【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 菱形的判定、.8．(1)如圖①，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)EF⊥BD，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接BE、DF，且BE平分∠ABD． ①求證：四邊形BFDE是菱形；②直接寫(xiě)出∠EBF的度數(shù)；(2)把(1)中菱形BFDE進(jìn)行分離研究，如圖②，點(diǎn)G、I分別在BF、BE邊上，且BG=BI，連接GD，H為GD的中點(diǎn)，連接FH并延長(zhǎng)，交ED于點(diǎn)J，連接IJ、IH、IF、并說(shuō)明理由；(3)把(1)中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究，如圖③，當(dāng)矩形ABCD滿(mǎn)足AB=AD時(shí)，點(diǎn)E是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，連接DE、EF、DF，使△DEF是等腰直角三角形，、GE、EC三者之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系.【答案】（1）①詳見(jiàn)解析；②60176。．（2）IH＝FH；（3）EG2＝AG2+CE2．【解析】【分析】（1）①由△DOE≌△BOF，推出EO＝OF，∵OB＝OD，推出四邊形EBFD是平行四邊形，再證明EB＝ED即可．②先證明∠ABD＝2∠ADB，推出∠ADB＝30176。，延長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．（2）IH＝FH．只要證明△IJF是等邊三角形即可．（3）結(jié)論：EG2＝AG2+CE2．如圖3中，將△ADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。得到△DCM，先證明△DEG≌△DEM，再證明△ECM是直角三角形即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）①證明：如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠EDO＝∠FBO，在△DOE和△BOF中， ，∴△DOE≌△BOF，∴EO＝OF，∵OB＝OD，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∵EF⊥BD，OB＝OD，∴EB＝ED，∴四邊形EBFD是菱形．②∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠EBD，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∴∠ABD＝2∠ADB，∵∠ABD+∠ADB＝90176。，∴∠ADB＝30176。，∠ABD＝60176。，∴∠ABE＝∠EBO＝∠OBF＝30176。，∴∠EBF＝60176。．（2）結(jié)論：IH＝FH．理由：如圖2中，延長(zhǎng)BE到M，使得EM＝EJ，連接MJ．∵四邊形EBFD是菱形，∠B＝60176。，∴EB＝BF＝ED，DE∥BF，∴∠JDH＝∠FGH，在△DHJ和△GHF中， ，∴△DHJ≌△GHF，∴DJ＝FG，JH＝HF，∴EJ＝BG＝EM＝BI，∴BE＝IM＝BF，∵∠MEJ＝∠B＝60176。，∴△MEJ是等邊三角形，∴MJ＝EM＝NI，∠M＝∠B＝60176。在△BIF和△MJI中，∴△BIF≌△MJI，∴IJ＝IF，∠BFI＝∠MIJ，∵HJ＝HF，∴IH⊥JF，∵∠BFI+∠BIF＝120176。，∴∠MIJ+∠BIF＝120176。，∴∠JIF＝60176。，∴△JIF是等邊三角形，在Rt△IHF中，∵∠IHF＝90176。，∠IFH＝60176。，∴∠FIH＝30176。，∴IH＝FH．（3）結(jié)論：EG2＝AG2+CE2．理由：如圖3中，將△ADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。得到△DCM，∵∠FAD+∠DEF＝90176。，∴AFED四點(diǎn)共圓，∴∠EDF＝∠DAE＝45176。，∠ADC＝90176。，∴∠ADF+∠EDC＝45176。，∵∠ADF＝∠CDM，∴∠CDM+∠CDE＝45176。＝∠EDG，在△DEM和△DEG中， ，∴△DEG≌△DEM，∴GE＝EM，∵∠DCM＝∠DAG＝∠ACD＝45176。，AG＝CM，∴∠ECM＝90176?！郋C2+CM2＝EM2，∵EG＝EM，AG＝CM，∴GE2＝AG2+CE2．【點(diǎn)睛】考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題.9．（問(wèn)題情境）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P為BC所在直線(xiàn)上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F．當(dāng)P在BC邊上時(shí)（如圖1），求證：PD+PE＝CF．證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE＝CF．（不要證明）（變式探究）（1）當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，其余條件不變（如圖3），試探索PD、PE、CF之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；請(qǐng)運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法完成下列兩題：（結(jié)論運(yùn)用）（2）如圖4，將長(zhǎng)方形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，點(diǎn)P為折痕EF上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD＝16，CF＝6，求PG+PH的值．（遷移拓展）（3）在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l1：y＝x+8與直線(xiàn)l2：y＝﹣2x+8相交于點(diǎn)A，直線(xiàn)ll2與x軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C．點(diǎn)P是直線(xiàn)l2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線(xiàn)l1的距離為2．求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】【變式探究】證明見(jiàn)解析【結(jié)論運(yùn)用】8【遷移拓展】（﹣1，6），（1，10）【解析】【變式探究】連接AP，同理利用△ABP與△ACP面積之差等于△ABC的面積可以證得；【結(jié)論運(yùn)用】過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥BC，垂足為Q，根據(jù)勾股定理和矩形的性質(zhì)解答即可；【遷移拓展】分兩種情況，利用結(jié)論，求得點(diǎn)P到x軸的距離，再利用待定系數(shù)法可求出P的坐標(biāo)．【詳解】變式探究:連接AP，如圖3： ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC＝S△ACP﹣S△ABP，∴AB?CF＝AC?PE﹣ AB?PD．∵AB＝AC，∴CF＝PD﹣PE；結(jié)論運(yùn)用:過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥BC，垂足為Q，如圖④，∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90176。．∵AD＝16，CF＝6，∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，由折疊可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．∴DF＝5．∵∠C＝90176。，∴DC＝＝8．∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90176。，∴∠EQC＝90176。＝∠C＝∠ADC．∴四邊形EQCD是長(zhǎng)方形．∴EQ＝DC＝4．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB．∵∠BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠EFB．∴BE＝BF，由問(wèn)題情境中的結(jié)論可得：PG+PH＝EQ．∴PG+PH＝8．∴PG+PH的值為8；遷移拓展:如圖，由題意得：A（0，8），B（6，0），C（﹣4，0）∴AB＝＝10，BC＝10．∴AB＝BC，（1）由結(jié)論得：P1D1+P1E1＝OA＝8∵P1D1＝1＝2，∴P1E1＝6 即點(diǎn)P1的縱坐標(biāo)為6又點(diǎn)P1在直線(xiàn)l2上，∴y＝2x+8＝6，∴x＝﹣1，即點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（﹣1，6）；（2）由結(jié)論得：P2E2﹣P2D2＝OA＝8∵P2D2＝2，∴P2E2＝10 即點(diǎn)P1的縱坐標(biāo)為10又點(diǎn)P1在直線(xiàn)l2上，∴y＝2x+8＝10，∴x＝1，即點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（1，10）【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，利用面積法列出等式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，分別延長(zhǎng)AC至E，BC至F，且CE＝EF，延長(zhǎng)FE交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于G．（1）求證：AE＝EG；（2）如圖2，分別連接BG，BE，若BG＝BF，求證：BE＝EG；（3）如圖3，取GF的中點(diǎn)M，若AB＝5，求EM的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和等腰三角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)得：∠CAD＝∠G，可得AE＝EG；（2）作輔助線(xiàn)，證明△BEF≌△GEC（SAS