【文章內(nèi)容簡介】 時候，線段AF的長為﹣1或+1．7．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，在等邊三角形ABC中，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，NC與AB的位置關(guān)系為　 ?。唬?）深入探究：如圖②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，連接CN，試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展延伸：如圖③，在正方形ADBC中，AD=AC，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作正方形AMEF，點N為正方形AMEF的中點，連接CN，若BC=10，CN=，試求EF的長．【答案】（1）NC∥AB；理由見解析；（2）∠ABC=∠ACN；理由見解析；（3）；【解析】分析：（1）根據(jù)△ABC，△AMN為等邊三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60176。從而得到∠BAC∠CAM=∠MAN∠CAM，即∠BAM=∠CAN，證明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．（2）根據(jù)△ABC，△AMN為等腰三角形，得到AB：BC=1：1且∠ABC=∠AMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠MAN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖3，連接AB，AN，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45176。，∠MAN=45176。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，得到BM=2，CM=8，再根據(jù)勾股定理即可得到答案．詳解：（1）NC∥AB，理由如下：∵△ABC與△MN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60176。，∴∠BAM=∠CAN，在△ABM與△ACN中， ，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴∠B=∠ACN=60176。，∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60176。+∠CAN=180176。，∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60176。+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180176。，∴CN∥AB； （2）∠ABC=∠ACN，理由如下：∵=1且∠ABC=∠AMN，∴△ABC～△AMN∴，∵AB=BC，∴∠BAC=（180176。﹣∠ABC），∵AM=MN∴∠MAN=（180176。﹣∠AMN），∵∠ABC=∠AMN，∴∠BAC=∠MAN，∴∠BAM=∠CAN，∴△ABM～△ACN，∴∠ABC=∠ACN；（3）如圖3，連接AB，AN，∵四邊形ADBC，AMEF為正方形，∴∠ABC=∠BAC=45176。，∠MAN=45176。，∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC即∠BAM=∠CAN，∵，∴，∴△ABM～△ACN∴，∴=cos45176。=，∴，∴BM=2，∴CM=BC﹣BM=8，在Rt△AMC，AM=，∴EF=AM=2．點睛：本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)定理和判定定理、相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．8．已知：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，四邊形EFGH的三個頂點E、F、H分別在矩形ABCD邊AB、BC、DA上，AE＝2．（1）如圖①，當四邊形EFGH為正方形時，求△GFC的面積；（2）如圖②，當四邊形EFGH為菱形，且BF＝a時，求△GFC的面積（用a表示）；（3）在（2）的條件下，△GFC的面積能否等于2？請說明理由．【答案】（1）10；（2）12－a；（3）不能【解析】解：（1）過點G作GM⊥BC于M．在正方形EFGH中，∠HEF＝90176。，EH＝EF，∴∠AEH＋∠BEF＝90176。．∵∠AEH＋∠AHE＝90176。，∴∠AHE＝∠BEF．又∵∠A＝∠B＝90176。，∴△AHE≌△BEF．同理可證△MFG≌△BEF．∴GM＝BF＝AE＝2．∴FC＝BC－BF＝10．∴．（2）過點G作GM⊥BC交BC的延長線于M，連接HF．∵AD∥BC，∴∠AHF＝∠MFH．∵EH∥FG，∴∠EHF＝∠GFH．∴∠AHE＝∠MFG．又∵∠A＝∠GMF＝90176。，EH＝GF，∴△AHE≌△MFG．∴GM＝AE＝2．∴．（3）△GFC的面積不能等于2．說明一：∵若S△GFC＝2，則12－a＝2，∴a＝10．此時，在△BEF中，．在△AHE中，∴AH＞AD，即點H已經(jīng)不在邊AD上，故不可能有S△GFC＝2．說明二：△GFC的面積不能等于2．∵點H在AD上，∴菱形邊EH的最大值為，∴BF的最大值為．又∵函數(shù)S△GFC＝12－a的值隨著a的增大而減小，∴S△GFC的最小值為．又∵，∴△GFC的面積不能等于2．9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，OA=4，OC=2，點D、E、F、G分別為邊OA、AB、BC、CO的中點，連結(jié)DE、EF、FG、GD．（1）若點C在y軸的正半軸上，當點B的坐標為（2，4）時，判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由.（2）若點C在第二象限運動，且四邊形DEFG為菱形時，求點四邊形OABC對角線OB長度的取值范圍.（3）若在點C的運動過程中，四邊形DEFG始終為正方形，當點C從X軸負半軸經(jīng)過Y軸正半軸，運動至X軸正半軸時，直接寫出點B的運動路徑長.【答案】（1）正方形（2）（3）2π【解析】分析:（1）連接OB，AC，說明OB⊥AC，OB=AC，可得四邊形DEFG是正方形.（2）由四邊形DEFG是菱形，可得OB=AC，當點C在y軸上時，AC=，當點C在x軸上時，AC=6, 故可得結(jié)論；（3）根據(jù)題意計算弧長即可.詳解：（1）正方形，如圖1，證明連接OB，AC，說明OB⊥AC，OB=AC，可得四邊形DEFG是正方形.（2）如圖2，由四邊形DEFG是菱形，可得OB=AC，當點C在y軸上時，AC=，當點C在x軸上時，AC=6, ∴ ；（3）2π.如圖3，當四邊形DEFG是正方形時，OB⊥AC，且OB=AC，構(gòu)造△OBE≌△ACO，可得B點在以E（0，4）為圓心，2為半徑的圓上運動.所以當C點從x軸負半軸到正半軸運動時，B點的運動路徑為2 .圖1 圖2 圖3點睛：本題主要考查了正方形的判定，.10．如圖，點E是正方形ABCD的邊AB上一點，連結(jié)CE，過頂點C作CF⊥CE，交AD延長線于F．求證：BE=DF.【答案】證明見解析.【解析】分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，證出BC=CD，∠B=∠CDF，∠BCD=90176。，再由垂直的性質(zhì)得到∠BCE=∠DCF，然后根據(jù)“ASA”證明△BCE≌△BCE即可得到BE=DF詳解：證明：∵CF⊥CE，∴∠ECF=9017