20xx-20xx中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)——平行四邊形的綜合含答案解析(編輯修改稿)
2025-03-30 22:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 應(yīng)用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點(diǎn)O．（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．探究：在△ABC中，∠A=30176。，AB=4，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，請直接寫出△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）12；探究：2或2．【解析】試題分析：（1）利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形ABFE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得OE=OB，即可證得△AOE和△AOB是友好三角形；（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點(diǎn)，則可以求得△ABE、△ABF的面積，根據(jù)S四邊形CDOF=S矩形ABCD2S△ABF即可求解．探究：畫出符合條件的兩種情況：①求出四邊形A′DCB是平行四邊形，求出BC和A′D推出∠ACB=90176。，根據(jù)三角形面積公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面積．即可求出△ABC的面積．試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB與△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四邊形CDOF=S矩形ABCD2S△ABF=46243=12．探究：解：分為兩種情況：①如圖1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四邊形A′DCB是平行四邊形，∴BC=A′D=2，過B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30176。，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90176。，由勾股定理得：AC=，∴△ABC的面積是BCAC=22=2；②如圖2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四邊形A′BDC是平行四邊形，∴A′C=BD=2，過C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30176。，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2A′DCQ=221=2；即△ABC的面積是2或2．考點(diǎn)：四邊形綜合題．8．如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn)，EF⊥EC，且EF＝EC．（1）求證：△AEF≌△DCE．（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周長為32cm，求AE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）6cm.【解析】分析：（1）根據(jù)EF⊥CE，求證∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求證△AEF≌△DCE．（2）利用全等三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊相等，再根據(jù)矩形ABCD的周長為32cm，即可求得AE的長.詳解：（1）證明：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90176。，∴∠AEF+∠DEC=90176。，而∠ECD+∠DEC=90176。，∴∠AEF=∠ECD．在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90176。，∠AEF=∠ECD，EF=EC．∴△AEF≌△DCE．（2）解：∵△AEF≌△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周長為32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．答：AE的長為6cm．點(diǎn)睛：此題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，難易程度適中，是一道很典型的題目．9．點(diǎn)P是矩形ABCD對角線AC所在直線上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合），分別過點(diǎn)A，C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，請你判斷OE與OF的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到如圖2所示位置時(shí)，請你在圖2中補(bǔ)全圖形并通過證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立；（3）若點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動，恰好使得∠OEF＝30176。時(shí)，猜想此時(shí)線段CF，AE，OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論不必證明．【答案】（1）OE＝OF．理由見解析；（2）補(bǔ)全圖形如圖所示見解析，OE＝OF仍然成立；（3）CF＝OE+AE或CF＝OE﹣AE．【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及垂線，即可判定，得出OE=OF；（2）先延長EO交CF于點(diǎn)G，通過判定，得出OG=OE，再根據(jù)中，即可得到OE=OF；（3）根據(jù)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動，需要分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA延長線上時(shí)，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算即可．【詳解】（1）OE=OF．理由如下：如圖1．∵四邊形ABCD是矩形，∴ OA=OC．∵，∴．∵在和中，∴，∴ OE=OF；（2）補(bǔ)全圖形如圖2，OE=OF仍然成立．證明如下：延長EO交CF于點(diǎn)G．∵，∴ AE//CF，∴．又∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∴ AO=CO．在和中，∴，∴ OG=OE，∴中，∴ OE=OF；（3）CF=OE+AE或CF=OEAE．證明如下：①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)．∵，∴，由（2）可得：OF=OG，∴是等邊三角形，∴ FG=OF=OE，由（2）可得：，∴ CG=AE．又∵ CF=GF+CG，∴ CF=OE+AE；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA延長線上時(shí)．∵，∴，同理可得：是等邊三角形，∴ FG=OF=OE，同理可得：，∴ CG=AE．又∵ CF=GFCG，∴ CF=OEAE．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等邊三角形的性質(zhì)和判定，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形和證明三角形全等，利用矩形的對角線互相平分得全等的邊相等的條件，根據(jù)線段的和差關(guān)系使問題得以解決．10．如圖，拋物線交x軸的正半軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B（，a）在拋物線上，點(diǎn)C是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，連接AB、BC，以AB、BC為鄰邊作□ABCD，記點(diǎn)C縱坐標(biāo)為n， （1）求a的值及點(diǎn)A的坐標(biāo)； （2）當(dāng)點(diǎn)D恰好落在拋物線上時(shí)，求n的值； （3）記CD與拋物線的交點(diǎn)為E，連接AE，BE，當(dāng)△AEB的面積為7時(shí)，n=___________．（直接寫出答案）【答案】（1）， A（3，0）；（2）【解析】試題解析：（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出a的值，令y=0即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．（２）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可求解；（3）運(yùn)用△AEB的面積為7，列式計(jì)算即可得解.試題解析：（
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