【正文】 b= a*b= b*(a*c)=b* a * c=b*c, 所以c=e。k從而HKKH。從而c1KH。b2=(a1(a2a。記d=c*b。證明：任意取定aG，記方程a*x=a的惟一解為eR。(2)(3) a∈G，對h∈H,令h1=a1ha，則（h1）1= ah1a1。令h=k=e,則a=e*a*a=h*e*k,從而aRa。由此可見，G中的2n個(gè)非單位元構(gòu)成互為逆元的n對元素。故a1的階也是k。令H={e,a,a2,…,am1}。(3) c,d∈h(H),a,b∈H，使得c=h(a),d=h(b)。因?yàn)閨a|=n,所以bd=(ak)d=akd=an=e且|b|=d。若km1，則由消去律可知c的階是有限的，這與|G|無限矛盾。證明：記p=,q=,｜ak｜＝m。b HK,a1 HK。記H={e,ak,(ak)2,…,(ak)m1}，易證H是G 的子群，但1|H|=mn，故H是G 的非平凡子群。a1=（ha)證明C（G）是G的不變子群。h從而f是G 的自同構(gòu)。a))1=((b證明：（1）aA,記b=a*a。a)a)(a故ax1=ax2。證明：群中的每一個(gè)元素的階均不為0 且單位元是其中惟一的階為1的元素。3證明在元素不少于兩個(gè)的群中不存在零元。封閉。故e=2是I關(guān)于運(yùn)算*的單位元。(a2a=(a則a4且當(dāng)a 階大于2時(shí)，a1。dH。a=a2I上的二元運(yùn)算*定義為：a,bI，a*b=a+b2。無最大元和最小元； 上界是e，下界是c。1設(shè)A={1,2,…,10}。故R(ST)=（RS）（RT）。1設(shè)A是集合，RAA，則R是對稱的R＝R－1。故xRSx。即AC。（4） P(A)A={,a,b,{a},a,{a},b,,a,,b,A,a,A,b}。因?yàn)锳，所以C=。對任意集合A,B，證明：若AA=BB，則B=A。(2) 若C隊(duì)獲亞軍，則A隊(duì)不能獲冠軍。答：循環(huán)群，任一非單位元4設(shè)〈G,*〉是一個(gè)群，a,b,c∈G，則(1) 若ca=b，則c=( )；(2) 若ca=ba，則c=( )。答：P ，QP1令R(x):x是實(shí)數(shù)，Q(x):x是有理數(shù)。 一、選擇或填空（數(shù)理邏輯部分）下列哪些公式為永真蘊(yùn)含式？(　　　)(1)Q=Q→P (2)Q=P→Q (3)P=P→Q (4)P(PQ)=P 答：（1），（4）下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐PQ)→(Q→R) (2)P→(Q→Q) (3)(PQ)→P (4)P→(PQ)答：（2），（3），（4）設(shè)有下列公式，請問哪幾個(gè)是永真蘊(yùn)涵式?( )(1)P=PQ (2) PQ=P (3) PQ=PQ (4)P(P→Q)=Q (5) (P→Q)=P (6) P(PQ)=P答：（2），（3），（4），（5），（6）公式x((A(x)174。則命題“并非每個(gè)實(shí)數(shù)都是有理數(shù)”的符號化表示為（ ）。答：（1） b (2) b4H,是G,的子群的充分必要條件是( )。(3) 若D隊(duì)獲亞軍，則B隊(duì)不能獲亞軍。證明：若B=，則BB=。即B=C。設(shè)全集U={a,b,c,d,e}, A={a,d}, B={a,b,c}, C={b,d}。(2) 不成立。從而RS是自反的。證明：x,yR ，R是對稱的，yRx。(2) x，zR(ST)，則由合成關(guān)系的定義知yB，使得x，yR且y，zST。下列哪個(gè)是A的劃分？若是劃分，則它們誘導(dǎo)的等價(jià)關(guān)系是什么？（1）B={{1,3,6},{2,8,10},{4,5,7}}。上確界是e，下確界是c。試問I,*是循環(huán)群嗎？解：I,*是循環(huán)群。d。由于c故階數(shù)大于2 的元素成對出現(xiàn)，從而其個(gè)數(shù)必為偶數(shù)。b= a3(aa2)=b（3）對aI，因?yàn)閍*（4a）=a+4a2=2=e=4a+a2=(4a)*a。