20xx-20xx備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)平行四邊形專項綜合練附答案(編輯修改稿)
2025-03-30 22:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 矩形紙片OBCD的邊OB在x軸上，OD在y軸上，點(diǎn)C在第一象限，折痕為EF（點(diǎn)E，F(xiàn)是折痕與矩形的邊的交點(diǎn)），點(diǎn)P為點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)，再將紙片還原。（I）若點(diǎn)P落在矩形OBCD的邊OB上，①如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在OB上，點(diǎn)F在DC上時，EF與DP交于點(diǎn)G，若，求點(diǎn)F的坐標(biāo)：（Ⅱ）若點(diǎn)P落在矩形OBCD的內(nèi)部，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊OD，邊DC上，當(dāng)OP取最小值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）。 【答案】（I）①點(diǎn)F的坐標(biāo)為；②點(diǎn)F的坐標(biāo)為；（II）【解析】【分析】（I）①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,再由矩形的性質(zhì)，即可求出F的坐標(biāo)。②由折疊的性質(zhì)及矩形的特點(diǎn)，易得，得到，再加上平行，可以得到四邊形DEPF是平行四邊形，在由對角線垂直，得出 是菱形，設(shè)菱形的邊長為x，在中，由勾股定理建立方程即可求解。(Ⅱ)當(dāng)O,P,F點(diǎn)共線時OP的長度最短.【詳解】解：（I）①∵折痕為EF,點(diǎn)P為點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)∵四邊形OBCD是矩形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為②∵折痕為EF，點(diǎn)P為點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn).∵四邊形OBCD是矩形，；∴四邊形DEPF是平行四邊形.，是菱形. 設(shè)菱形的邊長為x，則，在中，由勾股定理得 解得 ∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為 （Ⅱ）【點(diǎn)睛】此題考查了幾何折疊問題、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，關(guān)鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)進(jìn)行解答，屬于中考壓軸題．7．如圖，△ABC中，AD是邊BC上的中線，過點(diǎn)A作AE∥BC，過點(diǎn)D作DE∥AB，DE與AC、AE分別交于點(diǎn)O、點(diǎn)E，連接EC．（1）求證：AD=EC；（2）當(dāng)∠BAC=Rt∠時，求證：四邊形ADCE是菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）先證四邊形ABDE是平行四邊形，再證四邊形ADCE是平行四邊形即可；（2）由∠BAC=90176。，AD是邊BC上的中線，得AD=BD=CD，即可證明.【詳解】(1)證明：∵AE∥BC，DE∥AB ，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE=BD，∵AD是邊BC上的中線，∴BD=DC，∴AE=DC，又∵AE∥BC，∴四邊形ADCE是平行四邊形.(2) 證明：∵∠BAC=90176。，AD是邊BC上的中線.∴AD=CD ∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴四邊形ADCE是菱形.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、菱形的判定、.8．如圖1，在正方形ABCD中，AD=6，點(diǎn)P是對角線BD上任意一點(diǎn)，連接PA，PC過點(diǎn)P作PE⊥PC交直線AB于E．（1） 求證：PC=PE。（2） 延長AP交直線CD于點(diǎn)F.①如圖2，若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求△APE的面積；②若ΔAPE的面積是，則DF的長為 （3） 如圖3，點(diǎn)E在邊AB上，連接EC交BD于點(diǎn)M,作點(diǎn)E關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q，連接PQ，MQ，過點(diǎn)P作PN∥CD交EC于點(diǎn)N，連接QN，若PQ=5，MN=，則△MNQ的面積是 【答案】（1）略；（2）①8，②4或9；（3）【解析】【分析】（1）利用正方形每個角都是90176。，對角線平分對角的性質(zhì)，三角形外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，等角對等邊等性質(zhì)容易得證。（2）作出△ADP和△DFP的高，△PAE的底和高，通過面積法列出方程求解即可。（3）根據(jù)已經(jīng)條件證出△MNQ是直角三角形，計算直角邊乘積的一半可得其面積.【詳解】(1) 證明：∵點(diǎn)P在對角線BD上，∴△ADP≌△CDP,∴AP=CP, ∠DAP =∠DCP,∵PE⊥PC，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90176。,∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45176。+90176?！螧PC=135176?！螧PC,∵∠PAE=90176?！螪AP＝90176。∠DCP,∠DCP=∠BPC∠PDC=∠BPC45176。,∴∠PAE=90176。(∠BPC45176。)= 135176?！螧PC,∴∠PEA=∠PAE,∴PC=PE。（2）①如圖2，過點(diǎn)P分別作PH⊥AD,PG⊥CD,垂足分別為H、.∵四邊形ABCD是正方形，P在對角線上，∴四邊形HPGD是正方形，∴PH=PG,PM⊥AB,設(shè)PH=PG=a,∵F是CD中點(diǎn)，AD＝6，則FD=3,=9,∵==,∴,解得a=2,∴AM=HP=2,MP=MGPG=62=4,又∵PA=PE, ∴AM=EM,AE=4,∵=,②設(shè)HP＝b,由①可得AE=2b,MP=6b,∴=,解得b=,∵==,∴,∴當(dāng)b=，DF=4；當(dāng)b＝，DF＝9,即DF的長為4或9。（3）如圖，∵E、Q關(guān)于BP對稱，PN∥CD,∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC=45176。,∴∠1+∠4=45176。,∴∠3=∠4,易證△PEM≌△PQM, △PNQ≌△PNC,∴∠5=∠6, ∠7=∠8 ,EM=QM,NQ=NC,∴∠6+∠7=90176。,∴△MNQ是直角三角形,設(shè)EM=a,NC=b列方程組,可得ab=,∴,【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握正方形的性質(zhì)，.9．△ABC為等邊三角形，．．(1)求證：四邊形是菱形．(2)若是的角平分線，連接，找出圖中所有的等腰三角形．【答案】(1)證明見解析；(2)圖中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．【解析】【分析】（1）先求證BD∥AF，證明四邊形ABDF是平行四邊形，再利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；（2）先利用BD平分∠ABC，得到BD垂直平分線段AC，進(jìn)而證明△DAC是等腰三角形，根據(jù)BD⊥AC,AF⊥AC，找到角度之間的關(guān)系,證明△DAE是等腰三角形，進(jìn)而得到BC＝BD＝BA＝AF＝DF，即可解題,見詳解.【詳解】(1)如圖1中，∵∠BCD＝∠BDC，∴BC＝BD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∵AB＝AF
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