【文章內(nèi)容簡介】 即可得到對應D的坐標；（3）先證明∠CEF=90176。得到△ECF為等腰直角三角形，作PH⊥y軸于H，PG∥y軸交BC于G，如圖2，△EPG、△PHF都為等腰直角三角形，則PE=PG，PF=PH，設P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），則G（t，﹣t+3），接著利用t表示PF、PE，這樣PE+EF=2PE+PF=﹣t2+4t，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．試題解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得：，解得：，∴拋物線y=x2+bx+c的表達式為y=x2﹣4x+3；（2）如圖1，拋物線的對稱軸為直線x=﹣=2，設D（2，y），B（3，0），C（0，3），∴BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，當△BCD是以BC為直角邊，BD為斜邊的直角三角形時，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得：y=5，此時D點坐標為（2，5）；當△BCD是以BC為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得：y=﹣1，此時D點坐標為（2，﹣1）；（3）易得BC的解析式為y=﹣x+3．∵直線y=x+m與直線y=x平行，∴直線y=﹣x+3與直線y=x+m垂直，∴∠CEF=90176。，∴△ECF為等腰直角三角形，作PH⊥y軸于H，PG∥y軸交BC于G，如圖2，△EPG、△PHF都為等腰直角三角形，PE=PG，PF=PH，設P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），則G（t，﹣t+3），∴PF=PH=t，PG=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=PG=﹣t2+t，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣t2+3t+t=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，當t=2時，PE+EF的最大值為4．點睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題．熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式．7．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，拋物線對稱軸DE交x軸于點E，連接BD．（1）求經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P是線段BD上一點，當PE＝PC時，求點P的坐標．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點P的坐標為（2，2）．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出過A，B，C三點的拋物線的函數(shù)表達式；（2）連接PC、PE，利用公式求出頂點D的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設出點P的坐標為（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根據(jù)題意列出方程，解方程求出x的值，計算求出點P的坐標．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，∴，解得，∴所求的拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖，連接PC，PE．拋物線的對稱軸為x＝＝1．當x＝1時，y＝4，∴點D的坐標為（1，4）．設直線BD的解析式為y＝kx+b，則， 解得．∴直線BD的解析式為：y＝2x+6，設點P的坐標為（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），則PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，則y＝﹣22+6＝2，∴點P的坐標為（2，2）．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活運用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．8．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖1，P為拋物線上在第二象限內(nèi)的一點，若△PAC面積為3，求點P的坐標；（3）如圖2，D為拋物線的頂點，在線段AD上是否存在點M，使得以M，A，O為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）點P的坐標為（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（，）或（，），見解析.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，然后將A、B、C的坐標代入解析式即可求得二次函數(shù)的解析式；（2））過P點作PQ垂直x軸，交AC于Q，把△APC分成兩個△APQ與△CPQ，把PQ作為兩個三角形的底，通過點A，C的橫坐標表示出兩個三角形的高即可求得三角形的面積．（3）通過三角形函數(shù)計算可得∠DAO=∠ACB，使得以M，A，O為頂點的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，∠AOM=∠CAB=45176。，即OM為y=x，若∠AOM=∠CBA，則OM為y=3x+3，然后由直線解析式可求OM與AD的交點M．【詳解】（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入拋物線解析式y(tǒng)＝ax2+bx+c得，解得，所以拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣x2﹣2x+3．（2）如解（2）圖1，過P點作PQ平行y軸，交AC于Q點，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直線AC解析式為y＝x+3，設P點坐標為（x，﹣x2﹣2x+3．），則Q點坐標為（x，x+3），∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．∴S△PAC＝，∴，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．當x＝﹣1時，P點坐標為（﹣1，4），當x＝﹣2時，P點坐標為（﹣2，3），綜上所述：若△PAC面積為3，點P的坐標為（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）圖1，過D點作DF垂直x軸于F點，過A點作AE垂直BC于E點，∵D為拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的頂點，∴D點坐標為（﹣1，4），又∵A（﹣3，0），∴直線AC為y＝2x+4，AF＝2，DF＝4，tan∠PAB＝2，∵B（1，0），C（0，3）∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直線BC解析式為y＝﹣3x+3．∵AC＝4，∴AE＝AC?sin∠ABC＝＝，BE＝，∴CE＝，∴tan∠ACB＝，∴tan∠ACB＝tan∠PAB＝2，∴∠ACB＝∠PAB，∴使得以M，A，O為頂點的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，如解（3）圖2Ⅰ．當∠AOM＝∠CAB＝45176。時，△ABC∽△OMA，即OM為y＝﹣x，設OM與AD的交點M（x，y）依題意得：，解得，即M點為（，）．Ⅱ．若∠AOM＝∠CBA，即OM∥BC，∵直線BC解析式為y＝﹣3x+3．∴直線OM為y＝﹣3x，設直線OM與AD的交點M（x，y）．則依題意得：，解得，即M點為（，），綜上所述：存在使得以M，A，O為頂點的三角形與△ABC相似的點M，其坐標為（，）或（，）．【點睛】本題結(jié)合三角形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應用，函數(shù)和幾何圖形的綜合題目，要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用