20xx版高考人教版數(shù)學(xué)一輪學(xué)案：第十章第七講-離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差(理)-(含解析)(編輯修改稿)
2025-04-03 03:22 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2－a＋1)＝2＋，當(dāng)a∈時(shí)，D(X)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈時(shí)，D(X)單調(diào)遞增，故選D．角度3 實(shí)際問(wèn)題中的期望、方差問(wèn)題(3)(2021天津紅橋區(qū)期中)某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1 000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，規(guī)定：每位顧客從袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額．①求顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；②求顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望．[解析]?、僭O(shè)顧客所獲取的獎(jiǎng)勵(lì)額為X，依題意，得P (X＝60)＝＝，即顧客所獲得獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為．②依題意得X得所有可能取值為20,60，P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝，即X的分布列為X2060P所以這位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝20＋60＝40．(4)(入座問(wèn)題)有編號(hào)為1,2,3，…，n的n個(gè)學(xué)生，入座編號(hào)為1,2,3，…，n的n個(gè)座位，每個(gè)學(xué)生規(guī)定坐一個(gè)座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為X，已知X＝2時(shí)，共有6種坐法．(1)求n的值；(2)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差．[解析] (1)由題意知C＝6，解得n＝4．(2)X所有可能取值為0,2,3,4，又P(X＝0)＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝＝，∴隨機(jī)變量X的分布列為X0234P∴E(X)＝0＋2＋3＋4＝3，D(X)＝(3－0)2＋(3－2)2＋(3－3)2＋(3－4)2＝1．名師點(diǎn)撥求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差，應(yīng)按下述步驟進(jìn)行：(1)明確隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個(gè)值所表示的意義；(2)利用概率的有關(guān)知識(shí)，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值的概率；(3)按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證；(4)根據(jù)分布列，正確運(yùn)用期望與方差的定義或公式進(jìn)行計(jì)算．說(shuō)明：求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意計(jì)數(shù)原理、排列組合及常見(jiàn)概率模型．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度1)(2021江蘇鎮(zhèn)江調(diào)研)隨機(jī)變量ξ的分布如下表，則E(5ξ＋4)＝__13__．ξ024P(2)(角度2)(2021廣東深圳寶安區(qū)調(diào)研)設(shè)0＜a＜1，離散型隨機(jī)變量X的分布列如下，則當(dāng)a在內(nèi)增大時(shí)( D )X012PA．D(X)增大 B．D(X)減小C．D(X)先減小后增大 D．D(X)先增大后減小(3)如圖，A、B兩點(diǎn)由5條連線并聯(lián)，它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)能通過(guò)的最大信息量依次為2,3,4,3,2，現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時(shí)間內(nèi)都通過(guò)的最大信息總量為ξ．①寫(xiě)出最大信息總量ξ的分布列；②求最大信息總量ξ的數(shù)學(xué)期望．[解析] (1)由題意知E(ξ)＝2＋4＝，∴E(5ξ＋4)＝5E(ξ)＋4＝13．(2)由題意：E(X)＝0＋1＋2＝a＋，所以D(X)＝2＋2＋2＝－a2＋a＋＝－2＋，因?yàn)椤?，所以D(ξ)先增后減，故選D．(3)①由已知，ξ的取值為7,8,9,10，∵P(ξ＝7)＝＝，P(ξ＝8)＝＝，P(ξ＝9)＝＝，P(ξ＝10)＝＝．∴ξ的概率分布列為ξ78910P②E(ξ)＝7＋8＋9＋10＝＝．考點(diǎn)三,超幾何分布——師生共研例3 (2017山東卷改編)在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者
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