【正文】 ，人們究竟如何選擇呢？要回答這個問題，需要對風(fēng)險行為進行深入研究。 第二 節(jié) 預(yù)期效用 本節(jié)討論消費者在不確定環(huán)境中進行選擇所依據(jù)的行為準則和目標。上節(jié)所述的幾個事例說明了這樣一個問題：在不確定的環(huán)境中或者具有風(fēng)險的情況下，人們是根據(jù)預(yù)期效用進行決策的。這就是說，如果消費者對各種風(fēng)險消費選擇有一個評價 (即有一個偏好關(guān)系 )的話，那么這種評價 (偏好 )肯定是根據(jù)某種預(yù)期效用作出的。我們不禁要問：事實真是如此嗎？對風(fēng)險行為的評價背后是否有預(yù)期效用作為支持？答案可以說是肯定的。下面就來建立預(yù)期效用理論，回答這個問題。 一、風(fēng)險選擇集合 回到上節(jié)例 1 中，彩票可以用各種可能的獲獎結(jié)果和獲 得各種獎的概率分布加以描述。設(shè)共有 n 個等級的獎勵： 1等獎 , 2等獎 , ? , n 等獎。一種彩票代表了獲得各等級獎勵的一種概率分布 ),( 21 nppp ? ，不同彩票的獲獎概率分布不同（這里考慮的不同彩票，僅僅是指購買這些彩票獲得各等獎勵的概率分布不同，而所有彩票的獎勵類型都是相同的）。這樣一來，每一種彩票都可用購買它的獲獎概率分布 ),( 21 nppp ? 來表示。當(dāng)概率分布變?yōu)?,( 21 nqqq ? 時， ),( 21 nqqq ? 便代表了另一種彩票。 抽彩人可以在各種彩票中選擇購買，于是，抽彩人的選擇范圍可以用各種可能的概率分第五章 不確定條件下的選擇 90 布的集合 }1:]1,0[),{( 2121 ?????? nnn ppppppX ?? 來表示。稱此集合 X 為抽彩的選擇集合 。注意， X 是歐氏空間 nR 的有界閉凸子集。 對于任何兩種彩票 Xpppp n ?? ),( 21 ? 和 Xqqqq n ?? ),( 21 ? ，當(dāng) a 為某隨機事件A 發(fā)生的概率時， qapa )1( ?? 代表了一種以概率 a 獲得彩票 p ，以概率 a?1 獲得彩票 q 的新彩票，該彩票等同于獲獎概率分布為 ))1(,)1(,)1(( 2211 nn qapaqapaqapa ?????? ?的彩票。稱 qapa )1( ?? 為彩票 p 和 q 的 復(fù)合彩票 ，或者稱為 復(fù)合抽彩 。這就是選擇集合 X 的凸性的意義所在。 抽彩行為的這種描述方式還可以一般化。設(shè)共有 ? 種商品可供人們選擇，確定性商品空間為 ?R ，確定性的選擇集合（消費集合）為 ?RS? 。 在不確定的環(huán)境中，人們的選擇依賴于某些自然狀態(tài) (或事件 )的是否出現(xiàn)，而這些自然狀態(tài)出現(xiàn)與否是隨機的或者不確定的。比如，如果天下雨，消費者購買雨傘；如果不下雨，就購買太陽鏡。而天是否下雨，則不確定，但我們能根據(jù)氣象臺的天氣預(yù)報說出下雨的概率。用 ? 表示影響人們選擇的自然狀態(tài)的全體，隨機事件可用 ? 的子集表示。假定每個人都能根據(jù)自己掌握的知識和獲悉的信息，判斷出隨機事件發(fā)生的可能性大小。這就是說，假定每個人都有自己 的概率空間 ),( ,P?? ,其中 ? 為事件域 (即 ? 為 ? 上的一個 ?σ 域）， P 為 ? 上的概率（測度）函數(shù)。從這個概率空間出發(fā)，一種風(fēng)險選擇就是一種隨機行為，表現(xiàn)為 ? 上的一個隨機向量 ? (即 ? 是從 ? 到 S 的一個映射）。這就是說，如果 ? 中的狀態(tài) ? 出現(xiàn)，就選擇向量 )(?? 。由于 ? 出現(xiàn)與否不得肯定，因而不能肯定究竟選擇 S 中的哪一個向量。