【文章內(nèi)容簡介】 弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差?！緮?shù)量關(guān)系】順水速度=船速+水速逆水速度=船速－水速船速＝（順水速度＋逆水速度）247。2 水速＝（順水速度－逆水速度）247。2 順水速度＝逆水速＋水速2＝船速2－逆水速 逆水速度＝順水速－水速2＝船速2－順水速【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？解 由條件知，順水速＝船速＋水速＝320247。8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時 320247。8－15＝25（千米）船的逆水速為 25－15＝10（千米）船逆水行這段路程的時間為 320247。10＝32（小時）答：這只船逆水行這段路程需用32小時。例2 甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？解由題意得 甲船速＋水速＝360247。10＝36甲船速－水速＝360247。18＝20可見 （36－20）相當于水速的2倍，所以， 水速為每小時（36－20）247。2＝8（千米）又因為， 乙船速－水速＝360247。15，所以， 乙船速為 360247。15＋8＝32（千米）乙船順水速為 32＋8＝40（千米）所以， 乙船順水航行360千米需要 360247。40＝9（小時）答：乙船返回原地需要9小時。例3 一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時576千米，風速為每小時24千米，飛機逆風飛行3小時到達，順風飛回需要幾小時？解 這道題可以按照流水問題來解答。（1）兩城相距多少千米？ （576－24）3＝1656（千米）（2）順風飛回需要多少小時？ 1656247。（576＋24）＝（小時）列成綜合算式〔（576－24）3〕247。（576＋24）＝（小時） 答：。12 列車問題【含義】 這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度?！緮?shù)量關(guān)系】 火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長）247。車速 火車追及： 追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）247。（甲車速－乙車速） 火車相遇： 相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）247。（甲車速＋乙車速）【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？解 火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。（1）火車3分鐘行多少米？ 9003＝2700（米）（2）這列火車長多少米？ 2700－2400＝300（米）列成綜合算式 9003－2400＝300（米）答：這列火車長300米。例2 一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？解 火車過橋所用的時間是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8125）米，這段路程就是（200米＋橋長），所以，橋長為8125－200＝800（米）答：大橋的長度是800米。例3 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？解 從追上到追過，快車比慢車要多行（225＋140）米，而快車比慢車每秒多行（22－17）米，因此，所求的時間為（225＋140）247。（22－17）＝73（秒）答：需要73秒。例4 一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？解 如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當于火車相遇問題。150247。（22＋3）＝6（秒）答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。例5 一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？解 車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因為隧道比大橋長?？芍疖囋冢?8－58）秒的時間內(nèi)行駛了（2000－1250）米的路程，因此，火車的車速為每秒（2000－1250）247。（88－58）＝25（米）進而可知，車長和橋長的和為（2558）米，因此，車長為2558－1250＝200（米）答：這列火車的車速是每秒25米，車身長200米。 13 時鐘問題【含義】 就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比?！緮?shù)量關(guān)系】 分針的速度是時針的12倍， 二者的速度差為11/12。 通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。【解題思路和方法】 變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例1 從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？解 鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時針多走（1－1/12）＝11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以分針追上時針的時間為 20247。（1－1/12）≈ 22（分）答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。例2 四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？解 鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（54）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走 （54－15）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（54＋15）格。再根據(jù)1分鐘分針比時針多走（1－1/12）格就可以求出二針成直角的時間。 （54－15）247。（1－1/12）≈ 6（分） （54＋15）247。（1－1/12）≈ 38（分）答：4點06分及4點38分時兩針成直角。例3 六點與七點之間什么時候時針與分針重合？解 六點整的時候，分針在時針后（56）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。（56）247。（1－1/12）≈ 33（分）答：6點33分的時候分針與時針重合。 14 盈虧問題【含義】盈虧問題又叫盈不足問題，是指把一定數(shù)量的物品平均分給固定的對象，如果按某種標準分，則分配后會有剩余（盈）；按另一種標準分，分配后又會有不足（虧），求物品的數(shù)量和分配對象的數(shù)量的一類應(yīng)用題。【數(shù)量關(guān)系】 總分配份數(shù)=總差247。個差總數(shù)量＝每次分配數(shù)量份數(shù)+盈數(shù) ＝每次分配數(shù)量份數(shù)－虧數(shù)一般地說，在兩次分配中，有這樣幾種情況：(1)、如果一次盈，一次虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）247。分配差(2)、如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)＝（大盈－小盈）247。分配差 參加分配總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）247。分配差(3)、如果一正一盈，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)＝盈247。分配差(4)、如果一正一虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)＝虧247。分配差(1)一盈一虧： 總差=盈+虧 (2)兩盈： 總差=大盈小盈 (3)兩虧： 總差=大虧小虧 (4)一盈一正好：總差=盈 (5)一虧一正好：總差=虧【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？解 按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）247。分配差”的數(shù)量關(guān)系：（1）有小朋友多少人？ （11＋1）247。（4－3）＝12（人）（2）有多少個蘋果？ 312＋11＝47（個）答：有小朋友12人，有47個蘋果。例2 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？解 題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）247。分配差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知原定完成任務(wù)的天數(shù)為 （2608－3004）247。（300－260）＝22（天）這條路全長為 300（22＋4）＝7800（米）答：這條路全長7800米。例3 學校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？解 本題中的車輛數(shù)就相當于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有（1）有多少車？ （30－0）247。（45－40）＝6（輛）（2）有多少人？ 406＋30＝270（人）答：有6 輛車，有270人。15 工程問題【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量?！緮?shù)量關(guān)系】 解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量＝工作效率工作時間 工作時間＝工作量247。工作效率工作時間＝總工作量247。（甲工作效率＋乙工作效率）【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？解 題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式： 1247。（1/10＋1/15）＝1247。1/6＝6（天）答：兩隊合做需要6天完成。例2 一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？解 設(shè)總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1/6－1/8），二人合做時每小時完成（1/6＋1/8）。因為二人合做需要〔1247。（1/6＋1/8）〕小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做24個零件，所以（1）每小時甲比乙多做多少零件？ 24247。〔1247。（1/6＋1/8）〕＝7（個）（2）這批零件共有多少個？ 7247。（1/6－1/8）＝168（個）答：這批零件共有168個。解二 上面這道題還可以用另一種方法計算：兩人合做，完成任務(wù)時甲乙的工作量之比為 1/6∶1/8＝4∶3由此可知，甲比乙多完成總工作量的 4－3 / 4＋3 ＝1/7所以，這批零件共有 24247。1/7＝168（個）例3 一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成?，F(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？解 必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設(shè)總工作量為1和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是60247。12＝5 60247。10＝6 60247。15＝4 因此余下的工作量由乙丙合做還需要 （60－52）247。（6＋4）＝5（小時）答：還需要5小時才能完成。例4 一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？解 注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時內(nèi)將水池注滿，即要使2小時內(nèi)的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。我們設(shè)每個同樣的進水管每小時注水量為1，則4個進水管5小時注水量為（145），2個進水管15小時注水量為（1215），從而可知每小時的排水量為 （1215－145）247。（15－5）＝1即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為 145－15＝15 又因為在2小時內(nèi)，每個進水管的注水量為 12， 所以，2小時內(nèi)注滿一池水至少需要多少個進水管？ （15＋12）247。（12）＝≈9（個）答：至少需要9個進水管。16 正反比例問題【含義】兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用?！緮?shù)量關(guān)系】 判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷?！窘忸}思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？解 由條件知， 公路總長不變。原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12現(xiàn)已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當于（4－3）份，從而知公路總長為 300247。（4－3）12＝3600（米）答： 這條公路總長3600米。例2160