【正文】 14 (yi－ y－ )2≈ . R2＝ 1－ ≈ . R2≈ ，表明年齡解釋了 %的脂肪含量變化． (3)當(dāng) x＝ 37 時(shí)， y^＝ 37－ ≈ ，故 37 歲時(shí)人的脂肪含量約為%. (教師用書(shū)獨(dú)具 ) 為研究重量 x(單位：克 )對(duì)彈簧長(zhǎng)度 y(單位：厘米 )的影響，對(duì)不同重量的6 個(gè)物體進(jìn)行測(cè)量，數(shù)據(jù)如下表所示： x 5 10 15 20 25 30 y (1)作出散點(diǎn)圖并求回歸方程； (2)求出 R2； (3)進(jìn)行殘差分析． 【思路探究】 (1)由表作出散點(diǎn)圖，求出系數(shù)值，即可寫(xiě)出回歸方程． (2)列出殘差表，計(jì)算 R2，由 R2的值判斷擬合效果． (3)由 (2)中殘差表中數(shù)值，進(jìn)行回歸分析． 【自主解答】 (1)散點(diǎn)圖如圖． x ＝ 16(5＋ 10＋ 15＋ 20＋ 25＋ 30)＝ ， y ＝ 16(＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ) ≈ ， ?i＝ 16x2i＝ 2 275， ?i＝ 16xiyi＝ 1 . 計(jì)算得， b^≈ ， a^≈ ， 所求線(xiàn)性回歸方程為 y^＝ ＋ . (2)列表如下： yi－ y^i － － yi－ y － － － 所以 ?i＝ 16 (yi－ y^i)2≈ 18， ?i＝ 16 (yi－ y )2＝ 4. 所以， R2＝ 1－ 4≈ 1，回歸模型的擬合效 果較好． (3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第 3 個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤，如果有的話(huà)，需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在不超過(guò) 的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的線(xiàn)性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長(zhǎng)度與拉力成線(xiàn)性關(guān)系． 建立回歸模型的基本步驟： (1)確定解釋變量和預(yù)報(bào)變量； (2)畫(huà)散點(diǎn)圖，觀(guān)察是否存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系； (3)確定回歸方程的類(lèi)型，如 y＝ bx＋ a； (4)按最小二乘法估計(jì)回歸方程中的參數(shù)； (5)得結(jié)果后分析殘差圖是否異常，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適． 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限 x(年 )和所支出的維修費(fèi)用 y(萬(wàn)元 )有關(guān)的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示． 使用年限 x 2 3 4 5 6 維修費(fèi)用 y 若由資料知 y 對(duì) x 呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．試求： (1)線(xiàn)性回歸方程 y^＝ b^x＋ a^的回歸系數(shù) a^、 b^； (2)求相關(guān)指數(shù) R2； (3)估計(jì)使用年限為 10 年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？ 【解】 (1)由已知數(shù)據(jù)制成下表． i 1 2 3 4 5 合計(jì) xi 2 3 4 5 6 20 yi 25 由此可得 x ＝ 4， y ＝ 5， b^＝?i＝ 15 ?xi－ x ??yi－ y ??i＝ 15 ?xi－ x ?2＝ ， a^＝ y － b^ x ＝ 5－ 4＝ ， ∴ y^＝ ＋ . (2)R2＝ 1－?i＝ 15 ?yi－ y^i?2?i＝ 15 ?yi－ y ?2 ＝ 1－ ≈ 7. (3)回歸直線(xiàn)方程為 y^＝ ＋ ，當(dāng) x＝ 10(年 )時(shí)， y^＝ 10＋ ＝(萬(wàn)元 )， 即估計(jì)使用 10 年時(shí)維修費(fèi)用是 萬(wàn)元 . 。泰安高二檢測(cè) )在回歸分析中，相關(guān)指數(shù) R2的值越大，說(shuō)明殘差平方和 ( ) A．越大 B．越小 C．可能大也可能小 D．以上均錯(cuò) 【解析】 ∵ R2＝ 1－?i＝ 1n ?yi－ y^i?2?i＝ 1n ?yi－ y ?2， ∴ 當(dāng) R2越大時(shí)， ?i＝ 1n (yi－ y^i)2越小，即殘差平方和越小． 【答案】 B 3．設(shè)變量 y 對(duì) x 的線(xiàn)性回歸方程為 y^＝ 2－ ，則變量 x 每增加一個(gè)單位時(shí)，y 平均 ( ) A．增加 個(gè)單位 B．增加 2 個(gè)單位 C．減少 個(gè)單位 D．減少 2 個(gè)單位 【解析】 回歸直線(xiàn)的斜率 b^＝－ ，表示 x 每增加一個(gè)單位， y 平均減少 個(gè)單位． 【答案】 C 4． (2020lg h. 令 y＝ lg Q， x＝ lg h，那么 y＝ nx＋ lg m， 即為線(xiàn)性函數(shù)模型 y＝ bx＋ a 的形式 (其中 b＝ n， a＝ lg m)． 由下面的數(shù)據(jù)表，用最小二乘法可求得 b^≈ 7， a^＝－ 7，所以n≈ ， m≈ . i hi Qi xi＝ lg hi yi＝ lg Qi x2i xiyi 1 － 9 － 2 3 2 4 － 1 7 － 9 3 9 3 3 6 4 2 2 4 2 5 5 0 4 0 6 6 8 3 5 7 134 3 1 6 3 ∑ 1 7 于是所求得的回歸方程為 Q＝ 新課標(biāo) 數(shù) 學(xué) 選修 1－ 2 1． 1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 (教師用書(shū)獨(dú)具 ) ● 三維目標(biāo) 1．知識(shí)與技能 通過(guò)典型案例的探究，了解回歸分析的基本思想，會(huì)對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析，明確解決回歸模型的基本步驟，并對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行回歸分析以解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題．了解最小二乘法的推導(dǎo)，解釋殘差變量的含義，了解偏差平方和分解的思想，了解判斷 刻畫(huà)模型擬合效果的方法 —— 相關(guān)指數(shù)和殘差分析．掌握利用計(jì)算器求線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程參數(shù)及相關(guān)系數(shù)的方法． 2．過(guò)程與方法 通過(guò)收集數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，分析散點(diǎn)圖，求回歸直線(xiàn)方程，分析回歸效果，利用方程進(jìn)行預(yù)報(bào)． 3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān) 培養(yǎng)學(xué)生利用整體的觀(guān)點(diǎn)和互相聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)來(lái)分析問(wèn)題， 進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的信心，加強(qiáng)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評(píng)價(jià)兩個(gè)變量的相互關(guān)系． ● 重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：回歸分析的基本方法、隨機(jī)誤差 e 的認(rèn)識(shí)、殘差圖的概念、用殘差及R2來(lái)刻畫(huà)線(xiàn)性回歸模型