【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （ S 表示底面圓面積 ， r 表示底面圓的半徑， h 表示圓柱的高 ） 用字母表示數(shù)量關(guān)系 （ 1） “ a 與 b 的和”可以表示為： a＋ b （ 2） “ a 與 b 的差”可以表示為： a－ b （ 3） “ a 與 b 的積”可以表示為： a b 或 a b 或 ab 二 、用字母表示數(shù)的注意事項(xiàng) 字母可以表示任 何 數(shù)。 用字母表示實(shí)際問題中的量時(shí)，字母的取值要保證使這個(gè)問題有意義，且符合實(shí)際意義。 在同一問題中，相同的字母必須表示相同的量，不同的量必須用不同的字母表示。 表示數(shù)的字母往往具有抽象性和不具體性，如 － a 不一定代表負(fù)數(shù)。 表示數(shù)的字母具有其表示的數(shù)的性質(zhì)，如相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值等。 用字母表示數(shù)時(shí)要遵循規(guī)定 的、約定俗成的表示習(xí)慣，如習(xí)慣用 n表示自然數(shù)，用 h 表示高，用 V 表示體積，用 S 表示面積等等。 特別地， π是數(shù)字，不是字母。 第 2 節(jié) 代數(shù)式 一、代數(shù)式的概念 用基本的運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和字母 連接而成的式子叫做代數(shù)式。 13 【 說明 】 （ 1）基本的運(yùn)算符號(hào)包括加、減、乘、除、乘方及開方。 （ 2）單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。 （ 3）代數(shù)式 不含有 “ ＝ ”“ ≠ ”“ ＜ ”“ ＞ ”“≤”“≥” 等表示大小關(guān)系的符號(hào) 。 二、代數(shù)式的書寫要求 在代數(shù)式中，字母與字母、數(shù)字與字母相乘時(shí)，乘號(hào)通常簡(jiǎn)寫作“”或省略不寫，一般把數(shù)字寫在字母前面。例如 a b可以寫作“ a b”或“ ab”； a 4可以寫作“ 4 a”或“ 4a”。 在代數(shù)式中，數(shù)字與括號(hào)或字母與括號(hào)相乘時(shí)，乘號(hào)通常簡(jiǎn)寫作“”或省略不 寫，一般把數(shù)字或字母寫在括號(hào)前面。例如 3 (a＋ b)可以寫作“ 3 (a＋ b)”或“ 3(a＋ b)”； 又例如m (a＋ b)可以寫作“ m (a＋ b)”或“ m(a＋ b)）”。 帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)后再與字母相乘， 乘號(hào)通常簡(jiǎn)寫作“” 數(shù)字與數(shù)字相乘，仍用“”號(hào)。 在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般按照分?jǐn)?shù)的寫法來寫。例如， 4247。 (a— 4)可以寫作 在實(shí)際問題中，代數(shù)式往往是有單位的，如果代數(shù)式是積或商的形式， 將單位寫在代數(shù)式后面即可；如果代數(shù)式是和或差的形式，則必須把代數(shù)式用括 號(hào)括起來，再將單位寫在代 三 、列代數(shù)式 概念： 列代數(shù)式，就是用代數(shù)式表示實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系。 步驟 （ 1） 認(rèn)真審題，弄清問題中涉及哪些量，以及各數(shù)量之間的關(guān)系。 （ 2） 確定用什么運(yùn)算，以及運(yùn)算順序。 （ 3） 按照代數(shù)式的書寫要求，規(guī)范地寫出代數(shù)式。 四 、代數(shù)式的值 概念 用具體的數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式指明的運(yùn)算計(jì)算出的結(jié)果， 叫做代數(shù)式的值。 【 說明 】（ 1） 代數(shù)式的值不是一個(gè)固定的量，它隨著代數(shù)式中字母取值的變化而變化。 （ 2） 代數(shù)式中的字母可以取不同的數(shù)，但它所取的數(shù) 必須使代數(shù)式有意義且符合實(shí)筆記本，則 n 必須是 0 或正整數(shù)，否則代數(shù)式不符合實(shí)際意義。 求代數(shù)式的值 （ 1）步驟 ① 代入 —— 用具體數(shù)值代替代數(shù)式里的字母。 ② 計(jì)算 —— 按照代數(shù)式指明的運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果。 （ 2）注意事項(xiàng) ① 代入 時(shí)，原式中的運(yùn)算符號(hào)及數(shù)字不能改變。 ② 如果代數(shù)式里省略乘號(hào)，那么字母用數(shù)代替后要添上“ ”號(hào)。 ③ 代入負(fù)數(shù)和分?jǐn)?shù)時(shí)要加括號(hào)。 ④ 計(jì)算時(shí)注意運(yùn)算順序，同時(shí)考慮運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算。 14 第 3 節(jié) 整式 一、單項(xiàng)式 單項(xiàng)式的 概念 像 16π b 109 x、 (1＋ 15%)a 等，都是數(shù)與字母的乘積，這樣的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。 【 說明 】 （ 1） 單項(xiàng)式 中的數(shù)與字母之間必須是乘積關(guān)系，凡是字母出現(xiàn)在分母中的式子一定不是單項(xiàng)式。 （ 2） 單項(xiàng)式中不能含有加減運(yùn)算，如 +12x ， 2m－ 7 都不是單項(xiàng)式。 單項(xiàng)式的系數(shù) 單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)。如 的系數(shù)是 ， m 的系數(shù)是 1。 單項(xiàng)式的次數(shù) 一個(gè)單項(xiàng)式 中，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。如 的次數(shù)是 1， 3n2的次數(shù)是 2， 65x2y 的次數(shù)是 3。 【 說明 】（ 1） 若單項(xiàng)式中的某個(gè)字母沒有寫指數(shù)，則它的指數(shù)是 1，而不是 0。 （ 2） 單獨(dú)一個(gè)不為零的數(shù)的次數(shù)是 0，數(shù)字 0 沒有次數(shù)。如 2 的次數(shù)是 0。 （ 3） 單項(xiàng)式的次數(shù)僅與字母有關(guān)，而與系數(shù)的指數(shù)無關(guān)。如 32x2y3 的次數(shù)是 5。 二 、多項(xiàng)式 多項(xiàng)式的概念 幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。例如， ab－ ma， x2＋ xy＋ y2， － ab2＋ 1 等都是多項(xiàng)式。 多項(xiàng)式的項(xiàng) 在多項(xiàng)式中，每個(gè)單 項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)。例如， 多項(xiàng)式 x2－ x＋ 2 可以看作 是 x － x、2 這三個(gè)單項(xiàng)式的和，所以我們把 x — x、 2 叫做多項(xiàng)式 x2－ x＋ 2 的項(xiàng)。 多項(xiàng)式的次數(shù) 在一個(gè)多項(xiàng)式中，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)。 如，多項(xiàng)式 x2－ 3x＋ 2的次數(shù)是 2，多項(xiàng)式 2a2b＋ 3b－ 1 的次數(shù)是 3。 多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù) 多項(xiàng)式中單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)。例如，多項(xiàng)式 x2＋ 2 的項(xiàng)數(shù)是 2，項(xiàng)分別是x 2； 多項(xiàng)式 4a2b＋ 3b－ 1 的項(xiàng)數(shù)是 3，項(xiàng)分別是 4a2b、 3b、 － 1。 【 說明 】（ 1） 多項(xiàng)式中各單項(xiàng)式前面的 “ ＋ ”和“ － ” 是這個(gè)單項(xiàng)式的性質(zhì)符號(hào)，多項(xiàng)式中的 “和”指的 是省略加號(hào)的代數(shù)和，所以確定多項(xiàng)式的項(xiàng)時(shí)，不能忽略它的符號(hào)。 （ 2） 一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，最高次項(xiàng)是幾次，就叫做幾次幾項(xiàng)式。如 4a2b＋ 3b－ 1的項(xiàng)分別是 4a2b、 3b、 － 1，共 3項(xiàng)，最高次項(xiàng)是 4a2b，它的次數(shù)是 3 次，所以 4a2b＋ 3b－ 1 是三次三項(xiàng)式。 （ 3） 多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。 如多項(xiàng)式 4a2b＋ 3b－ 1 的常數(shù)項(xiàng)是 － 1。 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。 15 第 4 節(jié) 整式的加減 一、合并同類項(xiàng) 同類項(xiàng) 代數(shù)式中，所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫同類項(xiàng)。例如 ，在 多項(xiàng)式2a2b＋ 3b－ 4a2b＋ 5b－ 1 中， 2a2b 與 － 4a2b 是同類項(xiàng)， 3b 與 5b 是同類項(xiàng)。 【 說明 】（ 1） 特別地，所有的常數(shù)項(xiàng)是同類項(xiàng)。 （ 2） 同類項(xiàng)與項(xiàng)的系數(shù)無關(guān)，與項(xiàng)中字母的排列順序無關(guān)。 例 如 2m2n 與 3nm2是同類項(xiàng)。 合并同類項(xiàng) （ 1） 概念：把同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)。如 4a2b＋ 7a2b＝ 11a2b （ 2） 法則：合并同類項(xiàng)時(shí)，把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。 （ 3） 步驟 ① 準(zhǔn)確地找出同類項(xiàng)，確定其系數(shù)； ② 把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變； ③ 寫出合并后的結(jié)果。 【 說明 】 A、合并同類項(xiàng)的實(shí)質(zhì)是乘法分配律的逆用。如 4a2＋ 7a2＝ (4＋ 7)a2＝ 11a2 B、如果兩個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，那么合并后的結(jié)果為 0。 C、不是同類項(xiàng)的不能合并，要保留下來。只要不再有同類項(xiàng)，就是最后結(jié)果。 二 、去括號(hào) 去括號(hào)的意義：使運(yùn)算得以順利進(jìn)行。 例如，化簡(jiǎn) 8a＋ 2b＋ (5a－ b)，括號(hào)內(nèi)的 5a 和 － b 不是同類項(xiàng)，不能合并，同時(shí)我們又看到 8a 和 5a， 2b和 — b 是同類項(xiàng)， 不去括號(hào)無法合并，所以必須先去括號(hào)才能合并同類項(xiàng)。 去括號(hào) 的法則 （ 1） 括號(hào)前是“ ＋ ”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“ ＋ ”號(hào)去掉后，原括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都 不 改變。例如 3x2－ x＋ (2y－ 4m)＝ 3x2－ x＋ 2y－ 4m。 （ 2） 括號(hào)前是“ － ”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“ － ”號(hào)去掉后，原括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都 要 改變。 例 如 3x2－ x－ (2y－ 4m)＝ 3x2－ x－ 2y＋ 4m。 【 說明 】① 若括號(hào)前是數(shù)字因數(shù)時(shí)，應(yīng)用乘法分配律先將該數(shù)與括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)分別相乘，再去括號(hào)。例如 8a＋ 2b＋ 3(5m－ n)= 8a＋ 2b＋ (15m－ 3n)= 8a＋ 2b＋ 15m－ 3n ② 括號(hào)內(nèi)原有幾項(xiàng)，去括號(hào)后仍有幾項(xiàng)，不能 丟項(xiàng)。 三 、多位數(shù)的表示方法 用每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字乘以它所在位數(shù)，再把所得的單項(xiàng)式相加。例如，若百位上的數(shù)字是 a，十位上的數(shù)字為 b，個(gè)數(shù)上的數(shù)字為 c，則這個(gè)三位數(shù)可以表示為 100a＋ 10b＋ c。 四 、整式的加減 整式的加減，實(shí)質(zhì)就是將整式中的同類項(xiàng)進(jìn)行合并，如果有括號(hào)，應(yīng)先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)。 