【文章內(nèi)容簡介】 ：(1)當時，如答圖2所示：設(shè)與交于點，可得，.設(shè)與的交點為，則：.解得，∴..(2)當時，如答圖3所示：設(shè)分別與交于點、點.∵，∴，.直線解析式為，令，得，∴..綜上所述，與的函數(shù)關(guān)系式為：.7．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，B點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，3）．（1）求拋物線y＝x2+bx+c的表達式；（2）點D為拋物線對稱軸上一點，當△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，求點D的坐標；（3）點P在x軸下方的拋物線上，過點P的直線y＝x+m與直線BC交于點E，與y軸交于點F，求PE+EF的最大值．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）；（3）．【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）如圖1，設(shè)D（2，y），利用兩點間的距離公式得到BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，然后討論：當BD為斜邊時得到18+4+（y﹣3）2=1+y2；當CD為斜邊時得到4+（y﹣3）2=1+y2+18，再分別解方程即可得到對應(yīng)D的坐標；（3）先證明∠CEF=90176。得到△ECF為等腰直角三角形，作PH⊥y軸于H，PG∥y軸交BC于G，如圖2，△EPG、△PHF都為等腰直角三角形，則PE=PG，PF=PH，設(shè)P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），則G（t，﹣t+3），接著利用t表示PF、PE，這樣PE+EF=2PE+PF=﹣t2+4t，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．試題解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得：，解得：，∴拋物線y=x2+bx+c的表達式為y=x2﹣4x+3；（2）如圖1，拋物線的對稱軸為直線x=﹣=2，設(shè)D（2，y），B（3，0），C（0，3），∴BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，當△BCD是以BC為直角邊，BD為斜邊的直角三角形時，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得：y=5，此時D點坐標為（2，5）；當△BCD是以BC為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得：y=﹣1，此時D點坐標為（2，﹣1）；（3）易得BC的解析式為y=﹣x+3．∵直線y=x+m與直線y=x平行，∴直線y=﹣x+3與直線y=x+m垂直，∴∠CEF=90176。，∴△ECF為等腰直角三角形，作PH⊥y軸于H，PG∥y軸交BC于G，如圖2，△EPG、△PHF都為等腰直角三角形，PE=PG，PF=PH，設(shè)P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），則G（t，﹣t+3），∴PF=PH=t，PG=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=PG=﹣t2+t，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣t2+3t+t=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，當t=2時，PE+EF的最大值為4．點睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題．熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式．8．如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點A(1，0)和點B(﹣3，0)，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．(3)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．(4)如圖2，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合條件的點P，其坐標為P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）， .【解析】【分析】（1）已知拋物線過A、B兩點，可將兩點的坐標代入拋物線的解析式中，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）可根據(jù)（1）的函數(shù)解析式得出拋物線的對稱軸，也就得出了M點的坐標，由于C是拋物線與y軸的交點，因此C的坐標為（0，3），根據(jù)M、C的坐標可求出CM的距離．然后分三種情況進行討論：①當CP＝PM時，P位于CM的垂直平分線上．求P點坐標關(guān)鍵是求P的縱坐標，過P作PQ⊥y軸于Q，如果設(shè)PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的長，可根據(jù)M的坐標得出，CQ＝3﹣x，因此可根據(jù)勾股定理求出x的值，P點的橫坐標與M的橫坐標相同，縱坐標為x，由此可得出P的坐標．②當CM＝MP時，根據(jù)CM的長即可求出P的縱坐標，也就得出了P的坐標（要注意分上下兩點）．③當CM＝CP時，因為C的坐標為（0，3），那么直線y＝3必垂直平分PM，因此P的縱坐標是6，由此可得出P的坐標；（3）根據(jù)軸對稱﹣最短路徑問題解答；（4）由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進行計算，過E作EF⊥x軸于F，S四邊形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，F(xiàn)O為E的橫坐標的絕對值，EF為E的縱坐標，已知C的縱坐標，就知道了OC的長．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的橫坐標表示出BF的長．如果根據(jù)拋物線設(shè)出E的坐標，然后代入上面的線段中，即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對應(yīng)的E的橫坐標的值．即可求出此時E的坐標．【詳解】（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），∴，解得：．∴所求拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如答圖1，∵拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，∴其對稱軸為x＝＝﹣1，∴設(shè)P點坐標為（﹣1，a），當x＝0時，y＝3，∴C（0，3），M（﹣1，0）∴當CP＝PM時，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝，∴P點坐標為：P1（﹣1，）；∴當CM＝PM時，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝177。，∴P點坐標為：P2（﹣1，）或P3（﹣1，﹣）；∴當CM＝CP時，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，∴P點坐標為：P4（﹣1，6）．綜上所述存在符合條件的點P，其坐標為P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：如答圖2，點C（0，3）關(guān)于對稱軸x＝﹣1的對稱點C′的坐標是（﹣2，3），連接AC′，直線AC′與對稱軸的交點即為點Q．設(shè)直線AC′函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+t（k≠0）．將點A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得，解得，所以，直線AC′函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x+1．將x＝﹣1代入，得y＝2，即：Q（﹣1，2）；（4）過點E作EF⊥x軸于點F，設(shè)E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a∴S四邊形BOCE＝BF?EF+（OC+EF）?OF＝（a+3）?（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）?（﹣a）＝﹣a2﹣a+＝﹣（a+）2+，∴當a＝﹣時，S四邊形BOCE最大，且最大值為．此時，點E坐標為（﹣ ，）．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合知識，要注意的是（2）中，不確定等腰三角形哪條邊是底邊的情況下，要分類進行求解，不要漏解．9．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的頂點坐標為（2，0），且經(jīng)過點（4，1），如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點，直線l為y=﹣1．（1）求拋物線的解析式；（2）在l上是否存在一點P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）知F（x0，y0）為平面內(nèi)一定點，M（m，n）