【文章內(nèi)容簡介】 4．積分的極限定理 ． 6 丁宜浩 黃東來．勒貝格積分三種定義的等價證明［ J］ ． 桂林電子工業(yè)學(xué)院學(xué)報第 2 期． 2020． 這篇論文給出了 3 種形式各異的勒貝格積分定義并證明了其等價性，使讀者能從不同角度理解勒貝格積分． 7 毛約平 ． L 積分的三大極限定理在 qER? 時的等價性證明［ J］．大慶師范學(xué)院學(xué)報第 27 卷． 2020． 論文將 Lebesgue 積分的三大極限定理聯(lián)系起來進(jìn)行研究，在由 Lebesgue 控制收斂定理證 明 Levi 定理，再由 Levi 定理證明 Fatou 定理的基礎(chǔ)上，給出了由Fatou 定理到 Lebesgue 控制收斂定理的一個證明． 8 胡紹宗 勒貝格定理的有趣證明及黎曼函數(shù)的可積性［ J］ ． 阜陽師范學(xué)院學(xué)報第 17 卷 .2020． 勒貝格定理是研究黎曼積分和勒貝格積分的重要工具．本文是從振幅的角度證明勒 貝格定理，并給出典型例子加以說明． 附 論文里常的公式概念 （ 1）德摩根公式： ()C A C A???? ???ss， ()C A C A???? ???ss （ 2）博雷爾集（ Borel ）：凡從開集出發(fā)，用取余集，取有限并或可列并，有限交或可列交等手續(xù)不起過可數(shù)多次而得到的集合，都稱為 Borel 集． （ 3）可測集：通俗地說，凡零測度集，區(qū)間，開集， G? 型集， F? 型集， Borel茂名 學(xué)院本科畢業(yè) (設(shè)計 )論文 :Lebesgue 積分的拓展研究 8 集都是可測集． （ 4） lim {nn Ax?? ?當(dāng) n 充分大以后都有 }nxA? ． （ 5） lim {nn Ax?? ?存在無窮多個 nA ，使 }nxA? ． （ 6） lim ( ) su p ( in f ( ) )nmmnn nf x f x??? ???． （ 7） lim ( ) in f ( s u p ( ) )nmnn mnf x f x???? ??． （ 8） ( l im ) l im l im ( l im )n n n nnnm E m E m E m E? ? ? ??? （ 9）幾乎處處：設(shè) ? 是一個與集合相關(guān)的命題，如果存在 E 的子集 M ，適合 0mM? ，使得 ? 在 \EM上恒成立，則稱 ? 在 E 上幾乎處處成產(chǎn)，記作 ..ae 成立． （ 10）設(shè)11( ) i n f { ( ) , ( ) , ...}n n nnU x f x f x???，則 lim ( ) lim ( )nnn nU x f x?? ???． （ 11）設(shè)11( ) su p { ( ) , ( ) , ...}n n nnV x f x f x???，則 lim ( ) lim ( )nnnnV x f x? ? ? ??． （ 12）設(shè) { ( )}n x? E 上非負(fù)遞增函數(shù)列，且 lim ( ) ( )nn xx???? ?，則對于任取自然數(shù) N ，函數(shù)列 {[ ( )] }nNx? 是一致有界的，并且 lim [ ( )] [ ( )]n N Nn xx???? ?． 第 二 章 :可測函數(shù) 9 第二章 可測函數(shù) 實變函數(shù)是 建立在可測函數(shù)基礎(chǔ)上的積分理論．本章我們對可測函數(shù)進(jìn)行某些深刻的探討，我們會發(fā)現(xiàn)可測函數(shù)不是連續(xù)函數(shù)的簡單推廣，這是定義在測試論基礎(chǔ)上構(gòu)造出來的，但它能把連續(xù)函數(shù)，可導(dǎo)函數(shù)，單調(diào)函數(shù)作為特例加以概括，能夠證明，區(qū)間上的任意連續(xù)函數(shù)都是可測函數(shù)，而狄利克雷函數(shù)則是不連續(xù)的可測函數(shù)，它比連續(xù)函數(shù)要寬泛得多． 可測函數(shù)定義 的幾種等價性 實變函數(shù)論中核心的內(nèi)容之一是建立在可測函數(shù)類上的 Lebesgue 積分理論．因此歐氏空間中 Lebesgue 意義下可測集（簡稱可測集）上的可測函數(shù)，如同連續(xù)函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中主要研究對象一樣，是實變函數(shù)認(rèn)（簡稱實變）中研究的主要對象．實變主要限于考慮可測函數(shù)類，是因為只有可測函數(shù)才便于應(yīng)用測度論，尤其是基于測度的 Lebesgue 積分，只能用于可測函數(shù)．因而可測函數(shù)概念是實變中的一個基本概念。透徹理解和掌握這一概念，對學(xué)好 Lebesgue 積分理論無疑是非常重要的． 目前實變的 各 類著作（包括教材，論文）中定義的可測函數(shù)概念形式上不盡相同．