121 ?? ?? ?? dxdxxdxxxA ?是說，隨機(jī)選擇行為 f 的選擇結(jié)果幾乎總是出現(xiàn)在集合 A 中，即幾乎總是選擇 A 中的商品向量。 (1)是說，如果 A 中每個(gè)向量對(duì)消費(fèi)者的效用都沒有 x 的效用大，那么隨機(jī)選擇 f 的效用也就沒有 x 的效用大。 (2)是說，如果 A 中每個(gè)向量對(duì)消費(fèi)者的效用都不比 x 的效用小，那么隨機(jī)選擇 f 的效用也就不比 x 的效用小。 預(yù)期效用的積分表示 ． 設(shè) ),( P?? 為概率空間， ?RS??? ， ??}{x 對(duì)一切 Sx? 成立，是 )(SD 上的可測(cè)偏好關(guān)系，并且服從阿基米德公理、獨(dú)立性公理和單調(diào)性公理 。則 存在一個(gè)有界可測(cè)實(shí)值函數(shù) RSU ?: 使得對(duì)一切 )(, SDgf ? ，都有 f( ?)g ?????? ? ?? SS xdgxUxdfxU )()()()( 而且這個(gè)函數(shù) U 在仿射變換下是唯一的 。 預(yù)期效用函數(shù)概念是 von NeumannMenstern 效用函數(shù)概念的擴(kuò)展，而預(yù)期效用的積分表示中的效用函數(shù) U ，才是原來意義下的 von NeumannMenstern效用函數(shù)。鑒于 此，當(dāng)一個(gè)有界可測(cè)實(shí)值函數(shù) RSU ?: 滿足如下條件時(shí)： ? ?)(, SDgf ?? ???? f( ?)g ?????? ? ?? SS xdgxUxdfxU )()()()( ???? 就稱 U 是偏好關(guān)系 的 von NeumannMenstern(簡(jiǎn)稱 VNM)效用函數(shù) 。積分表 示定理說明，一般情況下偏好關(guān)系的 VNM效用函數(shù)都是存在的。 特別地，當(dāng)概率空間和偏好關(guān)系 滿足積分表示定理的條件且 ?RS??? 時(shí)，存在 的 VNM效用函數(shù) RRU ??: ，從而存在通常意義下的預(yù)期效用 EU ：對(duì)于任何 )(SDf? ， ? ???? ????? ),(),()( 2121 ?? ??? xxxdfxxxUfEUEU 一般情況下，如果我們只知道風(fēng)險(xiǎn)選擇集合 )(SD 上的某個(gè)偏好 關(guān)系 的預(yù)期效用函數(shù)RSDu ?)(: ，而不知道 的 VNM效用函數(shù)是否存在，那么由于 u 具有預(yù)期效用性質(zhì)，我們可以直接認(rèn)為 )(fu 就是隨機(jī)選擇行動(dòng) )(SDf? 的效用的預(yù)期值 )(fEU 。 預(yù)期效用函數(shù)存在定理和預(yù)期效用的積分表示定理告訴我們，在帶有不確定性的選擇環(huán)境中，當(dāng)影響人們選擇的自然狀態(tài)概率空間存在時(shí)，也即當(dāng)不確定事件發(fā)生的概率 可以確定時(shí)，人們對(duì)各種隨機(jī)選擇行動(dòng)的好壞評(píng)價(jià)雖然是依照個(gè)人偏好進(jìn)行的，但這實(shí)際上是預(yù)期效用在起著作用，也就是說，人們對(duì)隨機(jī)行為實(shí)際上是依照預(yù)期效用大小進(jìn)行評(píng)價(jià)的。 第五章 不確定條件下的選擇 95 第三節(jié) 主觀概率 上一節(jié)解決了風(fēng)險(xiǎn)選擇情況下偏好關(guān)系的預(yù)期效用表示問題，建立了預(yù)期效用公理體系，證明了服從這套公理體系的經(jīng)濟(jì)行為背后必然有預(yù)期效用的支持。然而，我們對(duì)進(jìn)入預(yù)期效用函數(shù)的“概率”的確切性質(zhì)還不太清楚。直接的解釋可以說它們是客觀存在的，即“客觀概率”，比如是在對(duì)頻率觀察的基礎(chǔ)上計(jì)算出來的概率。但我們也不止一次地提到，決策者可根據(jù) 自己的經(jīng)驗(yàn)、自己掌握的信息和知識(shí)對(duì)事件發(fā)生的概率作出判斷或估計(jì)，這種判斷當(dāng)然因人而異，與個(gè)人的主觀感覺不無關(guān)系，因而是“主觀概率”，即決策者主觀上認(rèn)為的某些事件發(fā)生的可能性。如果所涉及的只是客觀概率，那么經(jīng)濟(jì)決策涉及的就只是風(fēng)險(xiǎn)。如果涉及到主觀概率，那么經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的性質(zhì)就帶有真正意義下的不確定性，即不肯定性。