【文章內(nèi)容簡介】 此題考查二次函數(shù)綜合題，解題關(guān)鍵在于運用待定系數(shù)法的出解析式，難度較大6．如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），與x軸交于點A、與y軸交于點B，直線CD與x軸交于點C、與y軸交于點D．若直線CD的解析式為y＝﹣（x+b），則稱直線CD為直線AB的”姊線”，經(jīng)過點A、B、C的拋物線稱為直線AB的“母線”．（1）若直線AB的解析式為：y＝﹣3x+6，求AB的”姊線”CD的解析式為：　 ?。ㄖ苯犹羁眨?；（2）若直線AB的”母線”解析式為：，求AB的”姊線”CD的解析式；（3）如圖2，在（2）的條件下，點P為第二象限”母線”上的動點，連接OP，交”姊線”CD于點Q，設(shè)點P的橫坐標為m，PQ與OQ的比值為y，求y與m的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；（4）如圖3，若AB的解析式為：y＝mx+3（m＜0），AB的“姊線”為CD，點G為AB的中點，點H為CD的中點，連接OH，若GH＝，請直接寫出AB的”母線”的函數(shù)解析式．【答案】（1）；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）當m＝﹣，y最大值為；（4）y＝x2﹣2x﹣3．【解析】【分析】（1）由k，b的值以及”姊線”的定義即可求解；（2）令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，即可求得點A、B、C的坐標，從而求得直線CD的表達式；（3）設(shè)點P的橫坐標為m，則點P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，從而求得直線OP的表達式，將直線OP和CD表達式聯(lián)立并解得點Q坐標，由此求得，從而求得y＝﹣m2﹣m+3，故當m＝﹣，y最大值為；（4）由直線AB的解析式可得AB的“姊線”CD的表達式y(tǒng)＝﹣（x+3），令x＝0，得 y值，令y＝0，得x值，可得點C、D的坐標，由此可得點H坐標，同理可得點G坐標，由勾股定理得：m值，即可求得點A、B、C的坐標，從而得到 “母線”函數(shù)的表達式．【詳解】（1）由題意得：k＝﹣3，b＝6，則答案為：y＝（x+6）；（2）令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝2或﹣4，點A、B、C的坐標分別為（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），則直線CD的表達式為：y＝（x+4）＝x+2；（3）設(shè)點P的橫坐標為m，則點P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，則直線OP的表達式為：y＝x，將直線OP和CD表達式聯(lián)立得，解得：點Q（，）則＝﹣m2﹣m+4，y＝＝﹣m2﹣m+3，當m＝﹣，y最大值為；（4）直線CD的表達式為：y＝﹣（x+3），令x＝0，則y＝﹣，令y＝0，則x＝﹣3，故點C、D的坐標為（﹣3，0）、（0，﹣），則點H（﹣，﹣），同理可得：點G（﹣，），則GH2＝（+）2+（﹣）2＝（）2，解得：m＝﹣3（正值已舍去），則點A、B、C的坐標分別為（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），則“母線”函數(shù)的表達式為：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故：“母線”函數(shù)的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3．【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題目，考查了“姊線”的定義，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.7．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)（）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點D．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，連結(jié)BC，在線段BC上是否存在點E，使得△CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，若點P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的一個動點（其中m＞0，n＜0），連結(jié)PB，PD，BD，求△BDP面積的最大值及此時點P的坐標．【答案】（1）；（2）E的坐標為（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．【解析】試題分析：（1）采用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式；（2）先求得直線BC的解析式為，則可設(shè)E（m，），然后分三種情況討論即可求得；（3）利用△PBD的面積即可求得．試題解析：（1）∵二次函數(shù)（）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、C（8，0）兩點，∴，解得：，∴該二次函數(shù)的解析式為；（2）由二次函數(shù)可知對稱軸x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函數(shù)可知B（0，﹣4），設(shè)直線BC的解析式為，∴，解得：，∴直線BC的解析式為，設(shè)E（m，），當DC=CE時，即，解得，（舍去），∴E（，）；當DC=DE時，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；當EC=DE時，解得=，∴E（，）．綜上，存在點E，使得△CDE為等腰三角形，所有符合條件的點E的坐標為（，）、（0，﹣4）、（，）；（3）過點P作y軸的平行線交x軸于點F，∵P點的橫坐標為m，∴P點的縱坐標為：，∵△PBD的面積===，∴當m=時，△PBD的最大面積為，∴點P的坐標為（，）．考點：二次函數(shù)綜合題．8．如圖，對稱軸為直線的拋物線與x軸相交于A、B兩點，其中A點的坐標為（－3，0）．（1）求點B的坐標；（2）已知，C為拋物線與y軸的交點．①若點P在拋物線上，且，求點P的坐標；②設(shè)點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．【答案】（1）點B的坐標為（1，0）.（2）①點P的坐標為（4，21）或（－4，5）.②線段QD長度的最大值為.【解析】【分析】（1）由拋物線的對稱性直接得點B的坐標．（2）①用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，從而可得點C的坐標，得到，設(shè)出點P 的坐標，根據(jù)列式求解即可求得點P的坐標．②用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，由點Q在線段AC上，可設(shè)點Q的坐標為(q,q3)，從而由QD⊥x軸交拋物線于點D，得點D的坐標為(q,q2+2q3)，從而線段QD等于兩點縱坐標之差，列出函數(shù)關(guān)系式應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求解.【詳解】解：（1）∵A、B兩點關(guān)于對稱軸對稱 ，且A點的坐標為（－3，0），∴點B的坐標為（1，0）.（2）①∵拋物線，對稱軸為，經(jīng)過點A（－3，0），∴，解得.∴拋物線的解析式為.∴B點的坐標為（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴.設(shè)點P的坐標為(p,p2+2p3)，則.∵，∴，解得.當時；當時，∴點P的坐標為（4，21）或（－4，5）.②設(shè)直線AC的解析式為，將點A，C的坐標代入，得：，解得：.∴直線AC的解析式為.∵點Q在線段AC上，∴設(shè)點Q的坐標為(q,q3).又∵QD⊥x軸交拋物線于點D，∴點D的坐標為(q,q2+2q3).∴.∵，∴線段QD長度的最大值為.9．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣3）．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點，PH⊥x軸于點H，與BC交于點M，連接PC．①求線段PM的最大值；②當△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點P的坐標．【答案】（1）二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=；②P（2，﹣3）或（3，2﹣4）．【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；（2）①根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；②根據(jù)等腰三角形的定義，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．【詳解】（1）將A，B，C代入函數(shù)解析式，得，解得，這個二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3；（2）設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將B，C的坐標代入函數(shù)解析式，得，解得，BC的解析式為y=x﹣3，設(shè)M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+，當