高考理科數(shù)學(xué)等差數(shù)列復(fù)習(xí)資料(編輯修改稿)
2025-09-25 14:44 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 復(fù)習(xí)（第 1輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 25 ? 設(shè)等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，已知S5=S13，且 a1＞ 0，求當(dāng) n為何值時(shí)， Sn最大 . ? 解法 1：由 S5=S13， ? 得 ? 所以 ? 所以 ? 因?yàn)?a1＞ 0，所以當(dāng) n=9時(shí)， Sn取最大值 . ( ) ( )a a d a a d? ? ? ??1 1 1 15 4 1 3 1 222［ ］ ［ ］ ，da?? 1217 ，( ) ( ) .nn n d nS n a a? ? ? ?? ? ? 2111 9 8 12 1 7參考題 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 26 ? 解法 2：因?yàn)?S5=S13， ? 所以 5a1+10d=13a1+78d， ? 所以 ? 所以由 ? 解得 ≤n≤. ? 又 n∈ N*，所以 n=9時(shí)， Sn最大 . .da?? 1217( ) ( )na a n a? ? ? ? ?11 21017()na a n a? ? ? ? ?1 1 12 017 ， 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 27 ? 解法 3：因?yàn)?S5=S13， ? 所以 S13S5=0， ? 即 a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+a13=0. ? 又 a6+a13=a7+a12=a8+a11=a9+a10， ? 所以 a9+a10=0. ? 又 a1＞ 0，所以 a9＞ 0， a10＜ 0. ? 故當(dāng) n=9時(shí)， Sn最大 . 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 28 ? 1. 由五個(gè)量 a d、 n、 an、 Sn中的三個(gè)量可求出其余兩個(gè)量 ， 即 “ 知三求二 ” .要求選用公式恰當(dāng) ， 即能減少運(yùn)算量 ， 達(dá)到快速 、 準(zhǔn)確的目的 . 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 29 ? 2. 在等差數(shù)列中 ， 當(dāng) a1＞ 0， d＜ 0時(shí) ， 解不等式組 an≥0 ? an+1≤0可得 Sn達(dá)到最大值時(shí)的 n的值；當(dāng) a1＜ 0， d＞ 0時(shí) ， 解不等式組 ? an≤0 ? an+1≥0可得 Sn達(dá)到最小值時(shí)的 n的值 . 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 30 第三章 數(shù)列 第 講 （第二課時(shí)） 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 31 ? 考點(diǎn) 3:等差數(shù)列中的證明問(wèn)題 ? 1. 設(shè) {an}是公差為 d的等差數(shù)列 . ? (1)求證：以 bn= (n∈ N*)為通項(xiàng)的數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列； 12 na a an? ? ? 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 32 ? (1)證明：因?yàn)榈炔顢?shù)列 {an}的公差是 d(常數(shù) )， 所以 ? 所以 {bn}是等差數(shù)列 . 1 2 1 2 111 1 11 1 111( ) ( 1 ) ( )2 2( 1 )11 ( ) ( ) 2.2 2 2 2nnnnnnnnnna a a a a abbnnn a a n a anna a a aa a d n? ? ? ? ? ???????? ? ? ?常 數(shù) ， 其 中 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 33 ? (2)若 a1d≠0，問(wèn)數(shù)列 {an}中的任一項(xiàng) an是否一定在 (1)中數(shù)列 {bn}中？如果是，設(shè)此項(xiàng)為bm，探求此時(shí) n與 m的關(guān)系式；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由 . ? 由 (1)知， bn=b1+ (n1)， ? 且 b1=a1， ? 即 bn=a1+ (n1)， an=a1+d(n1). ? 假設(shè)存在符合題意的項(xiàng)，則由 an=bm， 2d 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 34 ? 可得 a1+d(n1)=a1+ (m1)， ? 所以 (m1)=n1， ? 即 m=2n1. ? 由 m， n都是正整數(shù)可得此式成立 . ? 故數(shù)列 {an}中的任一項(xiàng) an一定在數(shù)列{bn}中 . 2d12 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 35 ? 【 點(diǎn)評(píng) :】 一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件可以是： ① an+1an=d； ② an=an+b； ③Sn=an2+bn(Sn 是前 n 項(xiàng)和 ) ； ④an+2+an=2an+ a是否為某數(shù)列 {an}的項(xiàng) ， 就是方程 an=a是否有對(duì)應(yīng)的正整數(shù)解 . 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 36 已知數(shù)列 ??????????an ，首項(xiàng) a 1 ＝ 3 ，且 2 a n ＝ S n S n－ 1 ( n ≥ 2) ． ( 1 ) 求證：??????????1Sn是等差數(shù)列，并求其公差； ( 2 ) 求 ??????????an 的通項(xiàng)公式． 高中總復(fù)習(xí)（第
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