20xx-20xx九年級(jí)中考數(shù)學(xué)平行四邊形解答題壓軸題提高專(zhuān)題練習(xí)含詳細(xì)答案(編輯修改稿)
2025-03-30 22:22 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 結(jié)論：，連接EF，DF交BC于K，先證明≌再證明是等腰直角三角形即可；分兩種情形a、如圖中，當(dāng)時(shí)，四邊形ABFD是菱形、如圖中當(dāng)時(shí)，四邊形ABFD是菱形分別求解即可.【詳解】如圖中，結(jié)論：．理由：四邊形ABFD是平行四邊形，，，，是等腰直角三角形，．故答案為．如圖中，結(jié)論：．理由：連接EF，DF交BC于K．四邊形ABFD是平行四邊形，，，，，，在和中，≌，，是等腰直角三角形，．如圖中，當(dāng)時(shí)，四邊形ABFD是菱形，設(shè)AE交CD于H，易知，，如圖中當(dāng)時(shí)，四邊形ABFD是菱形，易知，綜上所述，滿足條件的AE的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，尋找全等的條件是解題的難點(diǎn)，屬于中考?？碱}型．7．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90176。，BD=BC，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，射線BE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：四邊形BCFD是菱形；（2）若AD=1，BC=2，求BF的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）2【解析】（1）∵AF∥BC，∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，∵點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，∴DE=EC，在△BCE與△FDE中，∴△BCE≌△FDE，∴DF=BC，又∵DF∥BC，∴四邊形BCDF為平行四邊形，∵BD=BC，∴四邊形BCFD是菱形；（2）∵四邊形BCFD是菱形，∴BD=DF=BC=2，在Rt△BAD中，AB=，∵AF=AD+DF=1+2=3，在Rt△BAF中，BF==2．8．已知矩形紙片OBCD的邊OB在x軸上，OD在y軸上，點(diǎn)C在第一象限，折痕為EF（點(diǎn)E，F(xiàn)是折痕與矩形的邊的交點(diǎn)），點(diǎn)P為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再將紙片還原。（I）若點(diǎn)P落在矩形OBCD的邊OB上，①如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在OB上，點(diǎn)F在DC上時(shí)，EF與DP交于點(diǎn)G，若，求點(diǎn)F的坐標(biāo)：（Ⅱ）若點(diǎn)P落在矩形OBCD的內(nèi)部，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊OD，邊DC上，當(dāng)OP取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）。 【答案】（I）①點(diǎn)F的坐標(biāo)為；②點(diǎn)F的坐標(biāo)為；（II）【解析】【分析】（I）①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,再由矩形的性質(zhì)，即可求出F的坐標(biāo)。②由折疊的性質(zhì)及矩形的特點(diǎn)，易得，得到，再加上平行，可以得到四邊形DEPF是平行四邊形，在由對(duì)角線垂直，得出 是菱形，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，在中，由勾股定理建立方程即可求解。(Ⅱ)當(dāng)O,P,F點(diǎn)共線時(shí)OP的長(zhǎng)度最短.【詳解】解：（I）①∵折痕為EF,點(diǎn)P為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)∵四邊形OBCD是矩形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為②∵折痕為EF，點(diǎn)P為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn).∵四邊形OBCD是矩形，；∴四邊形DEPF是平行四邊形.，是菱形. 設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，則，在中，由勾股定理得 解得 ∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為 （Ⅱ）【點(diǎn)睛】此題考查了幾何折疊問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)進(jìn)行解答，屬于中考?jí)狠S題．9．如圖所示，矩形ABCD中，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，使CE＝AC，連接AE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，連接BF、DF，求證：BF⊥DF．【答案】見(jiàn)解析.【解析】【分析】延長(zhǎng)BF，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接BD，進(jìn)而求證△AFM≌△EFB，得AM=BE，F(xiàn)B=FM，即可求得BC+BE=AD+AM，進(jìn)而求得BD=BM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求證BF⊥DF．【詳解】延長(zhǎng)BF，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接BD．∵四邊形ABCD是矩形，∴MD∥BC，∴∠AMF=∠EBF，∠E=∠MAF，又FA=FE，∴△AFM≌△EFB，∴AM=BE，F(xiàn)B=FM．∵矩形ABCD中，∴AC=BD，AD=BC，∴BC+BE=AD+AM，即CE=MD．∵CE=AC，∴AC=CE= BD =DM．∵FB=FM，∴BF⊥DF．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，本題中求證DB=DM是解題的關(guān)鍵．10．如圖1，在正方形ABCD中，AD=6，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，連接PA，PC過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PC交直線AB于E．（1） 求證：PC=PE。（2） 延長(zhǎng)AP交直線CD于點(diǎn)F.①如圖2，若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求△APE的面積；②若ΔAPE的面積是，則DF的長(zhǎng)為 （3） 如圖3，點(diǎn)E在邊AB上，連接EC交BD于點(diǎn)M,作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接PQ，MQ，過(guò)點(diǎn)P作PN∥CD交EC于點(diǎn)N，連接QN，若PQ=5，MN=，則△MNQ的面積是 【答案】（1）略；（2）①8，②4或9；（3）【解析】【分析】（1）利用正方形每個(gè)角都是90176。，對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì)，三角形外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，等角對(duì)等邊等性質(zhì)容易得證。（2）作出△ADP和△DFP的高，△PAE的底和高，通過(guò)面積法列出方程求解即可。（3）根據(jù)已經(jīng)條件證出△MNQ是直角三角形，計(jì)算直角邊乘積的一半可得其面積.【詳解】(1) 證明：∵點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，∴△ADP≌△CDP,∴AP=CP, ∠DAP =∠DCP,∵PE⊥PC，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90176。,∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45176。+90176?！螧PC=135176。∠BPC,∵∠PAE=90176。∠DAP＝90176?！螪CP,∠DCP=∠BPC∠PDC=∠BPC45176。,∴∠PAE=90176。(∠BPC45176。)= 135176?！螧PC,∴∠PEA=∠PAE,∴PC=PE。（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)P分別作PH⊥AD,PG⊥CD,垂足分別為H、.∵四邊形ABCD是正方形，P在對(duì)角線上，∴四邊形HPGD是正方形，∴PH=PG,PM⊥AB,設(shè)PH=PG=a,∵F是CD中點(diǎn)，AD＝6，則FD=3,=9,∵==,∴,解得a=2,∴AM=HP=2,MP=MGPG=62=4,又∵PA=PE, ∴AM=EM,AE=4,∵=,②設(shè)HP＝b,由①可得AE=2b,MP=6b,∴=,解得b=,∵==,∴,∴當(dāng)b=，DF=4；當(dāng)b＝，DF＝9,即DF的長(zhǎng)為4或9。（3）如圖，∵E、Q關(guān)于BP對(duì)稱，PN∥CD,∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC=45176。,∴∠1+∠4=45176。,∴∠3=∠4,易證△PEM≌△PQM, △PNQ≌△PNC,∴∠5=∠6, ∠7=∠8 ,EM=QM,NQ=NC,∴∠6+∠7=90176。,∴△MNQ是直角三角形,設(shè)EM=a,NC=b列
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