本文在 n 維歐氏空間 nR 中歸納出有關(guān)可測函數(shù)五種常見的定義，并通過對它們等價性的證明和評論，加深對可測函數(shù)定義的理解，從而更好地把握這一概念的實質(zhì)，開拓研究問題的思路，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力． 五種常見的可測函數(shù)定義 定義 1 設(shè) ()fx為定義在 L 可測集 nER? 上的 實函數(shù)，如果對任何有限實數(shù)a ， []E f a? 都是可測集，則稱 ()fx為定義在 E 上的 Lebesgue 可測函數(shù)（簡稱可測函數(shù)）． 注 1：事實上，用這種方式定義可測函數(shù)，定義中的判斷條件 []E f a? 改為： （ 1） 對任何有限實數(shù) a ， []E f a? 都是可測集； （ 2） 對任何有限實數(shù) a ， []E f a? 都是可測集； （ 3） 對任何有限實數(shù) a ， []E f a? 都是可測集； （ 4） 對任何有限實數(shù) a ， b ()ab? ， []E a f b?? 都是可測集， 結(jié)果都是等價的． 定義２ 設(shè) ()fx為定義在 L 可測集 nER? 上的實函數(shù)，若存在 E 上的簡單函數(shù)列 { ( )}n x? ，使得 lim ( ) ( )nn x f x??? ? ()xE? ，則稱 ()fx為 E 上的可測函數(shù)． 茂名 學(xué)院本科畢業(yè) (設(shè)計 )論文 :Lebesgue 的拓展研究 10 定義３ 設(shè) ()fx為 L 可測集 nER? 上幾乎處處有限的實函數(shù)，若 0???，存在閉集 FE? ，使得 ()m E F ???，且 ()fx在 F 上連續(xù)，則稱 ()fx為 E 上的可測函數(shù)． 這實質(zhì)上就是魯津定理 (見第三節(jié) ) 定義４ 設(shè) ()fx為定義在 L 可測集 nER? 上的實函數(shù)， ,若任給 nR 中開集G (閉集 F )，有 1()fG? 1( ( ))fF? 為 L 可測集，則稱 ()fx為 E 上 的可測函數(shù)． 定義５ 設(shè) ()fx為定義在 L 可測集 nER? 上的非負(fù)實函數(shù)， ()fx在 E 上的下方圖形 ( , ) { ( , ) , 0 ( ) }G E f x y x E y f x? ? ? ?為 L 可測集，則稱為 E 上非負(fù)可測函數(shù)． 一般地， ()fx為 L 可測集 nER? 上的實函數(shù)，若 ( ) m a x{ ( ), 0}xEf x f x? ??，( ) m a x { ( ), 0}xEf x f x? ???均為 E 上的非負(fù)可測函數(shù)，則稱 ()fx為 E 上的可測函數(shù)． 定義注釋 縱觀上述五種可測函數(shù)的定義，其實它們都是等價的．他們是從不同的角 度描述了這一概念，從而使我們對這一概念獲得較全面而深刻的領(lǐng)會， 且受到研 究問題思維方法的啟示，各 個定義都有自己的優(yōu)勢 和 局限，在深刻理解和掌握它們后，就可根據(jù)不同問題的條件和需要，靈活地采用某種定義去解決這些問題，使可測函數(shù)具有更廣泛的應(yīng)用，以達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力的目的． （ 1）定義 1 從函數(shù) ()fx的水平集 []E f a? 的可測性角度描 述函數(shù)可加性．該定義通常是根據(jù)建立 L 積分所需要的條件而引入可測函數(shù)概念的，比較自然，且簡捷明快，故易于理解和接受；其次，該定義與測度論聯(lián)系緊密，便于運用測度論知識來研究函數(shù)的可測性，故一般的實函數(shù)教材通常多采用這一形式來定義可測函數(shù)．但這一定義不易看出可測函數(shù)的結(jié)構(gòu)，可能易將函數(shù)的可測性與點集的可測性相混淆． （ 2）定義 2 和定義 3 是從不同構(gòu)造逼近的角度，利用簡單函數(shù)類，連續(xù)函數(shù)類關(guān)于極限運算的非封閉性，分別用簡單函數(shù)，連續(xù)函數(shù)列的極限來刻畫可測函數(shù)的．定義 2 表明可用簡單函數(shù)去逼近比連續(xù)函數(shù)更為廣泛的可測函數(shù)；定義3 表明 L 可測集 E 上的可測函數(shù) f ，可用含于 E 的一列閉集 F? 上的連續(xù)函數(shù) nf 去逼近，或在 E 中挖去一 個使得余集為閉集的測度可任意小的集之后，將 f ＂改造＂成為連續(xù)函數(shù)．這使得我們把握住了可測函數(shù)的結(jié)構(gòu)和實質(zhì)；可以將可測函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)或連續(xù)函數(shù)的問題，使問題得到簡化，用熟悉的知識去處理和研究可測函數(shù)問題．但這兩個定義并未給出具體的構(gòu)造方法，而要構(gòu)造滿足要求的簡單函數(shù)列或閉集并非易事． （ 3）定義 4 是從映射的角度來描述可測函數(shù)的本質(zhì)屬性的．