事實(shí)上，在實(shí)際經(jīng)濟(jì)決策活動(dòng)中，決策者涉及的的一般都是主觀概率與客觀概率的混合。可見對(duì)于主觀概率的研究，在不確定性問題研究中相當(dāng)重要。 象用預(yù)期效用公理體系來推斷預(yù)期效用函數(shù)存在一樣，我們也可以問：關(guān)于選擇 行為的何種公理體系能夠用于推斷主觀概率的存在？即在什么樣的公理體系下，一個(gè)人在不確定情況下的選擇行為可以視為他好象根據(jù)某種主觀概率度量的預(yù)期效用來進(jìn)行決策？ 幸運(yùn)的是，這種公理體系確實(shí)存在并且合理似然，它是由薩維奇 1954 年構(gòu)建的， 1972年又對(duì)其進(jìn)行了修訂、補(bǔ)充和完善。迄今為止，薩維奇的結(jié)果一直處于領(lǐng)先地位，還未見到在不確定性決策公理化研究方面出現(xiàn)其完美性超過薩維奇的其它結(jié)果。下面，我們對(duì)薩維奇的主觀概率公理體系作一概要介紹。想了解具體細(xì)節(jié)的讀者，可參考薩維奇的《統(tǒng)計(jì)分析基礎(chǔ)》 (. Savage, Foundation of Statistics, New York: Dover Publications, 1972)。 一、不肯定性行為的表述 不肯定性條件下決策者的選擇結(jié)果依賴于某些自然狀態(tài)，而事件發(fā)生的概率卻未必是客觀存在的。用 ? 表示所涉及的一切自然狀態(tài)構(gòu)成的集合，稱為 狀態(tài)空間 。用 )(?? 表示 ? 的冪集，即 ? 的所有子集之集族，也 可簡(jiǎn)記為 ? ，即 )(???? 。 ? 中的元素稱為 事件 。 用 S 表示一切可能出現(xiàn)的選擇結(jié)果的集合，稱為 確定性選擇 集合 。假定 S 是實(shí)數(shù)集合 R 的子集。 決策者的行為可用一個(gè)映射 S??:? 表示，其意義是說決策者的選擇依賴于出現(xiàn)哪種自然狀態(tài)： 如果狀態(tài) ??? 出現(xiàn)，那么他就選擇 )(?? 。但究竟選擇 S 中哪一個(gè)結(jié)果，則不得而知，并且不知道選擇到 S 中的一個(gè)結(jié)果的概率有多大。這樣的選擇行為才是真正意義上的不確定性行為。用 X 表示一切可能的不肯定性行為的全體，即 X 是由所有從 ? 到 S 的映射構(gòu)成的集合，稱為決策者的 選擇集合 或者稱為決策者的 行為空間 。對(duì)于不確定性行為 X?? ，集合 }:)({][ ???? ???? 稱為 ? 的 結(jié)果集合 。 注意，結(jié)果集合 S 中的每種結(jié)果 x 都代表一種 (實(shí)際上不帶有不確定性的 )“不確定性”行為 Sx ??:? ：對(duì)任何 ??? ， xx ?)(?? 。稱這個(gè)行為 x? 為 確定性行為 ，并把 x? 與 x 等同看待。作了這個(gè)說明之后，我們今后將不在區(qū)分 x? 與 x ，并且直接用 x 表示 x? 。也就是說，我們認(rèn)為 XS? 。 在不確定條件下，決策者要根據(jù)自己的判斷來在選擇空間 X 中選擇一種行動(dòng)，這意味著決策者在 X 上有一個(gè)偏好關(guān)系 ，它對(duì)各種行為的好壞作出了排序。由于 XS? ，因此 X上的偏好關(guān)系 確定了 S 上的偏好關(guān)系 (仍用 表示 )，即可用 對(duì) S 中的各種結(jié)果排出好壞次序來。需要注意，對(duì)于 X?? 和 Sx? ， ? x 和 )(?? x 具有不同的意義： ? x 表示行為? 不比確定性行為 x 優(yōu)；而 )(?? x 表示結(jié)果 )(?? 不比結(jié)果 x 優(yōu)，或者說把結(jié)果 )(???y 也第五章 不確定條件下的選擇 96 當(dāng)成一種行為 y? 來看待的話，確定性行為 y 不比確定性行為 x 優(yōu)。 (一 ) 狀態(tài)分劃 為了研究不確定性，人們往往會(huì)依據(jù)某種原則對(duì)影響人們選擇的各種可能的不確定性因素 (即自然狀態(tài) )進(jìn)行分門別類。這種做法體現(xiàn)為對(duì)狀態(tài)空間進(jìn)行分劃。所謂狀態(tài)空間 ? 的一種 分劃 ，是指由 ? 的有限個(gè)互不相交的子集構(gòu)成的集族 },{)( 21 mmi FFFFF ??? ，滿足條件 ????? mFFF ?21 。 (二 ) 復(fù)合行為 設(shè) },{)( 21 mmi FFFFF ??? 是狀態(tài)空間 ? 的一個(gè)分劃， m??? , 21 ? 是一系列不確定性行為