【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 此題考查二次函數(shù)綜合題，解題關(guān)鍵在于運(yùn)用待定系數(shù)法的出解析式，難度較大6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，直線CD與x軸交于點(diǎn)C、與y軸交于點(diǎn)D．若直線CD的解析式為y＝﹣（x+b），則稱直線CD為直線AB的”姊線”，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線稱為直線AB的“母線”．（1）若直線AB的解析式為：y＝﹣3x+6，求AB的”姊線”CD的解析式為：　 ?。ㄖ苯犹羁眨?；（2）若直線AB的”母線”解析式為：，求AB的”姊線”CD的解析式；（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)P為第二象限”母線”上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP，交”姊線”CD于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，PQ與OQ的比值為y，求y與m的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；（4）如圖3，若AB的解析式為：y＝mx+3（m＜0），AB的“姊線”為CD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)H為CD的中點(diǎn)，連接OH，若GH＝，請(qǐng)直接寫(xiě)出AB的”母線”的函數(shù)解析式．【答案】（1）；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）當(dāng)m＝﹣，y最大值為；（4）y＝x2﹣2x﹣3．【解析】【分析】（1）由k，b的值以及”姊線”的定義即可求解；（2）令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，即可求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，從而求得直線CD的表達(dá)式；（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，從而求得直線OP的表達(dá)式，將直線OP和CD表達(dá)式聯(lián)立并解得點(diǎn)Q坐標(biāo)，由此求得，從而求得y＝﹣m2﹣m+3，故當(dāng)m＝﹣，y最大值為；（4）由直線AB的解析式可得AB的“姊線”CD的表達(dá)式y(tǒng)＝﹣（x+3），令x＝0，得 y值，令y＝0，得x值，可得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，由此可得點(diǎn)H坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)G坐標(biāo)，由勾股定理得：m值，即可求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，從而得到 “母線”函數(shù)的表達(dá)式．【詳解】（1）由題意得：k＝﹣3，b＝6，則答案為：y＝（x+6）；（2）令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝2或﹣4，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），則直線CD的表達(dá)式為：y＝（x+4）＝x+2；（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，則直線OP的表達(dá)式為：y＝x，將直線OP和CD表達(dá)式聯(lián)立得，解得：點(diǎn)Q（，）則＝﹣m2﹣m+4，y＝＝﹣m2﹣m+3，當(dāng)m＝﹣，y最大值為；（4）直線CD的表達(dá)式為：y＝﹣（x+3），令x＝0，則y＝﹣，令y＝0，則x＝﹣3，故點(diǎn)C、D的坐標(biāo)為（﹣3，0）、（0，﹣），則點(diǎn)H（﹣，﹣），同理可得：點(diǎn)G（﹣，），則GH2＝（+）2+（﹣）2＝（）2，解得：m＝﹣3（正值已舍去），則點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），則“母線”函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故：“母線”函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題目，考查了“姊線”的定義，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.7．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)（）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，連結(jié)BC，在線段BC上是否存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，若點(diǎn)P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m＞0，n＜0），連結(jié)PB，PD，BD，求△BDP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）E的坐標(biāo)為（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．【解析】試題分析：（1）采用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式；（2）先求得直線BC的解析式為，則可設(shè)E（m，），然后分三種情況討論即可求得；（3）利用△PBD的面積即可求得．試題解析：（1）∵二次函數(shù)（）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、C（8，0）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴該二次函數(shù)的解析式為；（2）由二次函數(shù)可知對(duì)稱軸x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函數(shù)可知B（0，﹣4），設(shè)直線BC的解析式為，∴，解得：，∴直線BC的解析式為，設(shè)E（m，），當(dāng)DC=CE時(shí)，即，解得，（舍去），∴E（，）；當(dāng)DC=DE時(shí)，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；當(dāng)EC=DE時(shí)，解得=，∴E（，）．綜上，存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形，所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）、（0，﹣4）、（，）；（3）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)F，∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，∵△PBD的面積===，∴當(dāng)m=時(shí)，△PBD的最大面積為，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．8．如圖，對(duì)稱軸為直線的拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，0）．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）已知，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．①若點(diǎn)P在拋物線上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長(zhǎng)度的最大值．【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）.（2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（－4，5）.②線段QD長(zhǎng)度的最大值為.【解析】【分析】（1）由拋物線的對(duì)稱性直接得點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）①用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，從而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，得到，設(shè)出點(diǎn)P 的坐標(biāo)，根據(jù)列式求解即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．②用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，由點(diǎn)Q在線段AC上，可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(q,q3)，從而由QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(q,q2+2q3)，從而線段QD等于兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差，列出函數(shù)關(guān)系式應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求解.【詳解】解：（1）∵A、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱 ，且A點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，0），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）.（2）①∵拋物線，對(duì)稱軸為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－3，0），∴，解得.∴拋物線的解析式為.∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p,p2+2p3)，則.∵，∴，解得.當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（－4，5）.②設(shè)直線AC的解析式為，將點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入，得：，解得：.∴直線AC的解析式為.∵點(diǎn)Q在線段AC上，∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(q,q3).又∵QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(q,q2+2q3).∴.∵，∴線段QD長(zhǎng)度的最大值為.9．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M，連接PC．①求線段PM的最大值；②當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=；②P（2，﹣3）或（3，2﹣4）．【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；（2）①根據(jù)平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；②根據(jù)等腰三角形的定義，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．【詳解】（1）將A，B，C代入函數(shù)解析式，得，解得，這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3；（2）設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將B，C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，解得，BC的解析式為y=x﹣3，設(shè)M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+，當(dāng)