它表明可測函第 二 章 :可測函數(shù) 11 數(shù) f 的逆映射 1f? 是兩個子不同的 Borel??? 集類到 L 可測集類之間的一各對應(yīng)．特別地， f 為連續(xù)函數(shù) ? ? 開集 nGR? ， 1()fG? 為開集，而開集是 L 可測的．可見，連續(xù)函數(shù)是可測函數(shù)的一個特例，或者說可測函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的一種推廣．這一定義還可以使我們對可測函數(shù)有更廣泛和抽象的認(rèn)識．定義 4 的缺點是對初學(xué)者不易理解，不過學(xué)過點集拓?fù)涞某鯇W(xué)都是完全沒問題的． （ 4）定義 5 是從幾何圖形的角度提示可測函數(shù)的特性．它表明 L 可測集 E 上非負(fù)實函數(shù) f 的可測性，是由 n 維 L 可測集 E 和其上 f 的圖象所確定的 1n? 維點集 ( , )GE f 的 L 可測性所決定的，它給出了非負(fù)可測函數(shù)的 幾 何意義，這一定義，定義直觀易懂，并可為稍后建立的 L 積分獲得明顯的幾何意義，可將 L 積分值的計算轉(zhuǎn)化為相應(yīng)點集測度的計算，為 L 積分計算和利用測度論知識研究 L 積分開辟一 個途徑．但這一定義要分兩步來處理，先 對非負(fù)函數(shù)后轉(zhuǎn)化為一般函數(shù)再行研究，顯得較繁瑣，而且這一定義不利 于進(jìn)一步作抽象的推廣． 可測函數(shù)在可測集上的運算 可測函數(shù)是從測度的觀點來展開研究的，本節(jié)通過可測函數(shù)之間的不等式關(guān)系，來討論它們 在可測集上的測度大小，并且為下節(jié)介紹三大收斂定理時作準(zhǔn)備． [1]引 理 設(shè) ()fx與 ()gx 為 E 上的可測函數(shù)，則 []E f g? 與 []E f g? 都是可測集． 證明 因 [ ] [ ]E f g E E f g? ? ? ?，故只須證明 []E f g? 可測． 設(shè) 0 []x E f g??，亦即 00( ) ( )f x g x? ，則必存在有理數(shù) r ，使 00( ) ( )f x r g x?? ，亦即 0 [ ] [ ]x E f r g r? ? ?，反之亦然． 因此，設(shè)有有理數(shù)全體為 1 2 3, , ,...r r r ，則 1[ ] ( [ ] [ ] )nnnE f g E f r E g r??? ? ? ?， 由可測 集的性質(zhì)，等式右邊顯然都是可測集．證畢． [12]1定 理 設(shè) ()fx與 ()gx 是定義在 nER? 上的可測函數(shù)，若 xE?? ，有( ) ( )f x g x? ，則 aR?? ，有 （ 1） [ ] [ ]m E f a m E g a? ? ?， （ 2） [ ] [ ]m E f a m E g a? ? ?． 證明 （ 1）對 aR?? ， []x E f a? ? ? ，有 ()f x a? ，又 ( ) ( )f x g x? ，從而( ) ( )g x f x a??，因而有 [ ( ) ]x E g x a??且 [ ] [ ]E f a E g a? ? ?， 所以 [ ] [ ]m E f a m E g a? ? ?． （ 2）對 aR?? ，由于 [ ] [ ]E f a E g a? ? ?，有 茂名 學(xué)院本科畢業(yè) (設(shè)計 )論文 :Lebesgue 的拓展研究 12 [ ] [ ]EEC E f a C E g a? ? ?，即 ] [ ]E f a E g a? ? ?， 所以 [ ] [ ]m E f a m E g a? ? ? [12]2定 理 設(shè) ()fx， 1()gx， 2()gx為 E 上的可測函數(shù)，若對 xE?? ，有 12( ) ( ) ( )f x g x g x??，則對 aR?? ，有 12[ ] [ ] [ ]22aam E f a m E g m E g? ? ? ? ?． 證明 反證法． 對 []x f a? ? ? ，有 ()f x a? ，假設(shè)1()2agx?且2()2agx?，有12( ) ( ) 22aag x g x a? ? ? ?，而由 12( ) ( ) ( )f x g x g x??推知 ()f x a? ，與前面假設(shè)矛盾．所以12( [ ] [ ] )22E aax C E g E g? ? ? 由德摩根公式，我們得到12[ ] [ ]22aax E g E g? ? ?，從而12[ ] [ ] [ ]22aaE f a E g E g? ? ? ?，進(jìn)而推出 1 2 1 2[ ] ( [ ] [ ] ) [ ] [ ]2 2 2 2a a a am E f a m E g E g m E g m E g? ? ? ? ? ? ? ?． 現(xiàn)在我們 再 把定理 2 逐步推廣到無限個函數(shù)上． 定理 3 設(shè) ()fx， 1()gx