畢業(yè)論文---利用首次積分法解burgers-fisher方程的精確解-所有專業(yè)(編輯修改稿)
2025-02-24 00:50 本頁面
【文章內容簡介】 式 (),然后可以由 ()反推可以得到式 ().這樣就證明了式 ()是微分方程組 ()在區(qū)域內的一個首次積分 .證畢 . 一般的 ,若 n 階常微分方程組有 n 個相互獨立的首次積分 1, 2, , nVV V ，如果求得 n 階常微分方程組的 n 個相互獨立的首次積分 1, 2, , nVV V ，則可以通過上述方法求得 n 階常微分方程組的同 解 .其中首次積分 1, 2, , nVV V 在某一個子域 G 內的雅克比行列式 1212( , , ) 0( , , )nnD V V VD x x x ?,則稱 1, 2, , nVV V 是相互獨立的 . 除法定理 [5] 設 ( , ), ( , )P z Q z??是復數(shù)域 [ , ]Cz? 上 的多項式 ,而且 ( , )Pz? 在 [ , ]Cz? 上是不可約的 ,如果 ( , )Qz? 不包含 ( , )Pz? 的全部零點 ,就可以得到復數(shù)域 [ , ]Cz? 上存在一個多項式[ , ]Gz? 使得 ( , ) ( , ) [ , ]Q z P z G z? ? ?? . 數(shù)學與統(tǒng)計學院 2021屆畢業(yè)論文 4 首次積分法解非線性偏微分方程的步驟 . 給定一個非線性偏微分方程 ( , , , , ) 0x xx xtP u u u u ?, () 第一步運用行波變換 ( ),u u x ct??? ? ?將方程 ()化為二階常微分方程 ( , 39。, 39。39。, ) 0P u u u ? () 第二步令 ,39。x u y u??,將二階常微 分方程 ()化為一階常微分方程組 39。xy? 39。 ( , )y f x y? . () 設一階常微分方程 ()的首次積分形式為0( , ) ( ) 0m iiip x y a x y????(通常取 2m? )其中 ( )( 0,1, 2, )ia x I ? 是實數(shù)域上的待定的多項式 ,第三步我們根據(jù)除法定理 ,可以得到存在實數(shù)域上的多項式 ( ), ( )xx??使得 [ ( ) ( ) ] ( , )dp x x y p x yd ??? ?? . () 由等式 ()就可以確定 ( ), ( )xx??, ( ).( 0,1, 2, )ia x i ? ,第四步求出 ( , )pxy 最后將,39。x u y u??代 入方程0 ( ) 0m iii a x y? ??中 ,解這個方程就可以得到方程 ()的精確解 . BurgersFisher 方程的精確解 考慮非線性熱傳導 BurgersFisher 方程 [6] 數(shù)學與統(tǒng)計學院 2021屆畢業(yè)論文 5 (1 ) 0t xx xu vu uu u u? ? ? ? ?. () 首先設方程 ()有如下波形解 ( , ) ( )u x t u ?? , x ct??? , cR? . () 將 ()式帶入方程 ()可以得到 1 2 239。39。 39。 39。 (1 )u b u b uu b u u? ? ? ?. () 其中121,cbbvv? ? ? ?(v 為待定的常數(shù)，表示波速 ） .再令 ,x u y u???,那么方程 ()等價于 39。xy? 1 2 239。 (1 )y b y b xy b x x? ? ? ?. () 設 ()xx?? 和 ()yy?? 是方程組 ()的非平凡解 ,而且0( , ) ( )m iiip x y a x y?? ?是復數(shù)域C 上的不可約的多項式 ,滿足 0[ ( ) , ( ) ] ( ) 0m iiip x y a x y?? ????, () 其中 ( )( 0 ,1, 2 , , )ia x i m? 是關于 x 的多項式 , 0ma? .方程 ()就叫做 方程 ()的首次積分 .取 2m? ,我們注意到 dpd?是 x 和 y 的多項式 ,并且 [ ( ), ( )] 0p x y???表示 0dpd??.再根據(jù)除法定理 ,在復數(shù)域上存在一個多項式 ( , ) ( ) ( )H x y x y y????,使得 dp p dx p dyd x d x d? ? ????? 22 111 2 200[ 39。( ) ] [ ( ) ] [ ( 1 ) ]iiiiiia x y ia x y b y b x y b x x x????? ? ? ? ??? 數(shù)學與統(tǒng)計學
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