故Sa,證明：（用反證法證明）設(shè)在素不少于兩個(gè)的群G,中存在零元。因?yàn)槿我浑A大于2 的元素和它的逆元的階相等。由于*滿足消去律，故x1=x2。b))(bb=(a因?yàn)?是可結(jié)合的，故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。a)1)1=b4若群G,＊的子群H,＊滿足|G|＝2|H|，則H,＊一定是群G,＊的正規(guī)子群。a1a證明：先證C（G）是G的子群。b=xa）這與已知矛盾。故HK是G的子群，從而也是H和K的子群。由n和p的定義，顯然有(ak)p=e。從而km=1，即k=1,m=1或k=1,m=1。從而H中的元素是兩兩不同的，易證HG。故cd=h(a)h(b)=h(ab)。則H是G的子群且|H|=m。5在一個(gè)群G,*中，若A和B 都是G的子群。因?yàn)镚 是交換群，故G的所有元素之積可變成單位元和n對互為逆元的元素之積的積，從而結(jié)果為e。即R是自反的。因?yàn)閔1∈H，所以（h1）1= ah1a1∈aHa1。即a*eR=a。 則b*d=(b*c)*b=e*b=b。因?yàn)閏=（a1b2)=(( a1（a3因?yàn)镠K=KH，所以c1HK。同理可證，KHHK。a1)。故由元素階的定義有k|m。h從而HK是G的子群。6設(shè)H和K都 是G的不變子群。b2=(a1a2)因?yàn)镠和K都是G 的子群，所以a1H,b1K ，即a1b*c=c*b=e。對bG，記方程y*a=b的惟一解為y。故a1HaH 。因?yàn)镠、K是G的子群，所以h1∈H且k1∈K。解：設(shè)S關(guān)于*的單位元為(a,b)。證明：用反證法證明。5證明：在同構(gòu)意義下，只有兩個(gè)四階群，且都是循環(huán)群。又c1=(h(a))1=h(a1)且a1∈H，故c1∈h(H)。所以是G的一個(gè)d階子群。從而G只有兩個(gè)生成元a和a1。又由于akm=e，n|km。4素?cái)?shù)階循環(huán)群的每個(gè)非單位元都是生成元。故G是質(zhì)數(shù)階的循環(huán)群。(ab), a1x=xa1。因?yàn)镠H1=且HH1=G，HH2=且HH2=G，故H1=GH=H2。故運(yùn)算（2）a,bA,因?yàn)橛桑?），a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a),(a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。b。故aa)3設(shè)半群S,故階大于2 的元素是成對的。 G,是群，關(guān)于*消去律成立。的子半群。 綜上所述，I,*為群。因?yàn)閍4(ab）= a3解： 0是N6,+6中關(guān)于+6的單位元。c,且d) 1和3是它的兩個(gè)生成元。最大元是e，b是最小元；上界是e，下界是b。（3）D={{1,2,7},{3,5,10},{4,6,8},{9}}解：（1）和（2）都不是A的劃分。故x，z（RS）（RT） 。從而RR1。因?yàn)镽和S都是A上的等價(jià)關(guān)系，所以bRa且bSa。雖然AB，且BC，但AC。 （4）P(A)P(B)。從而AC。故A=。結(jié)論: (5) D隊(duì)不是亞軍。答：1，單位元，04在一個(gè)群〈G,*〉中，若G中的元素a的階是k，則a1的階是( )。答：（1）R={1,1,4,2} (2) R={1,1,2,4}2舉出集合A上的既是等價(jià)關(guān)系又是偏序關(guān)系的一個(gè)例子。 $z C(y，z))174。答：2不是偶數(shù)且3不是負(fù)數(shù)。答：5，104群G,*的等冪元是(　　)，有(　　　)個(gè)。從而P也為F，即P為T。解：(1) R={0,0,0,2,2,0,2,2}(2) R={1,1,1,2,2,1,2,2,3,1}。證明：若B=，則AB=。（2） B2A={c,c,a,c,c,b}。對xA, 因?yàn)锳B，所以xB。若R和S都是非空集A上的等價(jià)關(guān)系，則RS是A上的等價(jià)關(guān)系。