【文章內容簡介】 結論：，連接EF，DF交BC于K，先證明≌再證明是等腰直角三角形即可；分兩種情形a、如圖中，當時，四邊形ABFD是菱形、如圖中當時，四邊形ABFD是菱形分別求解即可.【詳解】如圖中，結論：．理由：四邊形ABFD是平行四邊形，，，，是等腰直角三角形，．故答案為．如圖中，結論：．理由：連接EF，DF交BC于K．四邊形ABFD是平行四邊形，，，，，，在和中，≌，，是等腰直角三角形，．如圖中，當時，四邊形ABFD是菱形，設AE交CD于H，易知，，如圖中當時，四邊形ABFD是菱形，易知，綜上所述，滿足條件的AE的長為或．【點睛】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、平行四邊形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，尋找全等的條件是解題的難點，屬于中考?？碱}型．7．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90176。，BD=BC，點E為CD的中點，射線BE交AD的延長線于點F，連接CF．（1）求證：四邊形BCFD是菱形；（2）若AD=1，BC=2，求BF的長．【答案】（1）證明見解析（2）2【解析】（1）∵AF∥BC，∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，∵點E為CD的中點，∴DE=EC，在△BCE與△FDE中，∴△BCE≌△FDE，∴DF=BC，又∵DF∥BC，∴四邊形BCDF為平行四邊形，∵BD=BC，∴四邊形BCFD是菱形；（2）∵四邊形BCFD是菱形，∴BD=DF=BC=2，在Rt△BAD中，AB=，∵AF=AD+DF=1+2=3，在Rt△BAF中，BF==2．8．已知矩形紙片OBCD的邊OB在x軸上，OD在y軸上，點C在第一象限，折痕為EF（點E，F(xiàn)是折痕與矩形的邊的交點），點P為點D的對應點，再將紙片還原。（I）若點P落在矩形OBCD的邊OB上，①如圖①，當點E與點O重合時，求點F的坐標；②如圖②，當點E在OB上，點F在DC上時，EF與DP交于點G，若，求點F的坐標：（Ⅱ）若點P落在矩形OBCD的內部，且點E，F(xiàn)分別在邊OD，邊DC上，當OP取最小值時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）。 【答案】（I）①點F的坐標為；②點F的坐標為；（II）【解析】【分析】（I）①根據折疊的性質可得,再由矩形的性質，即可求出F的坐標。②由折疊的性質及矩形的特點，易得，得到，再加上平行，可以得到四邊形DEPF是平行四邊形，在由對角線垂直，得出 是菱形，設菱形的邊長為x，在中，由勾股定理建立方程即可求解。(Ⅱ)當O,P,F點共線時OP的長度最短.【詳解】解：（I）①∵折痕為EF,點P為點D的對應點∵四邊形OBCD是矩形，點F的坐標為②∵折痕為EF，點P為點D的對應點.∵四邊形OBCD是矩形，；∴四邊形DEPF是平行四邊形.，是菱形. 設菱形的邊長為x，則，在中，由勾股定理得 解得 ∴點F的坐標為 （Ⅱ）【點睛】此題考查了幾何折疊問題、等腰三角形的性質、平行四邊形的判定和性質、勾股定理等知識，關鍵是根據折疊的性質進行解答，屬于中考壓軸題．9．如圖所示，矩形ABCD中，點E在CB的延長線上，使CE＝AC，連接AE，點F是AE的中點，連接BF、DF，求證：BF⊥DF．【答案】見解析.【解析】【分析】延長BF，交DA的延長線于點M，連接BD，進而求證△AFM≌△EFB，得AM=BE，F(xiàn)B=FM，即可求得BC+BE=AD+AM，進而求得BD=BM，根據等腰三角形三線合一的性質即可求證BF⊥DF．【詳解】延長BF，交DA的延長線于點M，連接BD．∵四邊形ABCD是矩形，∴MD∥BC，∴∠AMF=∠EBF，∠E=∠MAF，又FA=FE，∴△AFM≌△EFB，∴AM=BE，F(xiàn)B=FM．∵矩形ABCD中，∴AC=BD，AD=BC，∴BC+BE=AD+AM，即CE=MD．∵CE=AC，∴AC=CE= BD =DM．∵FB=FM，∴BF⊥DF．【點睛】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和對應邊相等的性質，等腰三角形三線合一的性質，本題中求證DB=DM是解題的關鍵．10．如圖1，在正方形ABCD中，AD=6，點P是對角線BD上任意一點，連接PA，PC過點P作PE⊥PC交直線AB于E．（1） 求證：PC=PE。（2） 延長AP交直線CD于點F.①如圖2，若點F是CD的中點，求△APE的面積；②若ΔAPE的面積是，則DF的長為 （3） 如圖3，點E在邊AB上，連接EC交BD于點M,作點E關于BD的對稱點Q，連接PQ，MQ，過點P作PN∥CD交EC于點N，連接QN，若PQ=5，MN=，則△MNQ的面積是 【答案】（1）略；（2）①8，②4或9；（3）【解析】【分析】（1）利用正方形每個角都是90176。，對角線平分對角的性質，三角形外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，等角對等邊等性質容易得證。（2）作出△ADP和△DFP的高，△PAE的底和高，通過面積法列出方程求解即可。（3）根據已經條件證出△MNQ是直角三角形，計算直角邊乘積的一半可得其面積.【詳解】(1) 證明：∵點P在對角線BD上，∴△ADP≌△CDP,∴AP=CP, ∠DAP =∠DCP,∵PE⊥PC，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90176。,∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45176。+90176?！螧PC=135176?！螧PC,∵∠PAE=90176?！螪AP＝90176?！螪CP,∠DCP=∠BPC∠PDC=∠BPC45176。,∴∠PAE=90176。(∠BPC45176。)= 135176。∠BPC,∴∠PEA=∠PAE,∴PC=PE。（2）①如圖2，過點P分別作PH⊥AD,PG⊥CD,垂足分別為H、.∵四邊形ABCD是正方形，P在對角線上，∴四邊形HPGD是正方形，∴PH=PG,PM⊥AB,設PH=PG=a,∵F是CD中點，AD＝6，則FD=3,=9,∵==,∴,解得a=2,∴AM=HP=2,MP=MGPG=62=4,又∵PA=PE, ∴AM=EM,AE=4,∵=,②設HP＝b,由①可得AE=2b,MP=6b,∴=,解得b=,∵==,∴,∴當b=，DF=4；當b＝，DF＝9,即DF的長為4或9。（3）如圖，∵E、Q關于BP對稱，PN∥CD,∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC=45176。,∴∠1+∠4=45176。,∴∠3=∠4,易證△PEM≌△PQM, △PNQ≌△PNC,∴∠5=∠6, ∠7=∠8 ,EM=QM,NQ=NC,∴∠6+∠7=90176。,∴△MNQ是直角三角形,設EM=a,NC=b列