【正文】 充分必要條件是：沒有奇點(diǎn)或者只有兩個(gè)奇點(diǎn)。如果停止推力，玻璃瓶將恢復(fù)到它的理想穩(wěn)定狀態(tài)。兩個(gè)人運(yùn)行自己的軌跡，有時(shí)匯合，有時(shí)甚至可能會(huì)互換角色。把這兩種行為和數(shù)學(xué)模型結(jié)合起來，就可計(jì)算出狗是進(jìn)攻還是逃跑。突變論是 20世紀(jì) 60年代末 法國(guó)數(shù)學(xué)家托姆 提出來的。 哥尼斯堡七橋問題 1736年，當(dāng)人們將這一問題向歐拉請(qǐng)教時(shí)，歐拉用 A、 B、 C、 D表示 4個(gè)城區(qū)，用 7條線表示 7座橋，將哥尼斯堡七橋問題抽象為一個(gè)圖的模型，如右圖所示，求經(jīng)過圖中每條邊一次且僅一次的回路（歐拉回路），歐拉論證了在哥尼斯堡七橋問題中，這樣的回路不存在。 馬清運(yùn)設(shè)計(jì)的莫比烏斯造型雕塑 扎哈設(shè)計(jì)的莫比烏斯造型雕塑 莫比烏斯的其他應(yīng)用 美國(guó)著名輪胎公司百路馳把傳送帶制成莫比烏斯圈形狀，這樣一來，整條傳送帶環(huán)面各處均勻地承受磨損，避免了普通傳送帶單面受損的情況，使得其壽命延長(zhǎng)了近一倍。從這一點(diǎn)出發(fā)到需判定的點(diǎn)的 路徑 ，如果和圍線（邊界） 相交奇數(shù)次 ，則需判定的點(diǎn)在 “里 ”，如果和圍線（邊界） 相交偶數(shù)次 ，則需判定的點(diǎn)在 “外 ”。 橡皮幾何與拓?fù)渥儞Q 橡皮幾何、拓?fù)渫瑯?gòu)、拓?fù)渥儞Q 以色列的一位城市規(guī)劃學(xué)者在清華建筑學(xué)院做講座，說到老北京的街道都是南北正交，而中東的城市街道彎曲。 不考慮幾何圖形的尺寸、面積、體積等度量性質(zhì)和具體形狀。 上圖 ？ 解上述不等式得： i） n=3時(shí)， m= 5 ii） n=4時(shí)， m=3 iii) n=5時(shí)， m=3 若以 表示這個(gè)正多面體，則 （ 3， 3） —— 正四面體 、（ 4） —— 正八面體 、（ 5） —— 正二十面體 （ 3） —— 正六面體 、 （ 3） —— 正十二面體 平行投影 錐形投影 拓?fù)渥儞Q 如果用拓?fù)鋷缀畏椒ㄗC明，首先可以把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題 正 4面體 正 8面體 正 6面體 正 12面體 正 20面體 拓?fù)渥C明： 頂點(diǎn)數(shù) V、棱數(shù) E 和面數(shù) F 的性質(zhì)都可以由每個(gè)面上的邊（棱）的數(shù)目 p 和每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的棱的數(shù)目 q 給出。 三葉結(jié)形態(tài)的應(yīng)用 埃舍爾創(chuàng)作的三葉結(jié) 國(guó)家科技館的三葉結(jié)雕塑 扭結(jié) —— 三葉結(jié) 斯圖加特梅塞德斯奔馳 博物館， UN Studio， 2023 斯圖加特梅塞德斯奔馳 博物館， UN Studio， 2023 三葉結(jié)形態(tài)的應(yīng)用 斯圖加特梅塞德斯奔馳 博物館， UN Studio， 2023 克萊因瓶 Klein Bottle 三維空間中的克萊因瓶，沒有 “內(nèi)部 ”和 “外部 ”之分。 一筆畫判定 一筆畫判定 一筆畫判定 1852年，英國(guó)的一個(gè)大學(xué)生格思里（ Francis Guthrie ）在一家科研單位搞地圖著色時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象： “任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色 。然而，如果繼續(xù)用力推下去，在推力達(dá)到一定程度的時(shí)候，玻璃瓶便會(huì)倒下， 由此又進(jìn)入了一種新的穩(wěn)定平衡狀態(tài)。這個(gè)住宅混合了多種情況，將不同的行為置于一個(gè)環(huán)形結(jié)構(gòu)之中，工作、家庭生活、獨(dú)處都能在環(huán)形中找到自己的位置。一只狗的發(fā)怒情況和張嘴、露齒的程度有關(guān)，而恐懼程度則可以由它的耳朵向后拉平程度反映出來。 突變論用形象而精確的數(shù)學(xué)模型（拓?fù)淠Ｐ停﹣砻枋龊皖A(yù)測(cè)事物的連續(xù)性中斷的突變過程。問題是，一個(gè)人是否能在一次步行中穿越全部的七座橋后回到起點(diǎn)，且每座橋只經(jīng)過一次。 （ 3） 如果再沿著環(huán)的中間剪開，將會(huì)形成兩個(gè)具有正反兩個(gè)面的環(huán)，且這兩個(gè)環(huán)