【文章內(nèi)容簡介】 式 ()兩邊取期望 E ，根據(jù)平穩(wěn)時間序列均值為常數(shù)的性質(zhì)，有 ??tEx ，且因為 t? 為零均值的白噪聲，有 0,0,0,0 21 ???? ??? qtttt EEEE ???? ?，所以： ????????? ??????? ??? )( 2211 qtqtttt EEx ? () 如果把非中心化的 )(qMA 序列減去上式 ()中的 ? ，則轉(zhuǎn)化為中心化 )(qMA 序列。特別地，對于中心化 )(qMA 序列，有 0?tEx 。 引進(jìn)延遲算子，設(shè) qq BBBB ??? ?????? ?2211)( ，又稱為 q 階自移動平均系數(shù)多項式，則中心化 )(qMA 模型可以簡記為： tt Bx ?)(?? () （ 2） )(qMA 模型的方差 平穩(wěn) )(qMA 模型的方差為： 2222212211)1()()(?????????????qqtqtttt V a rxV a r??????????? ????? () （ 3） )(qMA 模型的自協(xié)方差 平穩(wěn) )(qMA 模 型的自協(xié)方差 只與滯后階數(shù) k 相 關(guān)，且 q 階截尾 。當(dāng) 0?k 時，222221 )1()()0( ?????? qtxV a r ?????? ?；當(dāng) qk? 時， 0)( ?k? ；當(dāng) qk??1 時，有 ： 1ba694132f173c3031b404de55e1b101 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電子商務(wù)系列 上海財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 14 of 54 2111111)()])([()()(???????????????????????????????????????????kkqiikqktqktktqtqttkttExxEk?? () （ 4） )(qMA 模型的自相關(guān)系數(shù) 平穩(wěn) )(qMA 模型的自相 關(guān)系數(shù)為 ： ????????????????????????qkkqkkqkqikikk,01,10,1)0()(22111????????? () （ 5） )(qMA 模型的偏自相關(guān)系數(shù) 在中心化的平穩(wěn) )(qMA 模型場合，滯后 k 階偏自相關(guān)系數(shù)為： ),|( ),|( 11 11 ???? ????? kttkt kttkttkk xxxV ar xxxxE ??? () 容易證明 ， 平穩(wěn) )(qMA 模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾性。 圖 和圖 的 是 一個平穩(wěn) )1(MA模型的樣本自相關(guān)圖和樣本偏自相關(guān)圖。 M A ( 1 ) 模型的自相關(guān)函數(shù)A C F ( k )0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12延遲k自相關(guān)系數(shù) ??? tttx ??1ba694132f173c3031b404de55e1b101 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電子商務(wù)系列 上海財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 15 of 54 圖 一個 MA(1)模型 n=101 樣本自相關(guān)函數(shù)截尾圖 圖 一個 MA(1)模型 n=101 樣本偏自相關(guān)函數(shù)拖尾圖 （ 6） )(qMA 模型的可逆性 容易驗證當(dāng)兩個 )1(MA 模型具有如下結(jié)構(gòu)時： 11111:2:1??????ttttttxx??????模型模型 () 根據(jù)公式 ()計算， )1/( 2111 ??? ??? ，它們的自相關(guān)系數(shù)正好相等。即不同的模型卻擁有完全相同的自相關(guān)系數(shù)。這種自相關(guān)系數(shù)的不 唯 一性將會導(dǎo)致擬合模型和隨機(jī)時間序列之間不會是一一對應(yīng)關(guān)系。為了保證一個給定的自相關(guān)函數(shù)能夠?qū)?yīng) 唯 一的 )(qMA 模型，我們需要給模型增加約束條件。這個約束條件稱為 )(qMA 的可逆性條件。把 式 ()中兩個 )1(MA 模型表示成兩個自相關(guān) AR模型形式： ttttBxBx????????1111:21:1模型模型 () 注意 ， 表 示 成 自 相 關(guān) AR 模 型 時 運(yùn) 用 公 式 ??????? ? 