數(shù)學(xué)外文翻譯---數(shù)學(xué)分析原理第四章連續(xù)性第一節(jié)函數(shù)的連續(xù)性-其他專業(yè)(編輯修改稿)
2025-02-24 11:53 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 如果 f 與 g 將Ｅ映入 kR 內(nèi)，那么（ａ）仍然成立，而（ｂ）就要變?yōu)椋?b? ） （參看定理３ .４） 連續(xù)函數(shù) ４ .５ 定義 設(shè)Ｘ與Ｙ是度量空間， ,E X p E??并且 f 將Ｅ映入Ｙ內(nèi)，如果對于 每 一 個 0,?? 總存在 0,?? 對 于 一 切 滿 足 ( , )Xd x p ?? 的點(diǎn) xE? 來 說 ，( ( ), ( )) ,Yd f x f p ??就說 f 在 p 連續(xù)． 如果 f 在Ｅ的每一點(diǎn)都連續(xù)，就說 f 在Ｅ上連續(xù)． 應(yīng)該注意，要使 f 在點(diǎn) p 連續(xù)， f 必須在點(diǎn) p 有定義 ．（這一點(diǎn)請與定義４ .１后面的說明對比一下）． 如果 p 是Ｅ的一個孤立點(diǎn)，那么由我們的定義推知，每一個 以Ｅ為定義域的函數(shù)都在點(diǎn) p 連續(xù)．因?yàn)椋还苋〉哪膫€ 0,?? 總可以選一個 0,?? 使得滿足 ( , )Xd x p ?? 的點(diǎn)xE? 只有 xp? ；于是 ( ( ), ( )) 0 .Yd f x f p ??? ４ .６定理 在定義４ .５里所假定的情況下，再假定 p 是Ｅ的極限點(diǎn) ．那么， f 在 p 點(diǎn)連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng) lim ( ) ( )xpf x f p? ? 證 只要將定義４ .１和４ .５對比一下就清楚了． 現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)到函數(shù)的復(fù)合．下面定理的一種簡述是：連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)是連續(xù)的． ４ .７ 定理 設(shè)Ｘ ,Ｙ ,Ｚ是度量空間， EX? ， f 將Ｅ 映入Ｙ內(nèi)， g 將 f 的值域 ()fE映入Ｚ內(nèi)，而 h 是由 ( ) ( ( ))h x g f x? ()xE? ．定義的Ｅ到Ｚ的映射．如果f p E?在點(diǎn) 連續(xù) ，并且 g 在點(diǎn) ()fp連續(xù)，那么 h 在點(diǎn) p 連續(xù)． 這個函數(shù) h 叫做 f 和 g 的復(fù)合函數(shù)或者 f 和 g 合成．記號 h g f? 在本書中 經(jīng)常用． 證 設(shè) 0?? 已經(jīng)給定．因?yàn)?g 在 ()fp連續(xù)，便有 0?? 使得當(dāng) ( , ( ))Yd y f p ?? 和 湖北大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）外文翻譯 ()y f E? 有 ( ( ), ( ( )))Zd g y g f p ??．又因?yàn)?f 在點(diǎn) p 連續(xù)，那么存在著 0?? ，使得當(dāng)( , )Xd x p ?? 和 xE? 有 ( ( ), ( ))Yd f x f p ??．由此知道：當(dāng) ( , )Xd x p ?? 和 xE? 有( ( ) , ( ) ) ( ( ( ) ) , ( ( ) ) )ZZd h x h p d g f x g f p ?
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