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正文內(nèi)容

北師大版數(shù)學(xué)初二上冊知識點(diǎn)總結(jié)(編輯修改稿)

2025-02-24 19:11 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角 形. 該定理可一用來判定直角三角形. ( 1) 矩形的定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形. ( 2)矩形的性質(zhì) ① 平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有; ② 角:矩形的四個(gè)角都是直角; ③ 邊:鄰邊垂直; ④ 對角線:矩形的對角線相等; ⑤ 矩形是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.它有 2 條對稱軸,分別是每組對邊中點(diǎn)連線所在的直線;對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn). ( 3)由矩形的性質(zhì),可以得到直角三角線的一個(gè)重要性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. ( 1) 矩形的判定: ① 矩形的定義:有一個(gè)角是直角 的平行四邊形是矩形; ② 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形; ③ 對角線相等的平行四邊形是矩形(或 “ 對角線互相平分且相等的四邊形是矩形 ” ) ( 2) ① 證明一個(gè)四邊形是矩形,若題設(shè)條件與這個(gè)四邊形的對角線有關(guān),通常證這個(gè)四邊形的對角線相等. ② 題設(shè)中出現(xiàn)多個(gè)直角或垂直時(shí),常采用 “ 三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 ” 來判定矩形. ( 1) 關(guān)于矩形,應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認(rèn)識其特殊性:一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形,進(jìn)一步研究其特有的性質(zhì):是軸對稱圖形、內(nèi)角都是直角、對角線相等.同時(shí)平行四邊形的性質(zhì)矩形也都具有. 在處理許多幾何問題中 ,若能靈活運(yùn)用矩形的這些性質(zhì),則可以簡捷地解決與角、線段等有關(guān)的問題. ( 2)下面的結(jié)論對于證題也是有用的: ①△ OAB、 △ OBC 都是等腰三角形;②∠ OAB=∠ OBA, ∠ OCB=∠ OBC; ③ 點(diǎn) O 到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等. ( 1) 正方形的定義:有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形. ( 2)正方形的性質(zhì) ① 正方形的四條邊都相等,四個(gè)角都是直角; ② 正方形的兩條對角線相等,互相垂直平分,并且每條對角線平分一組對角; ③ 正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì). ④ 兩條對角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形,同時(shí),正方形又是軸對稱圖形,有四條對稱軸. 正方形的判定方法: ① 先判定四邊形是矩形,再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等; ② 先判定四邊形是菱形,再判定這個(gè)矩形有一個(gè)角為直角. ③ 還可以先判定四邊形是平行四邊形,再用 1 或 2 進(jìn)行判定. ( 1) 梯形的定義:一組對邊平行,另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形. 梯形中平行的 兩邊叫梯形的底,其中較短的底叫上底,不平行的兩邊叫梯形的腰,兩底的距離叫梯形的高. ( 2)等腰梯形:兩腰相等的梯形叫做等腰梯形. ( 3)直角梯形:有一個(gè)角是直角的梯形叫做直角梯形. 直角梯形:有一個(gè)角是直角的梯形叫做直角梯形. 邊:有一條腰與底邊垂直,另一條腰不垂直. 角:有兩個(gè)內(nèi)角是直角. 過不是直角的一個(gè)頂點(diǎn)作梯形的高,則把直角梯形分割成一個(gè)矩形和直角 三角形.這是常用的一種作輔助線的方法. ( 1) 性質(zhì): ① 等腰梯形是軸對稱圖形,它的對稱軸是經(jīng)過上下底的中點(diǎn)的直線; ② 等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等; ③ 等腰梯形的兩條對角線相等. ( 2)由等腰梯形的性質(zhì)可知,如果過上底的兩個(gè)頂點(diǎn)分別作下底的兩條高,可把等腰梯形分成矩形和兩個(gè)全等的直角三角形,因此可知等腰梯形是軸對稱圖形,而一般的梯形不具備這個(gè)性質(zhì). ( 1) 利用定義: 兩腰相等的梯形叫做等腰梯形; ( 2)定理:同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形. ( 3)對角線:對角線相等的梯形是等腰梯形. 判定一個(gè)梯形是否為等腰梯形,主要判斷梯形的同一底上的兩個(gè)角是否相等,可以通過添加輔助線把梯形底上的兩個(gè)角平移到同一個(gè)三角形中,利用三角形來證明角的關(guān)系. 注意:對角線相等的梯形是等腰梯形這個(gè)判定方法不可以直接應(yīng)用. ( 1) 中位線定義:連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線.( 2)梯形中位線定理:梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的一半. ( 3)梯形面積與中位線的關(guān)系: 梯形中 位線的 2 倍乘高再除以 2 就等于梯形的面積,即 梯形的面積 =12 2 中位線的長 高 =中位線的長 高 ( 4)中位線在關(guān)于梯形的各種題型中都是一條得天獨(dú)厚的輔助線. ( 1) 多邊形的概念:在平面內(nèi),由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形. ( 2)多邊形的對角線:連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段,叫做多邊形的對角線. ( 3)正多邊形的概念:各個(gè)角都相等,各條邊都相等的 多邊形叫做正多邊形. ( 4)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形,辨別凸多邊形可用兩種方法: ① 畫多邊形任何一邊所在的直線整個(gè)多邊形都在此直線的同一側(cè). ② 每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均小于 180176。 ,通常所說的多邊形指凸多邊形. ( 5)重心的定義:平面圖形中,多邊形的重心是當(dāng)支撐或懸掛時(shí)圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài),此時(shí)的支撐點(diǎn)或者懸掛點(diǎn)叫做平衡點(diǎn),或重心. 常見圖形的重心( 1)線段:中點(diǎn)( 2)平行四邊形:對角線的交點(diǎn)( 3)三角形:三邊中線的交點(diǎn)( 4)任意多邊形. ( 1) 多邊形的對角線:連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段,叫做 多邊形的對角線. ( 2) n 邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出( n3)條對角線.從 n 個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出( n3)條,而每條重復(fù)一次,所以 n 邊形對角線的總條數(shù)為: n( n3) 2( n≥ 3,且 n 為整數(shù)) ( 3)對多邊形對角線條數(shù)公: n( n3) 2 的理解: n 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)不能與它本身及左右兩個(gè)鄰點(diǎn)相連成對角線,故可連出( n3)條.共有 n 個(gè)頂點(diǎn),應(yīng)為 n( n3)條,這樣算出的數(shù),正好多出了一倍,所以再除以 2. ( 4)利用以上公式,求對角線條數(shù)時(shí),直接代入邊數(shù) n的值計(jì)算,而計(jì)算邊數(shù)時(shí),需利用方程思想,解方程求 n. ( 1) 多邊形內(nèi)角和定 理:( n2). ?80 ( n≥ 3)且 n 為整數(shù)) 此公式推導(dǎo)的基本方法是從 n 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出( n3)條對角線,將 n 邊形分割為( n2)個(gè)三角形,這( n2)個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和正好是 n 邊形的內(nèi)角和.除此方法之和還有其他幾種方法,但這些方法的基本思想是一樣的.即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形,這也是研究多邊形問題常用的方法. ( 2)多邊形的外角和等于 360 度. ① 多邊形的外角和指每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角,則 n 邊形取 n 個(gè)外角,無論邊數(shù)是幾,其外角和永遠(yuǎn)為 360176。 . ② 借助內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角概念共同推出以上結(jié)論:外角和 =180176。 n( n2) ?180176。 =360176。 . ( 1) 平面圖形鑲嵌的定義:用形狀,大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接.彼此之間不留空隙,不重疊地鋪成一片,這就是平面圖形的鑲嵌. ( 2)正多邊形鑲嵌有三個(gè)條件限制: ① 邊長相等; ② 頂點(diǎn)公共; ③ 在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為 360176。 . 判斷一種或幾種圖形是否能夠鑲嵌,只要看一看拼在同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角能否構(gòu)成周角,若能構(gòu)成 360176。 ,則說明能夠進(jìn)行平面鑲嵌,反之則不能. ( 3)單一正多邊形的鑲嵌:正三角形,正四邊形,正六邊形. ( 1) 中心對稱的定義 把一個(gè) 圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180176。 ,如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或中心對稱,這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心,這兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對稱點(diǎn).. ( 2)中心對稱的性質(zhì) ① 關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形能夠完全重合; ② 關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形,對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對稱中心,并且被對稱中心平分. ( 1) 定義 把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180176。 ,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心. 注意:中心對稱圖形和中心對稱不同,中心對稱是兩 個(gè)圖形之間的關(guān)系,而中心對稱圖形是指一個(gè)圖形自身的特點(diǎn),這點(diǎn)應(yīng)注意區(qū)分,它們性質(zhì)相同,應(yīng)用方法相同. ( 2)常見的中心對稱圖形 平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等. 位置的確定 平面內(nèi)特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)特征 ( 1)各象限內(nèi)點(diǎn) P( a, b)的坐標(biāo)特征: ① 第一象限: a> 0, b> 0; ② 第二象限: a< 0, b> 0; ③ 第三象限: a< 0, b< 0; ④ 第四象限: a> 0, b< 0. ( 2)坐標(biāo)軸上點(diǎn) P( a, b)的坐標(biāo)特征: ① x軸上: a 為任意實(shí)數(shù), b=0; ② y軸上
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