第 5 節(jié) 探索與表達(dá)規(guī)律 從具體的、實(shí)際的問題出發(fā)，觀察各個(gè)數(shù)量的特點(diǎn)及相互之間的變化規(guī)律。 由此及彼，合理聯(lián)想，大膽猜想，總結(jié)規(guī)律。 善于類比，從不同事物中發(fā)現(xiàn)其相似或相同點(diǎn)。 總結(jié)規(guī)律，作出結(jié)論 ，并驗(yàn)證結(jié)論是否正確。 在探索規(guī)律的過程中，要善于變換思維方式，收到事半功倍的效果。 16 第四章 基本平面圖形 第 1 節(jié) 線段、射線、直線 一、線段、射線、直線的概念 線段 線段是一個(gè)沒有定義的原始概念。我們只能描述它是“一根繃緊的琴弦”或“一根拉得很緊的線”等。線段有兩個(gè)端點(diǎn)。如圖 411 所示。 射線 線段向一個(gè)方向無限延長(zhǎng)就形成了射線。手電筒、探照燈所射出的光線可以近似地看做射線。射線有一個(gè)端點(diǎn)。如圖 412 所示。 直線 將線段向兩個(gè)方向無限延長(zhǎng)就形成了直線。筆直的鐵軌可以近似地看 做直線。直線沒有端點(diǎn)。如圖 413 所示。 二 、 線段、射線、直線的表示方法 線段的表示方法 （ 1） 用兩個(gè)大寫字母表示一條線段上的兩個(gè)端點(diǎn)，如圖 414 所示，這條線段就可以表示為“線段 AB”或“線段 BA”。 （ 2） 用一個(gè)小寫字母表示一條線段。如圖 415 所示，這條線段可以表示為“線段 a”，此時(shí)要在圖中標(biāo)出此小寫字母。 射線的表示方法 用一個(gè)大寫字 母表示射線的端點(diǎn)，用另一個(gè)大寫字母表示射線上除端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)。如圖 416 所示，這條射線就可以表示為“射線 OM”。 直線的表示方法 （ 1） 在直線上任取兩點(diǎn)，用表示這兩點(diǎn)的大寫字母表示這條直線。如圖 417 所示，這條直線可以表示為“直線 AB”或“直線 BA”。 （ 2） 用一個(gè) 小寫字母表示一條直線。如圖 418 所示，這條直線可以表示為“直線 l ”，此時(shí)要在圖中標(biāo)出此小寫字母。 【 說明 】① 表示線段、射線、直線時(shí)，都要在字母前面說明幾何圖形的名稱，如 “線段 CD” 、“射線 EF” 、 “ 直線 MN” 、 “ 線段 b” 、 “ 直線 m” 等。 ② 用兩個(gè)大寫字母表示直線、線段時(shí)，兩個(gè)字母沒有順序，而表示射線的兩個(gè)大寫字母有順序，必須把端點(diǎn)字母放在前面。如圖 414 中所示的 線段，表示為 “線段AB”或“ 線段 BA” 皆可，如圖 417 中所示的直線，表示為 “直線 AB”或“ 直線BA”皆可 ，而如圖 416 所示的射線，只能表示為 “射線 OM”，卻不能表示為“射線 MO” 。 17 三 、直線的基本性質(zhì) 經(jīng) 過一點(diǎn)可以畫無數(shù)條直線，或者說，經(jīng)過一點(diǎn)的直線有無數(shù)條。 經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線，或者說，兩點(diǎn)確定一條直線。 四 、線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系 名稱 區(qū)別 聯(lián)系 圖形 表示方法 界限 端點(diǎn) 長(zhǎng)度 線段 ①用兩個(gè)大寫字母表示一條線段上的兩個(gè)端點(diǎn)； ②用一個(gè)小寫字母表示一條線段。 兩方有界 2 個(gè) 有 ① 線段、射線、直線都是直的 ； ②線段向一個(gè)方向無限延長(zhǎng)形成射線，線段向兩個(gè)方向無限延長(zhǎng)形成直線； ③ 射線、線段 都是直線的一部分，線段是射線的一部分。 射線 用一個(gè)大寫字母表示射線的端點(diǎn)，用另一個(gè)大寫字母表示射線上除端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)。 一方有界 一方無限 1 個(gè) 無 直線 ①在直線上任取兩點(diǎn)，用表示這兩點(diǎn)的大寫字母表示這條直線； ②用一個(gè)小寫字母表示一條直線 。 兩方無限 0 個(gè) 無 第 2 節(jié) 比較線段的長(zhǎng)短 一、線段的性質(zhì) 兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短。簡(jiǎn)稱“兩點(diǎn)之間，線段最短”。 二、兩點(diǎn)之間的距離 兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離。 三、比較兩條線段的長(zhǎng)短 疊合法：即從形的角度來