xA，IAR，x,xR。從而R(ST)（RS）（RT）。MR=。無上確界，下確界是c。因?yàn)檠h(huán)群的子群也是循環(huán)群，且子群的階數(shù)是G 的階數(shù)的因子，故G的子群只能是1 階的、2階的、4 階的或8階的。a=ad)。證明：設(shè)G,b=bb)a2)（2）記e=2。因?yàn)閗+lI+，所以b從而假設(shè)錯(cuò)誤。從而a1也是〈G，*〉的生成元。若x1,x2都滿足要求。a)(a(b試證明：（1）aA,a*a=a，即a是等冪元；（2） a,bA,a*b*a=a。a1)1=(f(b) f(b)。Hx=xx)因?yàn)閔C(G)，所以b=(a從而G一定是循環(huán)群，且a是G 的生成元。b,a1 K。 故T,是S,的子獨(dú)異點(diǎn)。若c是G的生成元，則k,mI，分別滿足c=ak和a=cm。因此n階循環(huán)群的子群的個(gè)數(shù)恰為 n的正因子數(shù)。證明：(1) 因?yàn)閔(e1)h(e1)=h(e1e1)= h(e1)= e2h(e1),所以h(e1)=e2。5有限群G的每個(gè)元素的階均能整除G的階。從而a1的階是有限的，且|a1|k。因?yàn)镚的階數(shù)為奇數(shù)2n+1，所以由拉格朗日定理知G中不存在2 階元素，即除了單位元e以外，G的所有元素的階都大于2。存在 h∈H,k∈K, 使得b=h*a*k，則R是G上的等價(jià)關(guān)系。故h1=（h2a）a1=h2H。從而H是G的不變子群。對bG，記c為方程b*x=e的惟一解。從而HKKH。d=( a1（b1a11。h1K。a1)在a*b=c*b*a兩邊同時(shí)右乘b，再由a*b=c*b*a得a*b=(c*b*a)*b=(c*b)*(a*b)*b=(c*b)*(c*b*a)*b=(c*b)*a*b=(c*b)*(a*b)*b=(c*b)*(c*b*a)*b=(c*b)*a*b=…=(c*b)*a, 再由b*c=c*b及b 的階為n得 a=a*b= (c*b)*a=(c*b)*a=c*a, 所以c=e。a1K。k。對aHK，有hH，kK，使得a=hb2)。a2))b1）1HK。6設(shè)G，*是群， H和K都是G的子群，令HK={h*s | s∈K，h∈H}, KH={s*h |s∈K,h∈H},HK,*，KH,*是G的子群的充分必要條件是HK=KH。類似地，記方程y*a=a的唯一解為eL。故b=(ah) (a1a)=(aha1)a。a,b,c∈G，若aRb,bRc,則存在 h,g∈H，k,l∈K, 使得b=h*a*k，c=g*b*l。解得a=1,b=0。因?yàn)閍A,所以aA。若G沒有4階元素，則除單位元e外，G的其余3個(gè)階均為2。故(h(a))n=h(an)=h(e1)=e2。因?yàn)閨H|=d，所以m==k，即H=H1。則ar=akmq=akamq=b(am)q。由于p和m都是正整數(shù)，所以p=m。設(shè)a的階為k,則k1。試證：HK={e}。4設(shè)G,從而ab。a1H且a從而aH=Ha=GH。又對aG，有f(a1)=(a1)1=a。由（2）可知a*(b*c)*a=a且c*(a*b)*c=c，故（a*b*c）*（a*c）=(a*(b*c)*a)*c=a*c且(a*c)*(a*b*c)= a*(c*(a*b)*c))= a*c，即（a*b*c）*（a*c）=(a*c)*(a*b*c)。a。b)=aa)b）2=a23代數(shù)系統(tǒng)G,*是一個(gè)群，則G除單位元以外無其它等冪元。故在元素不少于兩個(gè)的群中不存在零元。若e1,e2都是e的逆元，即e1*e=e且e2*e=e。令Sa={ai | iI+ }。a5= ba))b)是群，a,bG，ae，且a4a。a)=c又因?yàn)?和3 關(guān)于*互為逆元，故3 也是I,*的生成元。最大元是e，無最小元；上界是e，下界是c。1R是A={1,2,3,4,5,6}上的等價(jià)關(guān)系，R=I{1,5,5,1,2,4,4,2,3,6,6,3}求R誘導(dǎo)的劃分。證明： 設(shè)a,b都是B的最大元，則由最大元的定義ab，ba。即y,