【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 交于點(diǎn)O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180176。．（1）求證：四邊形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度數(shù)．【答案】(1)見解析；（2）18176。.【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，求出∠ABC=90176。，根據(jù)矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DCO，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵AO=CO，BO=DO∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180176。，∴∠ABC=∠ADC=90176。，∴四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90176。，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36176。，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90176。﹣36176。=54176。，∵四邊形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54176。∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18176。．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：矩形的對(duì)角線相等，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．6．如圖，△ABC中，AD是邊BC上的中線，過點(diǎn)A作AE∥BC，過點(diǎn)D作DE∥AB，DE與AC、AE分別交于點(diǎn)O、點(diǎn)E，連接EC．（1）求證：AD=EC；（2）當(dāng)∠BAC=Rt∠時(shí)，求證：四邊形ADCE是菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）先證四邊形ABDE是平行四邊形，再證四邊形ADCE是平行四邊形即可；（2）由∠BAC=90176。，AD是邊BC上的中線，得AD=BD=CD，即可證明.【詳解】(1)證明：∵AE∥BC，DE∥AB ，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE=BD，∵AD是邊BC上的中線，∴BD=DC，∴AE=DC，又∵AE∥BC，∴四邊形ADCE是平行四邊形.(2) 證明：∵∠BAC=90176。，AD是邊BC上的中線.∴AD=CD ∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴四邊形ADCE是菱形.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、菱形的判定、.7．已知，點(diǎn)是的角平分線上的任意一點(diǎn)，現(xiàn)有一個(gè)直角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，兩直角邊，分別與直線，相交于點(diǎn)，點(diǎn).（1）如圖1，若，猜想線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（2）如圖2，若點(diǎn)在射線上，且與不垂直，則（1）中的數(shù)量關(guān)系是否仍成立？如成立，請(qǐng)說明理由；如不成立，請(qǐng)寫出線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.（3）如圖3，若點(diǎn)在射線的反向延長(zhǎng)線上，且，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)度.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）【解析】【分析】（1）先證四邊形為矩形，再證矩形為正方形，由正方形性質(zhì)可得；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，證四邊形為正方形，再證，可得；（3）根據(jù)，可得.【詳解】解：（1）∵，，∴四邊形為矩形.∵是的角平分線，∴，∴，∴矩形為正方形，∴，.∴.（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，∵平分，∴四邊形為正方形，由（1）得：，在和中，∴，∴，∴.（3），∴.∵，∴，∴，∴，的長(zhǎng)度為.【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：矩形，.8．如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，在Rt△PFE中，∠EPF=90176。，點(diǎn)E、F分別在邊AD、AB上．（1）如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)O重合：①求證：AF=DE；②若正方形的邊長(zhǎng)為2，當(dāng)∠DOE=15176。時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)；（2）如圖2，若Rt△PFE的頂點(diǎn)P在線段OB上移動(dòng)（不與點(diǎn)O、B重合），當(dāng)BD=3BP時(shí)，證明：PE=2PF．【答案】（1）①證明見解析，②；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得：△AOF≌△DOE根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；②作OG⊥AB于G，根據(jù)余弦的概念求出OF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求值即可；（2）首先過點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE與PF的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45176。，∠AOD=90176。，∴∠AOE+∠DOE=90176。，∵∠EPF=90176。，∴∠AOF+∠AOE=90176。，∴∠DOE=∠AOF，在△AOF和△DOE中，∴△AOF≌△DOE，∴AF=DE；②解：過點(diǎn)O作OG⊥AB于G，∵正方形的邊長(zhǎng)為2，∴OG=BC=，∵∠DOE=15176。，△AOF≌△DOE，∴∠AOF=15176。，∴∠FOG=45176。15176。=30176。，∴OF==2，∴EF=；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90176。，∴HP=BP，∵BD=3BP，∴PD=2BP，∴PD=2HP，又∵∠HPF+∠HPE=90176。，∠DPE+∠HPE=90176。，∴∠HPF=∠DPE，又∵∠BHP=∠EDP=45176。，∴△PHF∽△PDE，∴，∴PE=2PF．【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．9．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（﹣6，0）、點(diǎn)C（0，6），若正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形OA′B′C′，記旋轉(zhuǎn)角為α：（1）如圖①，當(dāng)α＝45176。時(shí)，求BC與A′B′的交點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖②，當(dāng)α＝60176。時(shí)，求點(diǎn)B′的坐標(biāo)；（3）若P為線段BC′的中點(diǎn)，求AP長(zhǎng)的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）當(dāng)α＝45176。時(shí)，延長(zhǎng)OA′經(jīng)過點(diǎn)B，在Rt△BA′D中，∠OBC＝45176。，A′B＝，可求得BD的長(zhǎng)，進(jìn)而求得CD的長(zhǎng)，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)C′作x軸垂線MN，交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B′作MN的垂線，垂足為N，證明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N＝OM＝，B′N＝C′M＝3，即可得出點(diǎn)B′的坐標(biāo)；（3）連接OB，AC相交于點(diǎn)K，則K是OB的中點(diǎn)，因?yàn)镻為線段BC′的中點(diǎn)，所以PK＝OC′＝3，即點(diǎn)P在以K為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，即可得出AP長(zhǎng)的取值范圍．【詳解】解：（1）∵A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0），∴四邊形OABC是邊長(zhǎng)為6的