【文章內(nèi)容簡介】 E＝6，F(xiàn)為AB上一動點，把△BEF沿EF折疊，點B落在點B′處，當△AFB′恰好為直角三角形時，B′D的長為？【答案】或【解析】【分析】分兩種情況分析：如圖1，當∠AB′F=90176。時，此時A、B′、E三點共線，過點B′作B′M⊥AB，B′N⊥AD，由三角形的面積法則可求得B′M=，再由勾股定理可求得B′N=，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=；如圖2，當∠AFB′=90176。時，由題意可知此時四邊形EBFB′是正方形，AF=2，過點B′作B′N⊥AD，則四邊形AFB′N為矩形，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=；【詳解】如圖1，當∠AB′F=90176。時，此時A、B′、E三點共線，∵∠B=90176。，∴AE==10，∵B′E=BE=6，∴AB′=4，∵B′F=BF，AF+BF=AB=8，在Rt△AB′F中，∠AB′F=90176。，由勾股定理得，AF2=FB′2+AB′2，∴AF=5，BF=3，過點B′作B′M⊥AB，B′N⊥AD，由三角形的面積法則可求得B′M=，再由勾股定理可求得B′N=，∴AN=B′M=，∴DN=ADAN==，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D= = ；如圖2，當∠AFB′=90176。時，由題意可知此時四邊形EBFB′是正方形，∴AF=2，過點B′作B′N⊥AD，則四邊形AFB′N為矩形，∴AN=B′F=6，B′N=AF=2，∴DN=ADAN=2，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D= = ；綜上，可得B′D的長為或.【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)與判定，矩形有性質(zhì)判定、勾股定理、折疊的性質(zhì)等，能正確地畫出圖形并能分類討論是解題的關(guān)鍵.8．閱讀下列材料：我們定義：若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，則這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如正方形就是和諧四邊形．結(jié)合閱讀材料，完成下列問題：（1）下列哪個四邊形一定是和諧四邊形　 ?。瓵．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形（2）命題：“和諧四邊形一定是軸對稱圖形”是　 　 命題（填“真”或“假”）．（3）如圖，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90176。．若點C為平面上一點，AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB＝BC，請求出∠ABC的度數(shù)．【答案】（1） C ；（2）∠ABC的度數(shù)為60176。或90176。或150176。.【解析】試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和和諧四邊形定義，直接得出結(jié)論.（2）根據(jù)和諧四邊形定義，分AD=CD，AD=AC，AC=DC討論即可.（1）根據(jù)和諧四邊形定義，平行四邊形，矩形，等腰梯形的對角線不能把四邊形分成兩個等腰三角形，菱形的一條對角線能把四邊形分成兩個等腰三角形夠．故選C.（2）∵等腰Rt△ABD中，∠BAD=90176。，∴AB=AD.∵AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC，∴分三種情況討論：若AD=CD，如圖1，則凸四邊形ABCD是正方形，∠ABC=90176。；若AD=AC，如圖 2，則AB=AC=BC，△ABC是等邊三角形，∠ABC=60176。；若AC=DC，如圖 3，則可求∠ABC=150176。.考點：；2．菱形的性質(zhì)；3．正方形的判定和性質(zhì)；4．等邊三角形的判定和性質(zhì)；.9．現(xiàn)有一張矩形紙片ABCD（如圖），其中AB＝4cm，BC＝6cm，點E是BC的中點．將紙片沿直線AE折疊，點B落在四邊形AECD內(nèi)，記為點B′，過E作EF垂直B′C，交B′C于F．（1）求AE、EF的位置關(guān)系；（2）求線段B′C的長，并求△B′EC的面積．【答案】（1）見解析；（2）S△B′EC＝．【解析】【分析】（1）由折線法及點E是BC的中點，可證得△B39。EC是等腰三角形，再有條件證明∠AEF=90176。即可得到AE⊥EF；（2）連接BB′，通過折疊，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中點，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，從而可證△BB′C為直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可將OB，BB′的長求出，在Rt△BB′C中，根據(jù)勾股定理可將B′C的值求出.【詳解】（1）由折線法及點E是BC的中點，∴EB＝EB′＝EC，∠AEB＝∠AEB′，∴△B39。EC是等腰三角形，又∵EF⊥B′C∴EF為∠B39。EC的角平分線，即∠B′EF＝∠FEC，∴∠AEF＝180176。﹣（∠AEB+∠CEF）＝90176。，即∠AEF＝90176。，即AE⊥EF；（2）連接BB39。交AE于點O，由折線法及點E是BC的中點，∴EB＝EB′＝EC，∴∠EBB′＝∠EB′B，∠ECB′＝∠EB′C；又∵△BB39。C三內(nèi)角之和為180176。，∴∠BB39。C＝90176。；∵點B′是點B關(guān)于直線AE的對稱點，∴AE垂直平分BB′；在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2＝AB2﹣AO2＝BE2﹣（AE﹣AO）2將AB＝4cm，BE＝3cm，AE＝5cm，∴AO＝ cm，∴BO＝＝cm，∴BB′＝2BO＝cm，∴在Rt△BB39。C中，B′C＝＝cm，由題意可知四邊形OEFB′是矩形，∴EF＝OB′＝，∴S△B′EC＝．【點睛】考查圖形的折疊變化及三角形的內(nèi)角和定理勾股定理的和矩形的性質(zhì)綜合運用．關(guān)鍵是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．10．如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上一點，F(xiàn)是AB上的一點，EF⊥EC，且EF＝EC．（1）求證：△AEF≌△DCE．（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周長為32cm，求AE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）6cm.【解析】分析：（1）根據(jù)EF⊥CE，求證∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求證△AEF≌△DCE．（2）利用全等三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊相等，再根據(jù)矩形ABCD的周長為32cm，即可求得AE的長.詳解：（1）證明：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90176。，∴∠AEF+∠DEC=90176。，而∠ECD+∠DEC=90176。，∴∠AEF=∠ECD．在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90176。，∠AEF=∠ECD，EF=EC．∴△AEF≌△DCE．（2）解：∵△AEF≌△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周長為32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6