【正文】 ，求 △ ABC 面積的最大值． 【考點(diǎn)】 余弦定理；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用． 【分析】 （ 1）利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用 化簡(jiǎn)可求 f（ x） =sin（ 2x﹣ ），令 2kπ﹣ ≤ 2x﹣ ≤ 2kπ+ ， k∈ Z，即可解得 f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間． （ 2）由已知可求 sin（ 2A﹣ ） = ，結(jié)合 △ ABC 為銳角三角形，可得 A，利用余弦定理，基本不等式可求 bc≤ 2+ ，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解． 【解答】 （本題滿分為 12 分） 解：（ 1） ∵ =sinxcosx+ （ sinx﹣ cosx）（ sinx+cosx） = sin2x﹣cos2x=sin（ 2x﹣ ）， …3 分 ∴ 令 2kπ﹣ ≤ 2x﹣ ≤ 2kπ+ ， k∈ Z，解得： kπ﹣ ≤ x≤ kπ+ ， k∈ Z， ∴ 函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間為： [kπ﹣ ， kπ+ ]， k∈ Z…5 分 （ 2） ∵ ， ∴ sin（ 2A﹣ ） = ，結(jié)合 △ ABC 為銳角三角形，可得： 2A﹣ = ， ∴ A= ， …7 分 ∵ 在 △ ABC 中，由余弦定理 a2=b2+c2﹣ 2bccosA，可得： 2=b2+c2﹣ bc≥ （ 2﹣ ）bc，（當(dāng)且僅當(dāng) b=c 時(shí)等號(hào)成立） ∴ bc≤ =2+ ， 又 ∵ sinA=sin = ， …10 分 ∴ S△ ABC= bcsinA= bc≤ （ 2+ ） = ，（當(dāng)且僅當(dāng) b=c 時(shí)等號(hào)成立） ∴△ ABC 面積的最大值為 …12 分 17．已知數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn， （ n∈ N+）． （ 1）求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； （ 2）若數(shù)列 {bn}滿足 an?bn=log3a4n+1，記 Tn=b1+b2+b3+… +bn，求證： （ n∈ N+）． 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式． 【分析】 （ 1）利用遞推關(guān)系：當(dāng) n=1 時(shí)， a1=S1，當(dāng) n≥ 2 時(shí)， an=Sn﹣ Sn﹣ 1，及其等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出； （ 2）求出 bn= =（ 4n+1）（ ） n，利用 “錯(cuò)位相減法 ”與等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式即可得出． 【解答】 （ 1）解：由 （ n∈ N+）． 當(dāng) n=1 時(shí)， a1=S1， 2S1+3=3a1，得 a1=3． n=2 時(shí)， 2S2+3=3a2，即有 2（ a1+a2） +3=3a2，解得 a2=9． 當(dāng) n≥ 2 時(shí)， an=Sn﹣ Sn﹣ 1， ∵ 2Sn+3=3an（ n∈ N*）， 2Sn﹣ 1+3=3an﹣ 1， 兩式相減可得 2an=3an﹣ 3an﹣ 1， ∴ an=3an﹣ 1， ∴ 數(shù)列 {an}是以 9 為首項(xiàng)， 3 為公比的等比數(shù)列． ∴ an=3n．對(duì) n=1 也成立． 故數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式為 an=3n． （ 2）證明：由 an?bn=log3a4n+1=log334n+1=4n+1， 得 bn= =（ 4n+1）（ ） n， ∴ Tn=Tn=b1+b2+b3+… +bn=5? +9?（ ） 2+… +（ 4n+1） ?（ ） n， Tn=5?（ ） 2+9?（ ） 3+… +（ 4n+1） ?（ ） n+1， 兩式相減得， Tn= +4 [（ ） 2+（ ） 3+… +（ ） n]﹣（ 4n+1） ?（ ） n+1 = +4 ﹣（ 4n+1） ?（ ） n+1， 化簡(jiǎn)可得 Tn= ﹣ （ 4n+7） ?（ ） n＜ ． 18．在如圖所示的幾何體中，四邊形 ABCD 為矩形，直線 AF⊥ 平面 ABCD， EF∥ AB， AD=2， AB=AF=2EF=1，點(diǎn) P 在棱 DF 上． （ 1）求 證： AD⊥ BF； （ 2）若 P 是 DF 的中點(diǎn)，求異面直線 BE 與 CP 所成角的余弦值； （ 3）若 ，求二面角 D﹣ AP﹣ C 的余弦值． 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；異面直線及其所成的角． 【分析】 （ 1）推導(dǎo)出 AF⊥ AD， AD⊥ AB，從而 AD⊥ 平面 ABEF，由此能證明AD⊥ BF． （ 2）以 A 為原點(diǎn)， AB， AD， AF 所在直線為 x， y， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角 D﹣ AP﹣ C 的余弦值． 【解答】 證明：（ 1） ∵ AF⊥ 平面 ABCD， ∴ AF⊥ AD， 又 AD⊥ AB， AB∩ AF=A， AD⊥ 平面 ABEF， 又 BF? 平面 ABEF， ∴ AD⊥ BF． 解：（ 2） ∵ 直線 AF⊥ 平面 ABCD， AB? 平面 ABCD， ∴ AF⊥ AB， 由（ 1）得 AD⊥ AF， AD⊥ AB， ∴ 以 A 為原點(diǎn)， AB， AD， AF 所在直線為 x， y， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則 B（ 1， 0， 0）， E（ ， 0， 1）， P（ 0， 1， ）， C（ 1， 2， 0）， ∴ =（﹣ ）， =（﹣ 1，﹣ 1， ）， 設(shè)異面直線 BE 與 CP 所成角為 θ， 則 cosθ= = ， ∴ 異面直線 BE 與 CP 所成角的余弦值為 ． （ 3） ∵ AB⊥ 平面 ADF， ∴ 平面 ADF 的一個(gè)法向量 ． 由 知 P 為 FD 的三等分 點(diǎn)，且此時(shí) ． 在平面 APC 中， ， ． ∴ 平面 APC 的一個(gè)法向量 ． … ∴ ， 又 ∵ 二面角 D﹣ AP﹣ C 的大小為銳角， ∴ 該二面角的余弦值為 ． … 19．有人在路邊設(shè)局，宣傳牌上寫有 “擲骰子，贏大獎(jiǎng) ”．其游戲規(guī)則是這樣的：你可以在 1， 2， 3， 4， 5， 6 點(diǎn)中任選一個(gè)，并押上賭注 m元，然后擲 1 顆骰子，連續(xù)擲 3 次，若你所押的點(diǎn)數(shù)在 3 次擲骰子過(guò)程中出現(xiàn) 1 次， 2 次， 3 次，那么原來(lái)的賭注仍還給你，并且莊家分別給予你所押賭注的 1 倍， 2 倍， 3 倍的獎(jiǎng)勵(lì)．如果 3 次擲骰子過(guò)程中，你所押的點(diǎn)數(shù)沒出現(xiàn)，那么你的賭注就被莊家沒收 ． （ 1）求擲 3 次骰子，至少出現(xiàn) 1 次為 5 點(diǎn)的概率； （ 2）如果你打算嘗試一次，請(qǐng)計(jì)算一下你獲利的期望值，并給大家一個(gè)正確的建議． 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差． 【分析】 （ 1）擲 3 次骰子，至