20xx-20xx備戰(zhàn)中考數(shù)學培優(yōu)-易錯-難題(含解析)之二次函數(shù)及答案解析(編輯修改稿)
2025-03-30 22:26 本頁面
【文章內容簡介】 ），D點坐標為（2，），利用拋物線的平移規(guī)律確定E點坐標為（2，﹣2），設M（0，m），當m＞0時，利用梯形面積公式得到?（m++2）?2=8當m＜0時，利用梯形面積公式得到?（﹣m++2）?2=8，然后分別解方程求出m即可得到對應的M點坐標．【詳解】（1）把A（﹣1，0）和點B（0，）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+；（2）∵y=﹣（x﹣2）2+，∴C（2，），拋物線的對稱軸為直線x=2，如圖，設CD=t，則D（2，﹣t），∵線段DC繞點D按順時針方向旋轉90176。，點C落在拋物線上的點P處，∴∠PDC=90176。，DP=DC=t，∴P（2+t，﹣t），把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+=﹣t，整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴線段CD的長為2；（3）P點坐標為（4，），D點坐標為（2，），∵拋物線平移，使其頂點C（2，）移到原點O的位置，∴拋物線向左平移2個單位，向下平移個單位，而P點（4，）向左平移2個單位，向下平移個單位得到點E，∴E點坐標為（2，﹣2），設M（0，m），當m＞0時，?（m++2）?2=8，解得m=，此時M點坐標為（0，）；當m＜0時，?（﹣m++2）?2=8，解得m=﹣，此時M點坐標為（0，﹣）；綜上所述，M點的坐標為（0，）或（0，﹣）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及到待定系數(shù)法、拋物線上點的坐標、旋轉的性質、拋物線的平移等知識，綜合性較強，正確添加輔助線、運用數(shù)形結合思想熟練相關知識是解題的關鍵.7．某商場購進一批單價為4元的日用品．若按每件5元的價格銷售，每月能賣出3萬件；若按每件6元的價格銷售，每月能賣出2萬件，假定每月銷售件數(shù)y（件）與價格x（元/件）之間滿足一次函數(shù)關系．（1）試求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）當銷售價格定為多少時，才能使每月的利潤最大？每月的最大利潤是多少？【答案】（1）（2）當銷售價格定為6元時，每月的利潤最大，每月的最大利潤為40000元【解析】解：（1）由題意，可設y=kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：，解得：?！鄖與x之間的關系式為：。（2）設利潤為W，則，∴當x=6時，W取得最大值，最大值為40000元。答：當銷售價格定為6元時，每月的利潤最大，每月的最大利潤為40000元。（1）利用待定系數(shù)法求得y與x之間的一次函數(shù)關系式。（2）根據(jù)“利潤=（售價﹣成本）售出件數(shù)”，可得利潤W與銷售價格x之間的二次函數(shù)關系式，然后求出其最大值。8．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的頂點坐標為（2，0），且經過點（4，1），如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點，直線l為y=﹣1．（1）求拋物線的解析式；（2）在l上是否存在一點P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）知F（x0，y0）為平面內一定點，M（m，n）為拋物線上一動點，且點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，求定點F的坐標．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x+1．（2）點P的坐標為（，﹣1）．（3）定點F的坐標為（2，1）．【解析】分析：（1）由拋物線的頂點坐標為（2，0），可設拋物線的解析式為y=a（x2）2，由拋物線過點（4，1），利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，通過解方程組可求出點A、B的坐標，作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA+PB取得最小值，根據(jù)點B的坐標可得出點B′的坐標，根據(jù)點A、B′的坐標利用待定系數(shù)法可求出直線AB′的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標；（3）由點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等結合二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，即可得出（1y0）m2+（22x0+2y0）m+x02+y022y03=0，由m的任意性可得出關于x0、y0的方程組，解之即可求出頂點F的坐標．詳解：（1）∵拋物線的頂點坐標為（2，0），設拋物線的解析式為y=a（x2）2．∵該拋物線經過點（4，1），∴1=4a，解得：a=，∴拋物線的解析式為y=（x2）2=x2x+1．（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，得：，解得：，∴點A的坐標為（1，），點B的坐標為（4，1）．作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA+PB取得最小值（如圖1所示）．∵點B（4，1），直線l為y=1，∴點B′的坐標為（4，3）．設直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0），將A（1，）、B′（4，3）代入y=kx+b，得：，解得：，∴直線AB′的解析式為y=x+，當y=1時，有x+=1，解得：x=，∴點P的坐標為（，1）．（3）∵點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，∴（mx0）2+（ny0）2=（n+1）2，∴m22x0m+x022y0n+y02=2n+1．∵M（m，n）為拋物線上一動點，∴n=m2m+1，∴m22x0m+x022y0（m2m+1）+y02=2（m2m+1）+1，整理得：（1y0）m2+（22x0+2y0）m+x02+y022y03=0．∵m為任意值，∴，∴，∴定點F的坐標為（2，1）．點睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點的坐標特征、軸對稱中的最短路徑問題以及解方程組，解題的關鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用兩點之間線段最短找出點P的位置；（3）根據(jù)點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等結合二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，找出關于x0、y0的方程組．9．如圖，已知拋物線的頂點為，與軸相交于點，對稱軸為直線，點是線段的中點.（1）求拋物線的表達式；（2）寫出點的坐標并求直線的表達式；（3）設動點，分別在拋物線和對稱軸l上，當以，，為頂點的四邊形是平行四邊形時，求，兩點的坐標.【答案】（1）；（2），；（3）點、的坐標分別為或、或．【解析】【分析】（1）函數(shù)表達式為：，將點坐標代入上式，即可求解； （2）、則點，設直線的表達式為：，將點坐標代入上式，即可求解； （3）分當是平行四邊形的一條邊、是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可.【詳解】解：（1）函數(shù)表達式為：，將
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