321 1)1( aaaa ，其中M A ( 1 ) 模 型 的 偏 自 相 關(guān) 函 數(shù) P A C F ( k )0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12延遲k偏自相關(guān)系數(shù) ??? tttx ??1ba694132f173c3031b404de55e1b101 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電子商務(wù)系列 上海財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 16 of 54 11 /?? BaBa ?? 或 。顯然，當(dāng) 11?? 時，模型 1 收斂，而模型 2 不收斂；當(dāng) 11 ?? 時，則模型 2收斂，而模型 1 不收斂。若一個 )(qMA 模型能夠表示成收斂的 AR 模型形式，那么該 )(qMA 模型稱為可逆模型。一個自相關(guān)系數(shù) 唯 一對應(yīng)一個可逆 )(qMA 模型。 3. ),( qpARMA 模型 具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動平均模型，簡記為 ),( qpARMA ： qtqtttptptttt xxxx ??????? ?????????? ??????????? ?? 221122110 () 若 00?? ，該模型稱為中心化 ),( qpARMA 模型。模型的限制條件與 )(pAR 模型、 )(qMA 模型相同。引進(jìn)延遲算子，中心化 ),( qpARMA 模型簡記為： ttxB ???? )( () 式 中 ： Pp BBBB ??? ?????? ?2211)( ，稱為 p 階 自 回 歸 系 數(shù) 多 項 式 ，qq BBBB ??? ?????? ?2211)( ，稱為 q 階自移動平均系數(shù)多項式。 顯然，當(dāng) 0?q 時， ),( qpARMA 模型就退化成 )(pAR 模型；當(dāng) 0?p 時， ),( qpARMA 模型就退化成 )(qMA 模型。所以， )(pAR 模型和 )(qMA 模型實際上是 ),( qpARMA 的特例，它們統(tǒng)稱為ARMA 模型。而 ),( qpARMA 模型的統(tǒng)計性質(zhì)也正是 )(pAR 模型和 )(qMA 模型統(tǒng)計性質(zhì)的有機(jī)組合。 由于 ),( qpARMA 模型可以轉(zhuǎn)化為無窮階移動平均模型， 因此， ),( qpARMA 模型的自相關(guān)系數(shù)不截尾。同理，由于 ),( qpARMA 模型也可以轉(zhuǎn)化為無窮階自回歸模型， 因此， ),( qpARMA 模型的偏自相關(guān)系數(shù)也不截尾?？偨Y(jié) )(pAR 模型、 )(qMA 模型和 ),( qpARMA 模型的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的規(guī)律， 如 表 所示。 表 拖尾性和截尾性 模型 自相關(guān)系數(shù) k? 偏自相關(guān)系數(shù) kk? )(pAR 拖尾 p 階截尾 )(qMA q 階截尾 拖尾 ),( qpARMA 拖尾 拖尾 1ba694132f173c3031b404de55e1b101 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電子商務(wù)系列 上海財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 17 of 54 假如某個時間序列觀察值可以判定為平穩(wěn)非白噪聲序列，計算出樣本自相關(guān)系數(shù)（ ACF）和樣本偏自相關(guān)系數(shù)（ PACF）之后，就要根據(jù)它們表現(xiàn)出來的性質(zhì)，選擇階數(shù)適當(dāng)?shù)?ARMA 模型擬合 觀察值序列。即根據(jù)樣本的自相關(guān)系數(shù)和樣本偏自相關(guān)系數(shù)性質(zhì)估計自相關(guān)階數(shù) p? 和移動平均階數(shù) q? 。因此，這個過程也稱為模型定階過程或模型識別過程。 由于樣本的隨機(jī)性，樣本的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)不會呈現(xiàn)出理論截尾的完美情況，本應(yīng)截尾處仍會呈現(xiàn)出小值震蕩的情況。同時，由于平穩(wěn)時間序列通常都具有短期相關(guān)性，隨著延遲階數(shù)變大，自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)都會衰減至零值附近作小值波動。那么，如何判斷自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)是截尾還是拖尾呢 ？