【文章內(nèi)容簡介】 CG．在△BCE和△DCG中， ∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE=DG．應用：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，∵BE=DG，∴S△ABE+S△CDE=S△BEC=S△CDG=8，∵AE=3ED，∴S△CDE= ,∴S△ECG=S△CDE+S△CDG=10∴S菱形CEFG=2S△ECG=20.8．問題探究（1）如圖①，已知正方形ABCD的邊長為4．點M和N分別是邊BC、CD上兩點，且BM＝CN，連接AM和BN，交于點P．猜想AM與BN的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）如圖②，已知正方形ABCD的邊長為4．點M和N分別從點B、C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC、CD方向向終點C和D運動．連接AM和BN，交于點P，求△APB周長的最大值；問題解決（3）如圖③，AC為邊長為2的菱形ABCD的對角線，∠ABC＝60176。．點M和N分別從點B、C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC、CA向終點C和A運動．連接AM和BN，交于點P．求△APB周長的最大值．【答案】（1）AM⊥BN，證明見解析；（2）△APB周長的最大值4+4；（3）△PAB的周長最大值=2+4．【解析】試題分析：根據(jù)全等三角形的判定SAS證明△ABM≌△BCN，即可證得AM⊥BN；（2）如圖②，以AB為斜邊向外作等腰直角△AEB，∠AEB=90176。，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，連接EP，證明PA+PB=2EF，求出EF的最大值即可；（3）如圖③，延長DA到K，使得AK=AB，則△ABK是等邊三角形，連接PK，取PH=PB，證明PA+PB=PK，求出PK的最大值即可.試題解析：（1）結(jié)論：AM⊥BN．理由：如圖①中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90176。，∵BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∵∠CBN+∠ABN=90176。，∴∠ABN+∠BAM=90176。，∴∠APB=90176。，∴AM⊥BN．（2）如圖②中，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90176。，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，連接EP．∵∠EFP=∠FPG=∠G=90176。，∴四邊形EFPG是矩形，∴∠FEG=∠AEB=90176。，∴∠AEF=∠BEG，∵EA=EB，∠EFA=∠G=90176。，∴△AEF≌△BEG，∴EF=EG，AF=BG，∴四邊形EFPG是正方形，∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF，∵EF≤AE，∴EF的最大值=AE=2，∴△APB周長的最大值=4+4．（3）如圖③中，延長DA到K，使得AK=AB，則△ABK是等邊三角形，連接PK，取PH=PB．∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60176。，∴∠APB=120176。，∵∠AKB=60176。，∴∠AKB+∠APB=180176。，∴A、K、B、P四點共圓，∴∠BPH=∠KAB=60176。，∵PH=PB，∴△PBH是等邊三角形，∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，∴△KBH≌△ABP，∴HK=AP，∴PA+PB=KH+PH=PK，∴PK的值最大時，△APB的周長最大，∴當PK是△ABK外接圓的直徑時，PK的值最大，最大值為4，∴△PAB的周長最大值=2+4．9．如圖，拋物線交x軸的正半軸于點A，點B（，a）在拋物線上，點C是拋物線對稱軸上的一點，連接AB、BC，以AB、BC為鄰邊作□ABCD，記點C縱坐標為n， （1）求a的值及點A的坐標； （2）當點D恰好落在拋物線上時，求n的值； （3）記CD與拋物線的交點為E，連接AE，BE，當△AEB的面積為7時，n=___________．（直接寫出答案）【答案】（1）， A（3，0）；（2）【解析】試題解析：（1）把點B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出a的值，令y=0即可求出點A的坐標．（２）求出點D的坐標即可求解；（3）運用△AEB的面積為7，列式計算即可得解.試題解析：（1）當時，由 ，得（舍去），（1分）∴A（3，0） （2）過D作DG⊥軸于G，BH⊥軸于H.∵CD∥AB，CD=AB∴，∴， ∴ （3） 10．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，在等邊三角形ABC中，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，NC與AB的位置關(guān)系為　 　；（2）深入探究：如圖②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，連接CN，試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展延伸：如圖③，在正方形ADBC中，AD=AC，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作正方形AMEF，點N為正方形AMEF的中點，連接CN，若BC=10，CN=，試求EF的長．【答案】（1）NC∥AB；理由見解析；（2）∠ABC=∠ACN；理由見解析；（3）；【解析】分析：（1）根據(jù)△ABC，△AMN為等邊三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60176。從而得到∠BAC∠CAM=∠MAN∠CAM，即∠BAM=∠CAN，證明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．（2）根據(jù)△ABC，△AMN為等腰三角形，得到AB：BC=1：1且∠ABC=∠AMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠MAN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖3，連接AB，AN，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45176。，∠MAN=45176。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，得到BM=2，CM=8，再根據(jù)勾股定理即可得到答案．詳解：（1）NC∥AB，理由如下：∵△ABC與△MN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60176。，∴∠BAM=∠CAN，在△ABM與△ACN中， ，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴∠B=∠ACN=60176。，∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60176。+∠CAN=180176。，∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60176。+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180176。，∴CN∥AB； （2）∠