【文章內(nèi)容簡介】 , ) 1tu X i ? ，當(dāng) 0i? 時， ( , )t t iu X i X ?? 。 迭代的 EM 過程通過使對數(shù)似然函數(shù) ()最大化來估計參數(shù)。它包括如下面描述的一個 E 步驟和一個 M 步驟 E 步驟：假設(shè) ? 是已知的，缺失的數(shù)據(jù) Z 由參數(shù) ? 和觀察數(shù)據(jù) X 的條件期望來代替。ktZ 的條件期望是 來自第 k 個混合分布組成部分 的 觀察 值 tX 和有條件的 ? 和 X 。設(shè) kt? 是ktZ 的條件期望，那么 1t ktt ktXk ktkt K Xk ktke e????? ?? ???? ? M 步驟：假設(shè)缺失的數(shù)據(jù)是已知的。那么，參數(shù) ? 的估計就能夠通過使對數(shù)似然函數(shù) l 最小化獲得。這 可以通過等同的表達式 ()減 ()為零來實現(xiàn)。 M 步方程變?yōu)? 11? , 1 , , ,nk kttp kknp??????? ? 111( , )( , ) , 0 , 1 , , , 1 , , .? ( , )knn k t t tk t t kpt p t pk j tjX u X iu X i i p k ku X i???? ? ? ??? ? ??? ? () 因為不能得到方程 （ ） 的 閉 型 解 ， 所以 使用標(biāo)準的 Newton–Raphson算法來得到估計。 畢業(yè)論文外文翻譯 8 值得注意的是，因為 , 1, ,k k K? 且 **2, / ( ) 0k kk k l ??? ? ? ? ?，所以我們能夠分別從每一組 分量 來考慮參數(shù) k? 的估計值。對于 , 0, , ,ki j p? 221 ( , ) ( , )n tk t t ttpk i k j k tXl Z u X i u X j? ? ???????? ? 這表明，以初始值 (0)k? 開始，在隨后的迭代中 k? 的值 可被指定為 ()12( 1 ) ( ) 39。 | ikiikkk k kll??? ? ? ??? ?????? ??? ? ??? 其中 ()ik? 是第 i 次迭代的值。實際上 ， ktZ 被設(shè)為 EM 程序中前面 E 步 中的 kt? ? 的估計 值 是通過 迭代 這兩個步驟，直到收斂獲得 的 。 設(shè) j? 是 ? 的第 j 個分量， 然后用于 檢驗 EM 過程收斂 的依據(jù) 是 ( 1) ( ) 5() 10iijjij???? ?? ? 其中 ()ij? 是第 i 次重復(fù)的值。 ?? 的標(biāo)準誤差可以由 缺失的 信息原則（ Louis， 1982）來計算。 但觀察到的信息矩陣的推導(dǎo)類似于 Wong and Li (2021, 2021)，很難處理， 所以在此省略。該估計量的性能是由平均絕對偏差錯誤（ MADE）評價，即 11 ?||m jjjm ??? ?? 其中 m是重復(fù)的次數(shù)。 我們已經(jīng)做了一些模擬研究， 用 以評估 EM 估計方法的性能。在所有的模型中， 我們 考慮了 MINARCH 模型（ ） 產(chǎn)生長度為 400 的系列， 獨立 的實現(xiàn) 100 次 。模型（ I）是 帶有以下 參數(shù)值 的 MINARCH（ 3。2,2）模型 1 2 3 10 11 12 20 21 22( , , , , , , , , ) ( 0. 4 , 0. 3 , 0. 3 , 0. 8 , 0. 6 , 0. 4 , 0. 4 , 0 .5 , 0. 6 , 0. 3 , 0. 1 , 0. 2)TT? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 模型（ II）是 帶有以下 參數(shù)值 的 MINARCH（ 3。2,2）模型 1 2 3 1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 2 2( , , , , , , , , ) ( 0 .4 , 0 .3 5 , 0 .2 5 , 0 .8 , 0 .5 , 0 .3 , 0 .4 , 0 .3 , 0 .1 , 0 .5 , 0 .3 , 0 .4 )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在第二節(jié)中的 MINARCH(2； 1， 1)模型 (A) 被用于其他的模擬實驗。值得注意的是，在 模型（ I）和（ A） 中 有非平穩(wěn) INARCH 分量 。 隨機初始化方法 被用來 選擇 EM 算法的初始值。 更多有關(guān)選擇 初始值的討論， 請參 畢業(yè)論文外文翻譯 9 閱 Biernacki 等 人 (2021 年 )和的 Karlis 與 Xekalaki(2021 年 )。 這里的 k? 初始值都是從均勻分布隨機 選取 的，所有 分量 都假定 在 估計 前 具有相等的概率 ；換句話說，所有 分量 的初始值都是 1 除以 分量 的個數(shù)。 模擬 實驗 的結(jié)果示于表 13 中。這些實驗表明， EM 估計方法具有合理的估計和絕對 小的 偏差錯誤。 本節(jié) 研究 MINARCH 模型 的 選擇問題。在我們的模型中 進行 模型選擇 有 兩個方面，分量 的數(shù)量和每個 INARCH 分量 的順序。我們 想到 赤池信息量準則（ AIC）和貝葉斯信息準則（ BIC），這已被證明在混合模型是有用的 (Wong和 Li， 2021， 2021。Fong 等 人 ，2021)。在這里，我們不討論 分量 個數(shù) K個的選擇問題 ，因為這是很難處理的。 表 1. 模型 (1)模擬研究的結(jié)果 k k? 0k? 1k? 2k? 1 True values Mean of estimates MADEs 2 True values Mean of estimates MADEs 3 True values Mean of estimates MADEs 表 2. 模型 (II)模擬研究的結(jié)果 k k? 0k? 1k? 2k? 1 True values Mean of estimates MADEs 2 True values Mean of estimates MADEs 3 True values Mean of estimates MADEs 畢業(yè)論文外文翻譯 10 表 3. 模型 (A)模擬研究 的結(jié)果 k k? 0k? 1k? 1 True values Mean of estimates MADEs 2 True values Mean of estimates MADEs 使用 AIC或 BIC選擇 K是有點不標(biāo)準， 因此 我們專注于每個組的 階數(shù) 選擇。我們采用 AIC 和 BIC 以下定義： *1*m a x12 2 ( 2 1 ),2 ( 2 1 ) l o g ( )KkkKkkA IC l K pB IC l K p n p??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 其中 maxp 是混合組份中最大允許的 INARCH 階數(shù)， *l 是從 MINARCH 模型的（條件）概率分布函數(shù)計算出來的最大化對數(shù)似然函數(shù)，其定義為： *11lo g !t ktXnK ktkt p k tel X??? ?? ? ???? ?????? 第三個標(biāo)準是奈克等 人 (2021） 提出 的 混合回歸標(biāo)準（ MRC） ，他是對混合回歸模型的 AIC 的擴展，并被證明在 MAR 模型是有效的。對于 MINARCH 模型，設(shè)1( , , )TpnU X X?? ， 11( , , ) , ( 1 , , , ) , 1 , ,TTp n j j j pV V V V X X j p n? ? ?? ? ? ?，且* ( 1 ) 1?( , )T T Tk k po?? ??? ， 1 / 2 1,1? ? ? ? ? ? ? ?? ?( ( , , ) ) , , ( ) , 1 , ,T T Tk k p k n k k k k k k kW d i