以及如果為截尾那么相應(yīng)的階數(shù)為多少？ 通常分析人員是依據(jù)樣本的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)近似分布來作出盡可能合理的判斷。Jankins 和 Watts 已經(jīng)證明樣本自相關(guān)系數(shù)是總體自相關(guān)系數(shù)的有偏估計： kk nkE ?? ?????? ?? 1)?( () 式中 ， k 為延遲階數(shù)， n 為樣本容量。根據(jù) Bartlett 公式計算樣本自相關(guān)系數(shù)的方差近似等于： jknnV ar jm mj jm mk ???? ?? ??? ),?1(1?1)?( 1 22 ??? () 當(dāng)延遲階數(shù) k 足夠大時， 0)?( ?kE ? ；當(dāng)樣本容量 n 充分大時， nVar k /1)?( ?? 。所以 ， 樣本自相關(guān)系數(shù)近似服從正態(tài)分布： )1,0(~? nNk? () Quenouille 證明，樣本偏自相關(guān)系數(shù)也同樣近似服從 正態(tài)分布： )1,0(~? nNkk? () 設(shè)顯著水平取 %5?? 。如果樣本自相關(guān)系數(shù)和樣本偏自相關(guān)系數(shù)在最初的 k 階明顯大于 2 倍標(biāo)準(zhǔn)差，而后幾乎 95%的系數(shù)都落在 2 倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，且非零系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然，通常視為 k 階截尾；如果有超過 5%的樣本相關(guān)系數(shù)大于 2 倍標(biāo)準(zhǔn)差，或者非零系數(shù)衰減為小值波動的過程比較緩慢或連續(xù)，通常視為拖尾。 五、 參數(shù)估計和檢驗 對于一個非中心化 ),( qpARMA ，有 ： tpqt BBx ?? )( )(???? () 通過樣本的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，估計出自相關(guān)階數(shù) p? 和移動平均階數(shù) q? 。為模型定階后，該模型共含有 2??qp 個未知參數(shù)： 211 ,, ??????? qp ?? 。參數(shù) ? 用樣本均值來估計總體均值（矩估計法）。對原序列中心化后，待估參數(shù)減少一個。對 1??qp 個未知參數(shù)的估計 方法1ba694132f173c3031b404de55e1b101 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電子商務(wù)系列 上海財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 18 of 54 有三種：矩估計、極大似然估計和最小二乘估計。 1. 參數(shù)的矩估計 用時間序列樣本數(shù)據(jù)計算出延遲 1 階到 qp? 階的樣本自相關(guān)系數(shù) k?? ，延遲 k 階的總體自相關(guān)系數(shù)為 ),( 11 qkk ????? ?? ，公式中包含 qp? 個未知參數(shù)變量 qp ???? ?? , 11 。如果用計算出的樣本自相關(guān)系數(shù)來估計總體自相系數(shù)，那么有 qp? 個聯(lián)立方程組： ?????????????? qpqpqpkqpkqp???????????????????),(?),(?),(11111111?????????? () 從中解出 qp? 個未知參數(shù)變量的值作為模型的參數(shù)估計值 qp ???? ?,?,?,? 11 ?? 。這種方法稱為參數(shù)的矩估計。 白噪聲序列的方差 2?? 的矩估計，是用時間序列樣本數(shù)據(jù)計算出樣本方差 2?x? 來估計總體方差 2x?求得。 ),( qpARMA 模型的兩邊同時求方差，并把相應(yīng)參數(shù)變量的估計值代入，可得白噪聲序列的方差估計為： 22212212 ???1??1xqp ??????? ????????? () 2. 參數(shù)的極大似然估計 當(dāng)總體分布類型已知時，極大似然估計 ML（ maximumlikelihood）是常用的估計方法。極大似然估計的基本思想，是認(rèn)為樣本來自使該樣本出現(xiàn)概率最大的總體。因此，未知參數(shù)的極大似然估計，就是使得似然函數(shù)（即聯(lián)合密度函數(shù)）達(dá)到最大值的參數(shù)值。即： ? ?),。,(m a x),。?,?,?,?( 111111 qPnnqP xxpxxL ???????? ?????? ? () 在時間序列分析中，序列的總體分布通常是未知的。為了便于分析和計算，通常假設(shè)序列服從多元正態(tài)分布，它的聯(lián)合密度