然而，選擇 S 中各個商品向量的概率分布是可以確定或估計的。這么一來，在帶有不確定性的情況下，? 上的 ? 維隨機向量 S??:? 的全體便代表了這個人所有可能的風(fēng)險選擇行為。用 X 或)(SX 表示來表示這個集合，即 }:{)( 為隨機向量： SSXX ???? ?? 并稱該集合 )(SXX? 為經(jīng)濟活動者的 風(fēng)險選擇集合 。 對于 X?? ),( 21 ?? ???? ， ? 的數(shù)學(xué)期望向量 ])[,],[],[(][ 21 ?? ???? EEEE ? 稱作 ?的 預(yù)期向量 或 預(yù)期值 。 風(fēng)險選擇集合 X 擴充了確定性選擇集合 S ，即每一種確定性的選擇 Sx? 都可看作是一種特殊的隨機選擇 x? ： xx ?)(?? （對任何 ??? ）。更一般地，如果隨機向量 ? 的取值幾乎處處相等，即幾乎處處等于某個 Sx? （也即 1})({ ??xP ?? ），則可把這個隨機向量看成是確定性的向量 x ，也就是說，可認為 x??? 。易見， xE x ?][? 。作了這個解釋后，我們可認為)(SXXS ?? 。 當(dāng)考慮風(fēng)險行為的預(yù)期值時，必然涉及確定性行為之間的加權(quán)平均運算，而且還要涉及到這些運算結(jié)果序列的極限（比如連續(xù)型隨機向量預(yù)期值的定義中既涉及加權(quán)平均運算，又涉及積分，而積分本身就是一種極限）。因此，一般情況下都要假定確定性選擇集合 S 是空間?R 的凸閉子集。本章的分析中， 哪里需要 S 的凸閉性，哪里就假定 S 是凸閉集，而不再贅述。 從概率論知道，研究隨機向量時，只要知道了隨機向量的取值范圍和概率分布，就滿足了我們的要求。因此，分布相同的隨機向量可以看作相同的隨機向量。所謂 f 是 ? 維隨機向量 X?? 的 分布函數(shù) ，是指 f 是一個 ? 元實值函數(shù)，且對于任何 ??? Rxxxx ?? ),( 21 ，})(,)(,)({})({)( 2211 ??? xxxPxPxf ??????? ???????? 。分布函數(shù) f 的 密度函數(shù) ，是一個實值函數(shù) )(x? 使得對任何 ??? Rxxxx ?? ),( 21 ，都有： (1) 0),()( 21 ?? ?? xxxx ?? (2) 1),(2121 ?? ???? ??? ?? ??? tdtdtdttt? (3) ??? ???? ? tdtdtdtttxxxf x x 212121 1 ),(),( ? ??? ??? ? 由于 X 中的隨機向量 ? 取值于集合 S 之中，因此可以認為 ? 的分布密度函數(shù) )(x? 在集合第五章 不確定條件下的選擇 91 S 之外取值為零：當(dāng) Sx? 時， 0)( ?x? 。 今后 ,我們把隨機向量 ? 與它的分布函數(shù) f （或者分布密度函數(shù) ? ）等同看待。這樣，就可用分布函數(shù)集合 )(SDD? 來替代風(fēng)險選擇集合 X ，其中 )(SD 定義如下： ffSDD :{)( ?? 是 X 中的某隨機向量 ? 的分布函數(shù) } 象復(fù)合抽彩一樣，對于一般的隨機行為，也有復(fù)合隨機行為的概念。設(shè) X???, 為兩種隨機行為， )(, SDgf ? 分別為 ??, 的分布函數(shù)， ??, 分別為 gf, 的密度函數(shù)， ]1,0[?p 為一事件 ??A 發(fā)生的概率。 用 ?? )1( pp ?? 表示這樣的復(fù)合隨機行為：以概率 p 選擇 ? ，以概率 p?1 選擇 ? （注意， ?? )1( pp ?? 