第2章-推理與證明【知識(shí)梳理】-20xx-20xx學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中專項(xiàng)復(fù)習(xí)(蘇教版)(編輯修改稿)
2025-04-03 04:04 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 思路：執(zhí)因索果綜合法又叫“順推證法”或“由因?qū)Чā保怯梢阎呦蚯笞C，即從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后導(dǎo)出待證結(jié)論或需求的問(wèn)題．綜合法這種由因?qū)Ч淖C明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法．綜合法的思維框圖：用表示已知條件，表示要證明的結(jié)論，為已知的定義、定理、公理等，則綜合法可用框圖表示為：（已知） （逐步推導(dǎo)結(jié)論成立的必要條件） （結(jié)論）注意（1）從“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因?qū)Ч?，其逐步推理?shí)際上是尋找它的必要條件； （2）用綜合法證明不等式，證明步驟嚴(yán)謹(jǐn)，逐層遞進(jìn)，步步為營(yíng)，條理清晰，形式簡(jiǎn)潔，宜于表達(dá)推理的思維軌跡； （3）因用綜合法證明命題“若A則D”的思考過(guò)程可表示為： 故要從A推理到D，由A推演出的中間結(jié)論未必唯一，如B、BB2等，可由B、BB2進(jìn)一步推演出的中間結(jié)論則可能更多，如C、CCCC4等等． 所以如何找到“切入點(diǎn)”和有效的推理途徑是有效利用綜合法證明問(wèn)題的“瓶頸”．綜合法證明不等式時(shí)常用的不等式（1）a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）；（2）（a，b∈R*，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）；（3）a2≥0，|a|≥0，(a－b)2≥0；（4）（a，b同號(hào)）；（a，b異號(hào)）；（5）a，b∈R，（6）不等式的性質(zhì)定理1 對(duì)稱性：a＞bb＜a．定理2 傳遞性：．定理3 加法性質(zhì)：．推論 ．定理4 乘法性質(zhì)：．推論1 ．推論2 ．定理5 開方性質(zhì)：．分析法定義一般地，從需要證明的命題出發(fā)，分析使這個(gè)命題成立的充分條件，逐步尋找使命題成立的充分條件，直至所尋求的充分條件顯然成立（已知條件、定理、定義、公理等），或由已知證明成立，從而確定所證的命題成立的一種證明方法，叫做分析法．基本思路：執(zhí)果索因分析法又叫“逆推證法”或“執(zhí)果索因法”．它是從要證明的結(jié)論出發(fā)，分析使之成立的條件，即尋求使每一步成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止．分析法這種執(zhí)果索因的證明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法．分析法的思維框圖：用表示已知條件和已有的定義、公理、公式、定理等，所要證明的結(jié)論，則用分析法證明可用框圖表示為：（結(jié)論） （逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件） （已知）格式：要證……，只需證……，只需證……，因?yàn)椤闪?，所以原不等式得證．注意： （1）分析法是綜合法的逆過(guò)程，即從“未知”看“需知”，執(zhí)果索因，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找它的充分條件． （2）由于分析法是逆推證明，故在利用分析法證明時(shí)應(yīng)注意邏輯性與規(guī)范性，即分析法有獨(dú)特的表述．綜合法與分析法的橫向聯(lián)系（1） 綜合法是把整個(gè)不等式看做一個(gè)整體，通過(guò)對(duì)欲證不等式的分析、觀察，選擇恰當(dāng)不等式作為證題的出發(fā)點(diǎn)，其難點(diǎn)在于到底從哪個(gè)不等式出發(fā)合適，這就要求我們不僅要熟悉、正確運(yùn)用作為定理性質(zhì)的不等式，還要注意這些不等式進(jìn)行恰當(dāng)變形后的利用．分析法的優(yōu)點(diǎn)是利于思考，因?yàn)樗较蛎鞔_，思路自然，易于掌握，而綜合法的優(yōu)點(diǎn)是宜于表述，條理清晰，形式簡(jiǎn)潔．我們?cè)谧C明不等式時(shí)，常用分析法尋找解題思路，即從結(jié)論出發(fā)，逐步縮小范圍，進(jìn)而確定我們所需要的“因”，再用綜合法有條理地表述證題過(guò)程．分析法一般用于綜合法難以實(shí)施的時(shí)候．（2）有不等式的證明，需要把綜合法和分析法聯(lián)合起來(lái)使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)
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