與 ?? )1( pp ?? 的含義不同）。亦即，當(dāng)事件 A 發(fā)生時，按照 ? 進行隨機選擇；當(dāng)事件 A 不發(fā)生時，按照 ? 進行隨機選擇。這也就是說， ?? )1( pp ?? 代表了這樣的一種隨機選擇（隨機向量）：如果事件 A 發(fā)生，那么每當(dāng)自然狀態(tài) ??? 出現(xiàn)時，就選擇 )(?? ；如果 A 不發(fā)生，那么每當(dāng)自然狀態(tài) ??? 出現(xiàn)時，就選擇 )(?? 。稱 ?? )1( pp ?? 為隨機選擇? 和 ? 的 復(fù)合選擇 ，或者稱為隨機向量 ? 和 ? 的 復(fù)合隨機向量 。 復(fù)合隨機向量 ?? )1( pp ?? 的概率分布可計算如下。對任何 ??? Rxxxx ?? ),( 21 ，用B 表示事件 })1({ xpp ???? ?? ，則根據(jù)全概率公式 )()()()()( cc ABPAPABPAPBP ?? （其中 AAc ??? ）可知， )()1()(}{)1(}{})1({)(})1({()(}))()1((:{xgpxpfxPpxpPAxppPAPAxppPAPxppPcc???????????????????????????????????? 這說明，復(fù)合隨機向量的概率分布函數(shù)是各個隨機向量的分布函數(shù)按照概率進行的加權(quán)平均。同時也說明了分布函數(shù)的加權(quán)平均的意義。注意，隨機向量的復(fù)合不要求確定性選擇集合 S 的凸性。既然我們可用分布函數(shù)集合 )(SD 代替隨機向量集合 )(SX ，可見在帶有不確定性的選擇環(huán)境中，隨機選擇集合必然是凸集，即 )(SD 是凸集（盡管 S 可能不是凸集）。今后，我們把分布函數(shù) )()1()( xgpxpf ?? 稱為按概率 p (和 )1 p? 進行的 復(fù)合分布函數(shù) 。 容易看出，復(fù)合分布 )()1()( xgpxpf ?? 的密度函數(shù)為 ?? )1( pp ?? 。稱此密度函數(shù)為按概率 p (和 p?1 )進行的 復(fù)合密度函數(shù) 。 以上分析表明了用分布函數(shù)集合 )(SD 替代隨機選擇集合 )(SX 的優(yōu)越性所在：復(fù)合行為就是對概率分布進行加權(quán)平均。鑒于此，今后就直接把 )(SD 稱為 隨機選擇集合 ，即視 )(SX 和)(SD 為同樣的集合。 二、預(yù)期效用性質(zhì) 我們先計算一下復(fù)合抽彩的預(yù)期效用。設(shè) iU 為抽彩人獲得第 i 種獎品時獲得的效用量),2,1( ni ?? 。對于彩票 ),( 21 npppp ?? ，抽彩人的預(yù)期效用 EU 為： nnUpUpUppEU ???? ?2211)( 當(dāng) ),( 21 npppp ?? 和 ),( 21 nqqqq ?? 為兩種彩票， a 為某事件 A 發(fā)生的概率時，復(fù)合抽彩 qaap )1( ?? 的預(yù)期效用為： )()1()( ))1())1())1(())1(( 222111 qEUapa E U UqaapUqaapUqaapqaapEU nnn??? ???????????? ? 這說明復(fù)合抽彩的預(yù)期效用等于其中各抽彩的預(yù)期效用的預(yù)期效用。抽彩人在復(fù)合抽彩中所表現(xiàn)出來的這種效用評價特點，稱為 預(yù)期效用性質(zhì) 。 第五章 不確定條件下的選擇 92 其實，預(yù)期效用性質(zhì)不但為復(fù)合抽彩所具有，而且對一 般的隨機行為也是基本適用的。為了說明這一點，設(shè) U 是消費者在確定性環(huán)境下的效用函數(shù)，并假定 U 定義在整個商品空間?R 上。對于 )(SX?? ，設(shè) )(SDf? 為其分布函數(shù)，則 ? 的預(yù)期效用 )(?EU (也可表示為)(fEU )定義為： ? ???? ????? ),(),()()( 2121 ?? ??? xxxdfxxxUfEUEU ? 當(dāng) ? 為連續(xù)型隨機變量且 ? 為 f 的密度函數(shù)時，則 ? 的預(yù)期效用 )(?EU 可寫成： ?? ??? ??? ???S dxdxdxxxxxxxUdxdxdxxxxxxxUEU?????????????212121212121),(),(),(),()(??? 在帶有不確定性的選擇環(huán)境中，消費者的目標是讓預(yù)期效用最大化。因此，如上的預(yù)期效用 )(fEU 實際上給出了消費者在風(fēng)險選擇集合 )(SD 上的一個效用函數(shù)，稱其為 預(yù)期效用函數(shù) 。當(dāng) )(SXx ???? （ Sx? )為確定性行為時， )()()( xUEUEU x ?? ?? 。 因此，預(yù)期效用函數(shù) EU 是原來確定性的效用函數(shù) U 的擴充。 對于任何 )(, SDgf ? 及 ]1,0[?p ，復(fù)合隨機行為 gppf )1( ?? 的預(yù)期效用為 )()1()()()()1()()())()1(()())1((gEUpfp E UxdgxUpxdfxUpxgppfdxUgppfEU???????????? ?? ?? ?????????????????????? 也即對于任何 )(, SX??? 及 ]1,0[?p ，都有 )()1()())1(( ???? EUpp E UppEU ????? 。這說明不確定性條件下，從確定性效用函數(shù)導(dǎo)出的預(yù)期效用函數(shù)具有預(yù)期效用性質(zhì)。 三、預(yù)期效用函數(shù) 預(yù)期效用性質(zhì)在不確定性或風(fēng)險問題研究中是相當(dāng)重要的，也是有力的工具。確定性效用函數(shù)引導(dǎo)的預(yù)期效用函數(shù) EU ，既具有預(yù)期效用性質(zhì)，又誘導(dǎo)出了風(fēng)險選擇集合 )(SD 上的一個偏好關(guān)系 U ：對于任何 )(, SDgf ? ， f gU 當(dāng)且僅當(dāng) )()( gEUfEU ? 。對于這個偏好關(guān)系 U 來說，表示它的效用函數(shù)有無窮多個，但 EU 是所有這些效用表示中最重要的一個，因為這個效用函數(shù)具有預(yù)期效用性質(zhì)。 更一般地，我們有下面的定義。 預(yù)期效用性質(zhì) ． 風(fēng)險選擇集合 )(SD 上的效用函數(shù) u 叫做具有預(yù)期效用性質(zhì)，是指對任何)(, SDgf ? 及任何實數(shù) ]1,0[?p ，都有 )()1()())1(( gupfpugppfu ????? 。 如果直接采用隨機向量集合 )(SX 表示風(fēng)險選擇集合，那么預(yù)期效用性質(zhì)的表達方式變成為： 任何 )(, SX??? 及任何實數(shù) ]1,0[?p ，都有 )()1()())1(( ???? uppuppu ????? 。 凡是具有預(yù)期效用性質(zhì)的效用函數(shù) RSDu ?)(: （或者 RSXu ?)(: ），都叫做 預(yù)期效用函數(shù) ，或者叫做 von NeumannMenstern 效用函數(shù) ，簡稱為 VNM 效用函數(shù) 。不過采取后一種叫法時，其意義已經(jīng)擴